摘 要：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题数学解题策略，含有與三角形，四边形，面积等问题相结合，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”.这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论.
　　关键词：存在性问题；一般思路；假设
　　1 引言
　　这类试题向来是中考数学压轴题，它的主要特征是先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点.
　　列出方程组求解.
　　函数图象形象地展现了函数的性质，为探究点的存在性提供了直观基础，体现了数形结合的思想[2] 这类问题具有灵活性，多变性融入三角形，四边形，面积等综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识，同时又产生变量，又利用一次函数，二次函数性质解释存在性问题.通过猜想，然后证明猜想的方法是通过取特殊的图形或特殊的位置，或应用极端原理等，即用数学实验的方法，也就是以从特殊到一般的思考方法寻求问题的解，然后经过严格的推理论证，得到问题的最终解决[3].
　　2 与三角形有关的存在性问题
　　以函数为载体三角形图像为基础的点的存在性问题中，先要确定函数的解析式，函数图像，然后再是存在问题，在解决存在性问题时假定结论成立，然后依据已知条件和有关的知识进行推理，能推出正确的结论，那么就存在，不能推出，就不存在.
　　例1 如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
　　（1） 求抛物线的解析式.
　　（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
　　图1
　　解（1）设抛物线的解析式为 ，因为B（0，4）在抛物线上，所以，
　　解得 ，所以抛物线解析式为
　　.
　　（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
　　，
　　所以
　　， ，
　　.
　　因为BD垂直平分PQ，所以
　　PD=QD，PQ⊥BD，
　　所以
　　∠PDB=∠QDB.
　　因为
　　AD=AB，
　　所以
　　∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
　　所以
　　DQ∥AB.
　　所以
　　∠CQD=∠CBA，∠CDQ=∠CAB.
　　所以
　　△CDQ∽ △CAB，.
　　即.
　　所以
　　AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，
　　.
　　所以t的值是 .
　　（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小.
　　理由如下：
　　因为抛物线的对称轴为 ，所以A（- 3，0），C（4，0）.
　　两点关于直线 对称，连接AQ交直线 于点M，则MQ+MC的值最小.
　　过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，所以
　　∠QED=∠BOA=90，DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，
　　△DQE ∽△ABO， .
　　即
　　.
　　所以
　　QE= ，DE= ，
　　所以
　　OE = OD + DE=2+ = ，
　　所以Q（ ， ）.
　　设直线AQ的解析式为 .则
　　由此得所以直线AQ的解析式为，联立 由此得
　　所以M 则：在对称轴上存在点M ，使MQ+MC的值最小.
　　结束语
　　由以上看出，不论三角形有关，还是四边形、面积有关的存在性问题终归是点的存在性.一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断.
　　参考文献
　　[1] 缪晓菊.函数图象中点的存在性问题[J].考试（中考版），2009，（9）：23-24.
　　[2] 郭澄东.解析以函数图象为载体的点的存在性问题[J].初中数学教与学，2009，（1）：17-18.
　　[3] 张亚芳，王盛裕.存在性几何问题的常用解法[J].数理天地：初中版，2010，（6）：31-32.