论文部分内容阅读
摘 要：培养和发展学生的探索能力，是新课标教学的主要任务之一。本文主张以学生为主体，让学生自己发现规律；运用变式教学，提高学生的探索能力；培养发散思维，增强学生举一反三的探索能力；重视探索性试题的教学，培养分析解决问题的能力。
关键词：数学教学培养探索能力
培养和发展学生的探索能力，是新课标数学教学的主要任务之一，是提高学生素质的基础。一个人既要有知识，又要有能力，才能全面发展。能力是一种综合性的心理特征，它体现在注意、观察、思维、记忆、想象等方面的心理活动中。近年来，数学的中招考试和高考中，探索性试题和开放性试题有不断增加的趋势，这就需要我们在数学教学中重视学生能力的培养，特别是发展学生周密敏捷的数学思维能力和探索创新的能力。以下就初中数学教学中，如何培养学生的探索能力谈谈做法。
一、以学生为主体，让学生自己发现规律
教师确立以学生为主体的教学思想，在深入钻研教材的基础上，精心设计教案。在定理与例题的教学中，采用“发现法”，让学生在学习过程中自己去发现规律，获取结论。
图1图2图3
例如：在讲多边形的内角和定理时，让学生复习四边形的内角和等于360°，接着让学生画一个四边形，过四边形一个顶点的对角线，可以把四边形分成两个三角形，如图（1），过五边形的一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？如图（2），用同样的方法，六边形、七边形，n边形呢？学生会发现，过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成（n-2）个三角形，这是为什么呢？这需要老师加以点拨。很快，学生就会得到，每个三角形内角和是180°，（n-2）个三角形的内角和应是（n-2）×180°，这正是几边形内角和定理，成功的喜悦悠然而起，大大激发了学生的学习兴趣和主动探索数学问题的积极性，在此过程中学生自然地掌握了这一定理，加深了对数学概念的认识和理解。
二、运用变式“教学”，发展学生的探索能力
在例题教学和解数学学习中，不宜就题论题，而应该启发学生把思想延续下去，从题目的各个方面去联想、类比，通过“变式”，即改变对问题的提法，或提出新的问题，得出同类问题的解决方法。
例如：如图（4）中AB=AC，点D、E分别在AB，AC上，AE=AD，求证：△ABE≌△ACD
图4
在完成原题后，启发学生把原题中的一个或两个条件改变，结论不变，进行分析证明，让学生举手回答：（1）AB=AC，点D、E分别是AB，AC的中点；（2）AB=AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为E、D；（3）AB=AC，点D、E分别在AB，AC上，∠ABE=∠ACD；（4）点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，∠ABC=∠ACB；（5）点D、E分别在AB、AC上，且BE=CD，∠ABE=∠ACD。以上对题目所做的变化还比较具体，学生回答也比较好。为了将同学们的思维引向深处，我又进一步提出问题，让同学课外思考，把上面的题变为：如果点D、E分别在AB，AC上，且AB=AC，连结BE，CD，要使△ABE≌△ACD，则点D、E分应别在AB，AC的什么地方？这样，学生的兴致更高。
三、培养发散思维，增强学生举一反三的探索能力
发散思维是从同一来原材料，探求不同答案的思维方法，属于分析性思维。要求思维发散，就是要求对问题寻求多种解决的途径，这种思维活动是创造性思维的基础。在解题教学中，对学生进行发散思维的训练，可以培养学生思维的灵活性，增强学生“举一反三”的探索能力。
例：已知：如图（5）AB为⊙O的直径，在AB延长线上取一点C，作CD切⊙O于E，过E作EF⊥AB于F，求证：EA平分∠DEF。
图5
分析：要证∠AED=∠AEF，先要找弦切角∠AED所夹的圆周角，显然应连结BE，有∠AED=∠ABE，而∠AEF与∠A互余，只要∠ABE也与∠A互余，问题可解，已知AB为直径，可提供此条件，再由弦切角定理推出∠AED=∠ABE，问题得证。
另外，由于直径是对称轴，可延长EF交⊙O于G，连结AG，如
图（6）则易可见∠AGE=∠AEG，而∠AGE所对的弧，恰是弦切角∠AED所夹的弧。问题可证。
在有关切线的问题中，过切点的半径是一条重要的辅助线，不妨连结OE，如图（7）知∠OED=90°，∠OEA是弦切角∠AED的余角，易见∠OEA=∠OAE，而∠OAEα是∠AEF的余角，于是问题也可得证。
过半径的端点的切线也是常用的辅助线，过A作切线交CD于D，如图（8），则切线长DA=DE，∠DAE=∠DEA，而∠DAE与∠EAB互余，或AD∥EF，∠DAE=AEF，也可得证。
经过研讨，学生发现，不同的辅助线，有不同的解法，解题思路得到充分的拓宽，分析能力得到充分的锻炼。
