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一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是《一元一次不等式》中的重要内容之一,同学们在初学一元一次不等式的解法时,难免会出现这样或那样的错误.现列举一些常见错误,并作出剖析,请同学们引以为戒.
一、 不能正确把握不等式的性质,导致解答错误
例1 解不等式:4x-6 【错误解答】移项,得4x+x<-6,
合并同类项,得5x<-6,
所以不等式的解集为x<-■.
【错因剖析】在移项时,将单项式“-6”从不等式的左边移到不等式的右边,将“x”从不等式的右边移到左边时,没有变号.由于部分同学不能正确理解不等式的基本性质1,导致错误.
【正确解答】移项,得4x-x<6,
合并同类项,得3x<6,
所以不等式的解集为x<2.
【方法归纳】解一元一次不等式的过程中,移项的依据是不等式的基本性质1,因此,移项时一定要注意变号.
例2 解不等式:■-■>1.
【错误解答】去分母,得3(x+1)-2(2x-4)>1,
去括号,得3x+1-4x-8>1,
合并同类项,得-x>8,
所以不等式的解集为x<-2.
【错因剖析】在去分母时,将不等式的两边同时乘以最简公分母6,没有根据不等式的性质2,对不等式两边各项同时乘以6;在去括号时,化简“-2(2x-4)”时不能正确应用乘法分配律.由于不能正确理解不等式的基本性质2,滥用乘法分配律,导致错误.
【正确解答】去分母,得3(x+1)-2(2x-4)>6,
去括号,得3x+3-4x+8>6,
合并同类项,得-x>-5,
所以不等式的解集为x<5.
【方法归纳】在对所给不等式去分母时,必须根据不等式性质2,在不等式的两边同时乘以它们的最简公分母.
例3 解不等式:■-■>1.
【错误解答】原不等式可以化为■- ■>10.
去分母,得-2(40x-15)-5(8-5x)>-100.
去括号,得-80x+30-40+25x>-100.
移项,得-80x+25x>-100+30-40.
合并同类项,得-55x>-110.
系数化为1,得x<2.
【错因剖析】将不等式中分母含有小数的项化为整数时,应用了分数的基本性质,与其他项的变形无关,混淆了分数的基本性质和不等式的基本性质,导致错误.另外,在分母中的小数化为整数和移项的过程中还出现了运算错误.
【正确解答】原不等式可以化为■- ■>1.
即(8x-3)-(25x-4)>1.
去括号,得8x-3-25x+4>1.
移项,得8x-25x>1-4+3.
合并同类项,得-17x>0.
系数化为1,得x<0.
【方法归纳】在原不等式的变形过程中,各部分的变形是根据分数的基本性质,与其他部分没有关系,只需要分子、分母同时乘同一个不等于0的整数即可;去分母的依据是不等式的性质2,在不等式两边同乘-10时,不等号的方向必须改变.
二、 不能正确获取不等式在数轴上解集的信息,导致解答错误
例4 关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示,则a的值是_______.
【错误解答】≤-■.
【错因剖析】由关于x的不等式3x-2a≤-2,可以求得它的解集为x≤■.再由数轴可以知道这个不等式的解集为x≤-1.则■=-1,解得,a=-■.
【正确解答】-■.
【方法归纳】这类问题,首先根据不等式求得含有字母a的不等式解集,再根据数轴上的解集逆向确定不等式的解集,从而建立关于a的一元一次方程,达到解决问题目的.
三、 不能正确确定不等式的整数解,导致解答错误
例5 不等式3x-5<3+x的正整数解有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【错误解答】A.
【错因剖析】由于有的同学解得不等式3x-5<3+x的解集为x<2,因而不能正确确定不等式的整数解,导致解答错误.
【正确解答】要求不等式的正整数解,首先解出这个不等式3x-5<3+x的解集为x<4,再确定符合x<4的正整数解有1、2、3,共3个.因此,本题正确应该选C.
【方法归纳】这类问题往往先求得一元一次不等式的解集,再从解集中找出符合条件的整数解.这类问题,有时还借助于数轴,在数轴上标出解集,就可找出相应的特殊值.
四、 不能正确理解不等式组解集的意义,导致解答错误
例6 若不等式组x>a,3x+2<4x-1的解集是x>3,则a的取值范围是_______.
【错误解答】a<3.
【错因剖析】不等式组的解集就是其中各不等式解集的公共部分.不等式组x>a,3x+2<4x-1即可化为x>a,x>3.再根据其解集为x>3,即可知道a的取值范围.有的同学由于不能正确理解不等式组解集的意义,导致解答错误.
【正确解答】由于3x+2<4x-1的解集为x>3,而原不等式组的解集是x>3,因此a≤3.
【方法归纳】不等式组x>a,x>b的解集为x>a时,则a≥b;
不等式组x 不等式组x>a,xa,x 五、 不能从问题条件获取不等量关系,导致出现错误
例7 在一次社会实践活动中,某班可筹集到的活动经费最多900元.此次活动租车需300元,每个学生活动期间所需经费15元,则参加这次活动的学生人数最多为_______人.
【错误解答】设参加这次活动的学生人数为x人,则15x<900-300,解得x<40,故参加这次活动的学生人数最多为39人,则本题应该填:39.
【错因剖析】由于有的同学不能准确地从实际问题中获取不等量关系,建立恰当的一元一次不等式,因而出现错误.
【正确解答】设参加这次活动的学生人数为x人,则15x≤900-300,解得x≤40,故参加这次活动的学生人数最多为40人,即本题应该填:40.
