论文部分内容阅读
【摘 要】函数概念是中学数学的核心概念。部分初中教师由于对函数概念的历史缺乏了解，掌握的有关史料有限，对数学史教育价值的理解不够到位，因而在实践中往往难以在教学中重构函数概念的发生和发展过程，难以让学生经历函数概念从“解析式说”到“变量依赖说”，再到“变量对应说”的自然发展过程，最终实现数学史的多元教育价值。研究者按照“聚焦与准备”“研讨与设计”“实施与评价”“整理与写作”的前三个环节，开展初中函数概念的课例研究。
【关键词】HPM;函数;重构
一、引言
函数概念是中学数学的核心概念。德国数学家F·克莱因（F.Klein）曾指出：“我确信函数概念的教学是学校的灵魂，以函数为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分的综合。”[1] 沪教版初中数学教科书采用函数的“变量依赖说”，而人教版教科书则采用了“变量对应说”。在有关研究者所呈现的函数HPM课例中，由于时间的限制，有的教师在课堂上未能实现从“变量依赖说”到“变量对应说”的跨越，也没有让学生感受到数学背后的理性精神，数学史应有的教育价值未能得到充分体现[2]。如何在教学中重构函数概念的发生和发展过程，让学生经历函数概念从“解析式说”到“变量依赖说”，再到“变量对应说”的自然发展过程，最终实现数学史的多元教育价值？部分初中教师由于对函数概念的历史缺乏了解，掌握的有关史料有限，对数学史教育价值的理解不够到位，因而在实践中往往难以有效地解决上述问题。
为此，HPM工作室按照“聚焦与准备”“研讨与设计”“实施与评价”“整理与写作”四个环节，开展了初中函数概念的课例研究。本文根据前三个环节，呈现函数概念的课例形成过程，以期为函数概念教学以及初中HPM课例研究提供参考。
二、聚焦与准备
（一）问题聚焦
函数概念历史发展过程中的障碍也会成为今天学生学习函数概念的认知障碍[3]。据有关调查研究表明，初中生对函数概念的理解倾向于“解析式”，他们对于表格和图像两种表达方式的理解存在困难[4]。针对已有HPM课例中的不足，借鉴其他教学研究的结果，本次课例研究将聚焦以下问题。
如何借鉴历史，从学生的认知起点出发，让他们经历函数概念的发生和发展过程？
如何实现数学史的多元教育价值？
（二）史料搜集
确定要解决的问题后，高校研究者对函数概念的历史进行了梳理。
早期函数的概念经历了从17世纪莱布尼茨（G.W.Leibniz）眼中的“幂”到18世纪伯努利（John Bernoulli）定义的“代数运算”，再到18世纪欧拉（L.Euler）定义的“解析式”和“变量依赖关系”，最后到19世纪狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）定义的“变量对应关系”[5]1-7（如图1）。
最初，莱布尼茨认为函数指的是x的幂，但接下来莱布尼茨将曲线上某一点的横坐标、纵坐标、切线长、次切线长、法线长以及次法线长这六个几何量称为函数[6]。要表达与幂函数图像对应的六个几何量，需要对幂实施代数运算，因而导致函数概念从幂到代数式的演进。1718年，瑞士数学家伯努利（John Bernoulli）將一个变量的函数定义为“由该变量和常数以任何方式组成的量”[7]。
1748年，瑞士数学家欧拉（L.Euler）在《无穷分析引论》中进一步将一个变量的函数定义为“由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析表达式”[5]1-7。但欧拉所说的表达式已包括指数函数这样的超越函数，从而突破了代数式的局限性。
随着“弦振动问题”的出现，函数概念再一次引发了数学家们的思考：把一根两端固定的弹性弦形变成某种初始状态，如何刻画振动弦在某时刻的函数[8]？这个图像可以由一个具体的解析式给出吗？一般地，一条徒手画出的任意曲线有解析式吗？面对这样的问题，欧拉在《微分基础》中更新了函数定义：“如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化的时候，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。”[5]1-7这就是我们通常所说的“变量依赖说”，沪教版初中数学教科书中的定义与此相似，只不过局限于一元函数。
但新的问题又产生了。若在x的某个变化范围内，y始终取常数值，此时y是否是x的函数？仅仅根据“变量依赖说”，是无法回答上述问题的。1837年，德国数学家狄利克雷（G.L.Dirichlet）进一步扩展了函数概念：“如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值和它对应，那么y就是x的一个函数。”[9]这就是我们通常所说的“变量对应说”。该定义被称为函数的现代定义，是函数概念认识上的一次飞跃。人教版初中数学教科书中的定义与此相似。
尽管狄利克雷给出了函数的现代定义，但人们并没有因此抛弃“解析式说”或“变量依赖说”，毕竟这两种定义更容易被人理解。19世纪，英国数学家德摩根（A.De Morgan）在《代数学》，以及美国数学家罗密士（E.Loomis）在《代微积拾级》中都仍然采用函数的“解析式说”。中国数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力（A.Wylie）在翻译这两部著作时，将“变量”译为“变数”，将“包含变数的表达式”译成“函数”，其中“函”“含”同义[5]1-7。从此，“函数”一词在我国一直沿用至今。
（三） 初步设计
HPM工作室为执教者提供了有关函数概念的史料和国内已有的函数概念教学设计。执教者在研读相关材料之后，结合教材和学情分析，拟订了如下教学目标。