四、重视探索性试题的教学，培养分析问题和解决问题的能力
在一些数学问题中，结论不明确给出，要我们先进行探索性猜想，运用学过的知识和方法，按照自己的理解通过分析、比较，概括得出结论，再加以证明。此类问题称为探索性命题，在近年的中招考试和高考中常出现，其特点是条件隐含，不易被发觉，解题要具有相当的探求能力才能找出规律，得出结论。具体可分为探索规律问题、探索结论问题、探索方案问题、探索存在问题等。
探索性的数学问题并不具有定向的解题思路，解题时要把归纳与演绎协调配合,把直觉发现与逻辑推理相互结合，把数学能力和心理能力同时发挥出来。因此，通过对此问题的教学活动,可以有效促进数学知识和数学方法的理解和掌握。
例如图，在平面直角坐标系xoy，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x2+bx+c经过点，C且与直线AC只有一个公共点。
(1)求直线AC的解析式
(2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式
(3)点P为(2)中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
分析： (1)(2)略。(3)解本题的方法是先假设这样的点存在，然后根据题中的条件进行求解。
解(1)直线A的解析式为：y=-x-1；
(2)∵抛物线过C(O,-1)点，∴x2+(b+1)x=0
又∵直线AC与抛物线只有一个公共点C，
∴方程x2+(b+1)x=0有两个相等的实数根
即△=(b+1)2=0 ∴b1=b2=-1
∴抛物线解析式为y=x2-x-1
(3)假设存在符合条件的点P
设P点坐标为(a，a2-a-1)，则Q（a,o）
∵△ADB为等腰直角三角形，△PQB∽△ADB
则△PQB为等腰直角三角形，又PQ⊥QB
∴PQ=QB即|a2-a-1|=|a-1|
解得：a1=0，a2=2，a3=，a4=-
∴存在符合条件的点P共有四个,分别为P1(0，-1)，P2(2，1)，P3(，1-)，P4(-，1+)
本例题是探索存在类问题，探索存在类问题的基本特征是在假设条件下判断结论是否存在或成立，即在是与否之间作出选择解决这类问题通常是先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推理矛盾则否定假设，否则须设法找到存在或成立的理由，教师给予恰当引导，教会学生一些基本常用的探索方法，并结合教材内容，经常进行此类问题的训练，就可以有效地提高学生的探索能力。
关键词：数学教学培养探索能力
培养和发展学生的探索能力，是新课标数学教学的主要任务之一，是提高学生素质的基础。一个人既要有知识，又要有能力，才能全面发展。能力是一种综合性的心理特征，它体现在注意、观察、思维、记忆、想象等方面的心理活动中。近年来，数学的中招考试和高考中，探索性试题和开放性试题有不断增加的趋势，这就需要我们在数学教学中重视学生能力的培养，特别是发展学生周密敏捷的数学思维能力和探索创新的能力。以下就初中数学教学中，如何培养学生的探索能力谈谈做法。
一、以学生为主体，让学生自己发现规律
教师确立以学生为主体的教学思想，在深入钻研教材的基础上，精心设计教案。在定理与例题的教学中，采用“发现法”，让学生在学习过程中自己去发现规律，获取结论。
图1图2图3
例如：在讲多边形的内角和定理时，让学生复习四边形的内角和等于360°，接着让学生画一个四边形，过四边形一个顶点的对角线，可以把四边形分成两个三角形，如图（1），过五边形的一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？如图（2），用同样的方法，六边形、七边形，n边形呢？学生会发现，过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成（n-2）个三角形，这是为什么呢？这需要老师加以点拨。很快，学生就会得到，每个三角形内角和是180°，（n-2）个三角形的内角和应是（n-2）×180°，这正是几边形内角和定理，成功的喜悦悠然而起，大大激发了学生的学习兴趣和主动探索数学问题的积极性，在此过程中学生自然地掌握了这一定理，加深了对数学概念的认识和理解。
二、运用变式“教学”，发展学生的探索能力
在例题教学和解数学学习中，不宜就题论题，而应该启发学生把思想延续下去，从题目的各个方面去联想、类比，通过“变式”，即改变对问题的提法，或提出新的问题，得出同类问题的解决方法。
例如：如图（4）中AB=AC，点D、E分别在AB，AC上，AE=AD，求证：△ABE≌△ACD
图4