【方法归纳】解答这类问题的关键在于,根据题意准确捕捉不等量关系,建立关于一元一次不等式,再求得符合问题的结论.
一、 不能正确把握不等式的性质,导致解答错误
例1 解不等式:4x-6
合并同类项,得5x<-6,
所以不等式的解集为x<-■.
【错因剖析】在移项时,将单项式“-6”从不等式的左边移到不等式的右边,将“x”从不等式的右边移到左边时,没有变号.由于部分同学不能正确理解不等式的基本性质1,导致错误.
【正确解答】移项,得4x-x<6,
合并同类项,得3x<6,
所以不等式的解集为x<2.
【方法归纳】解一元一次不等式的过程中,移项的依据是不等式的基本性质1,因此,移项时一定要注意变号.
例2 解不等式:■-■>1.
【错误解答】去分母,得3(x+1)-2(2x-4)>1,
去括号,得3x+1-4x-8>1,
合并同类项,得-x>8,
所以不等式的解集为x<-2.
【错因剖析】在去分母时,将不等式的两边同时乘以最简公分母6,没有根据不等式的性质2,对不等式两边各项同时乘以6;在去括号时,化简“-2(2x-4)”时不能正确应用乘法分配律.由于不能正确理解不等式的基本性质2,滥用乘法分配律,导致错误.
【正确解答】去分母,得3(x+1)-2(2x-4)>6,
去括号,得3x+3-4x+8>6,
合并同类项,得-x>-5,
所以不等式的解集为x<5.
【方法归纳】在对所给不等式去分母时,必须根据不等式性质2,在不等式的两边同时乘以它们的最简公分母.
例3 解不等式:■-■>1.
【错误解答】原不等式可以化为■- ■>10.
去分母,得-2(40x-15)-5(8-5x)>-100.
去括号,得-80x+30-40+25x>-100.
移项,得-80x+25x>-100+30-40.
合并同类项,得-55x>-110.
系数化为1,得x<2.
【错因剖析】将不等式中分母含有小数的项化为整数时,应用了分数的基本性质,与其他项的变形无关,混淆了分数的基本性质和不等式的基本性质,导致错误.另外,在分母中的小数化为整数和移项的过程中还出现了运算错误.
【正确解答】原不等式可以化为■- ■>1.
即(8x-3)-(25x-4)>1.
去括号,得8x-3-25x+4>1.
移项,得8x-25x>1-4+3.
合并同类项,得-17x>0.
系数化为1,得x<0.
【方法归纳】在原不等式的变形过程中,各部分的变形是根据分数的基本性质,与其他部分没有关系,只需要分子、分母同时乘同一个不等于0的整数即可;去分母的依据是不等式的性质2,在不等式两边同乘-10时,不等号的方向必须改变.
二、 不能正确获取不等式在数轴上解集的信息,导致解答错误
例4 关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示,则a的值是_______.
【错误解答】≤-■.
【错因剖析】由关于x的不等式3x-2a≤-2,可以求得它的解集为x≤■.再由数轴可以知道这个不等式的解集为x≤-1.则■=-1,解得,a=-■.
【正确解答】-■.
【方法归纳】这类问题,首先根据不等式求得含有字母a的不等式解集,再根据数轴上的解集逆向确定不等式的解集,从而建立关于a的一元一次方程,达到解决问题目的.
三、 不能正确确定不等式的整数解,导致解答错误
例5 不等式3x-5<3+x的正整数解有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【错误解答】A.
【错因剖析】由于有的同学解得不等式3x-5<3+x的解集为x<2,因而不能正确确定不等式的整数解,导致解答错误.
【正确解答】要求不等式的正整数解,首先解出这个不等式3x-5<3+x的解集为x<4,再确定符合x<4的正整数解有1、2、3,共3个.因此,本题正确应该选C.
【方法归纳】这类问题往往先求得一元一次不等式的解集,再从解集中找出符合条件的整数解.这类问题,有时还借助于数轴,在数轴上标出解集,就可找出相应的特殊值.
四、 不能正确理解不等式组解集的意义,导致解答错误
例6 若不等式组x>a,3x+2<4x-1的解集是x>3,则a的取值范围是_______.
【错误解答】a<3.
【错因剖析】不等式组的解集就是其中各不等式解集的公共部分.不等式组x>a,3x+2<4x-1即可化为x>a,x>3.再根据其解集为x>3,即可知道a的取值范围.有的同学由于不能正确理解不等式组解集的意义,导致解答错误.
【正确解答】由于3x+2<4x-1的解集为x>3,而原不等式组的解集是x>3,因此a≤3.
【方法归纳】不等式组x>a,x>b的解集为x>a时,则a≥b;
不等式组x 不等式组x>a,xa,x 五、 不能从问题条件获取不等量关系,导致出现错误
例7 在一次社会实践活动中,某班可筹集到的活动经费最多900元.此次活动租车需300元,每个学生活动期间所需经费15元,则参加这次活动的学生人数最多为_______人.
【错误解答】设参加这次活动的学生人数为x人,则15x<900-300,解得x<40,故参加这次活动的学生人数最多为39人,则本题应该填:39.
【错因剖析】由于有的同学不能准确地从实际问题中获取不等量关系,建立恰当的一元一次不等式,因而出现错误.
【正确解答】设参加这次活动的学生人数为x人,则15x≤900-300,解得x≤40,故参加这次活动的学生人数最多为40人,即本题应该填:40.
【方法归纳】解答这类问题的关键在于,根据题意准确捕捉不等量关系,建立关于一元一次不等式,再求得符合问题的结论.