（1）通过具体实例，让学生认识变量和常量。
（2）知道用运动、变化的观点看待事物，理解在变化过程中，两个变量之间相互依赖的含义，从而理解函数的概念;知道函数的自变量以及函数解析式。
（3）在合作交流中，激发学生学习的积极性，培养学生迁移类推和概括的能力。
【关键词】HPM;函数;重构
一、引言
函数概念是中学数学的核心概念。德国数学家F·克莱因（F.Klein）曾指出：“我确信函数概念的教学是学校的灵魂，以函数为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分的综合。”[1] 沪教版初中数学教科书采用函数的“变量依赖说”，而人教版教科书则采用了“变量对应说”。在有关研究者所呈现的函数HPM课例中，由于时间的限制，有的教师在课堂上未能实现从“变量依赖说”到“变量对应说”的跨越，也没有让学生感受到数学背后的理性精神，数学史应有的教育价值未能得到充分体现[2]。如何在教学中重构函数概念的发生和发展过程，让学生经历函数概念从“解析式说”到“变量依赖说”，再到“变量对应说”的自然发展过程，最终实现数学史的多元教育价值？部分初中教师由于对函数概念的历史缺乏了解，掌握的有关史料有限，对数学史教育价值的理解不够到位，因而在实践中往往难以有效地解决上述问题。
为此，HPM工作室按照“聚焦与准备”“研讨与设计”“实施与评价”“整理与写作”四个环节，开展了初中函数概念的课例研究。本文根据前三个环节，呈现函数概念的课例形成过程，以期为函数概念教学以及初中HPM课例研究提供参考。
二、聚焦与准备
（一）问题聚焦
函数概念历史发展过程中的障碍也会成为今天学生学习函数概念的认知障碍[3]。据有关调查研究表明，初中生对函数概念的理解倾向于“解析式”，他们对于表格和图像两种表达方式的理解存在困难[4]。针对已有HPM课例中的不足，借鉴其他教学研究的结果，本次课例研究将聚焦以下问题。
如何借鉴历史，从学生的认知起点出发，让他们经历函数概念的发生和发展过程？
如何实现数学史的多元教育价值？
（二）史料搜集
确定要解决的问题后，高校研究者对函数概念的历史进行了梳理。
早期函数的概念经历了从17世纪莱布尼茨（G.W.Leibniz）眼中的“幂”到18世纪伯努利（John Bernoulli）定义的“代数运算”，再到18世纪欧拉（L.Euler）定义的“解析式”和“变量依赖关系”，最后到19世纪狄利克雷（P.G.L.Dirichlet）定义的“变量对应关系”[5]1-7（如图1）。
最初，莱布尼茨认为函数指的是x的幂，但接下来莱布尼茨将曲线上某一点的横坐标、纵坐标、切线长、次切线长、法线长以及次法线长这六个几何量称为函数[6]。要表达与幂函数图像对应的六个几何量，需要对幂实施代数运算，因而导致函数概念从幂到代数式的演进。1718年，瑞士数学家伯努利（John Bernoulli）將一个变量的函数定义为“由该变量和常数以任何方式组成的量”[7]。
1748年，瑞士数学家欧拉（L.Euler）在《无穷分析引论》中进一步将一个变量的函数定义为“由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析表达式”[5]1-7。但欧拉所说的表达式已包括指数函数这样的超越函数，从而突破了代数式的局限性。
随着“弦振动问题”的出现，函数概念再一次引发了数学家们的思考：把一根两端固定的弹性弦形变成某种初始状态，如何刻画振动弦在某时刻的函数[8]？这个图像可以由一个具体的解析式给出吗？一般地，一条徒手画出的任意曲线有解析式吗？面对这样的问题，欧拉在《微分基础》中更新了函数定义：“如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化的时候，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。”[5]1-7这就是我们通常所说的“变量依赖说”，沪教版初中数学教科书中的定义与此相似，只不过局限于一元函数。
但新的问题又产生了。若在x的某个变化范围内，y始终取常数值，此时y是否是x的函数？仅仅根据“变量依赖说”，是无法回答上述问题的。1837年，德国数学家狄利克雷（G.L.Dirichlet）进一步扩展了函数概念：“如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值和它对应，那么y就是x的一个函数。”[9]这就是我们通常所说的“变量对应说”。该定义被称为函数的现代定义，是函数概念认识上的一次飞跃。人教版初中数学教科书中的定义与此相似。
尽管狄利克雷给出了函数的现代定义，但人们并没有因此抛弃“解析式说”或“变量依赖说”，毕竟这两种定义更容易被人理解。19世纪，英国数学家德摩根（A.De Morgan）在《代数学》，以及美国数学家罗密士（E.Loomis）在《代微积拾级》中都仍然采用函数的“解析式说”。中国数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力（A.Wylie）在翻译这两部著作时，将“变量”译为“变数”，将“包含变数的表达式”译成“函数”，其中“函”“含”同义[5]1-7。从此，“函数”一词在我国一直沿用至今。
（三） 初步设计
HPM工作室为执教者提供了有关函数概念的史料和国内已有的函数概念教学设计。执教者在研读相关材料之后，结合教材和学情分析，拟订了如下教学目标。
（1）通过具体实例，让学生认识变量和常量。
（2）知道用运动、变化的观点看待事物，理解在变化过程中，两个变量之间相互依赖的含义，从而理解函数的概念;知道函数的自变量以及函数解析式。
（3）在合作交流中，激发学生学习的积极性，培养学生迁移类推和概括的能力。