在完成原题后，启发学生把原题中的一个或两个条件改变，结论不变，进行分析证明，让学生举手回答：（1）AB=AC，点D、E分别是AB，AC的中点；（2）AB=AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为E、D；（3）AB=AC，点D、E分别在AB，AC上，∠ABE=∠ACD；（4）点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，∠ABC=∠ACB；（5）点D、E分别在AB、AC上，且BE=CD，∠ABE=∠ACD。以上对题目所做的变化还比较具体，学生回答也比较好。为了将同学们的思维引向深处，我又进一步提出问题，让同学课外思考，把上面的题变为：如果点D、E分别在AB，AC上，且AB=AC，连结BE，CD，要使△ABE≌△ACD，则点D、E分应别在AB，AC的什么地方？这样，学生的兴致更高。
三、培养发散思维，增强学生举一反三的探索能力
发散思维是从同一来原材料，探求不同答案的思维方法，属于分析性思维。要求思维发散，就是要求对问题寻求多种解决的途径，这种思维活动是创造性思维的基础。在解题教学中，对学生进行发散思维的训练，可以培养学生思维的灵活性，增强学生“举一反三”的探索能力。
例：已知：如图（5）AB为⊙O的直径，在AB延长线上取一点C，作CD切⊙O于E，过E作EF⊥AB于F，求证：EA平分∠DEF。
图5
分析：要证∠AED=∠AEF，先要找弦切角∠AED所夹的圆周角，显然应连结BE，有∠AED=∠ABE，而∠AEF与∠A互余，只要∠ABE也与∠A互余，问题可解，已知AB为直径，可提供此条件，再由弦切角定理推出∠AED=∠ABE，问题得证。
另外，由于直径是对称轴，可延长EF交⊙O于G，连结AG，如
图（6）则易可见∠AGE=∠AEG，而∠AGE所对的弧，恰是弦切角∠AED所夹的弧。问题可证。
在有关切线的问题中，过切点的半径是一条重要的辅助线，不妨连结OE，如图（7）知∠OED=90°，∠OEA是弦切角∠AED的余角，易见∠OEA=∠OAE，而∠OAEα是∠AEF的余角，于是问题也可得证。
过半径的端点的切线也是常用的辅助线，过A作切线交CD于D，如图（8），则切线长DA=DE，∠DAE=∠DEA，而∠DAE与∠EAB互余，或AD∥EF，∠DAE=AEF，也可得证。
经过研讨，学生发现，不同的辅助线，有不同的解法，解题思路得到充分的拓宽，分析能力得到充分的锻炼。
四、重视探索性试题的教学，培养分析问题和解决问题的能力
在一些数学问题中，结论不明确给出，要我们先进行探索性猜想，运用学过的知识和方法，按照自己的理解通过分析、比较，概括得出结论，再加以证明。此类问题称为探索性命题，在近年的中招考试和高考中常出现，其特点是条件隐含，不易被发觉，解题要具有相当的探求能力才能找出规律，得出结论。具体可分为探索规律问题、探索结论问题、探索方案问题、探索存在问题等。
探索性的数学问题并不具有定向的解题思路，解题时要把归纳与演绎协调配合,把直觉发现与逻辑推理相互结合，把数学能力和心理能力同时发挥出来。因此，通过对此问题的教学活动,可以有效促进数学知识和数学方法的理解和掌握。
例如图，在平面直角坐标系xoy，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x2+bx+c经过点，C且与直线AC只有一个公共点。
(1)求直线AC的解析式
(2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式
(3)点P为(2)中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
分析： (1)(2)略。(3)解本题的方法是先假设这样的点存在，然后根据题中的条件进行求解。
解(1)直线A的解析式为：y=-x-1；
(2)∵抛物线过C(O,-1)点，∴x2+(b+1)x=0
又∵直线AC与抛物线只有一个公共点C，
∴方程x2+(b+1)x=0有两个相等的实数根
即△=(b+1)2=0 ∴b1=b2=-1
∴抛物线解析式为y=x2-x-1
(3)假设存在符合条件的点P
设P点坐标为(a，a2-a-1)，则Q（a,o）
∵△ADB为等腰直角三角形，△PQB∽△ADB
则△PQB为等腰直角三角形，又PQ⊥QB
∴PQ=QB即|a2-a-1|=|a-1|
解得：a1=0，a2=2，a3=，a4=-
∴存在符合条件的点P共有四个,分别为P1(0，-1)，P2(2，1)，P3(，1-)，P4(-，1+)
本例题是探索存在类问题，探索存在类问题的基本特征是在假设条件下判断结论是否存在或成立，即在是与否之间作出选择解决这类问题通常是先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推理矛盾则否定假设，否则须设法找到存在或成立的理由，教师给予恰当引导，教会学生一些基本常用的探索方法，并结合教材内容，经常进行此类问题的训练，就可以有效地提高学生的探索能力。