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摘 要：PPP（Public-Private-Partnership）是通过政府与社会资本合作来建设公共基础设施的一种项目运作模式。近年来，发展的越来越成熟。目前，我国已进入老龄化社会，老龄化问题日趋严重，然而，我国在养老服务方面的设施又比较缺乏，完全由政府承担养老服务的建设，政府又面临着资金缺乏以及相关债务的问题。因此，将养老服务项目与PPP相结合将可以更好地解决这一问题。在PPP项目运作过程中，特许期的优化决策是一个项目成功运行的关键，文章从实物期权的角度去分析PPP特许期决策问题，并运用二叉树定价的方法为实物期权定价，最后将定价分析模型应用于具体PPP案例，验证其可行性。为PPP项目更有效的决策提供一定的借鉴作用。
关键词：实物期权 二叉树 PPP特许期 养老服务
中图分类号：F062.6 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2021）04-061-02
一、引言
进入21世纪以来，我国的老龄化问题越来越严重，虽然目前大部分老人还更倾向于居家养老的方式，但由于不仅会加重家庭负担，而且也与老人对高质量的服务要求相冲突，因此，机构养老将变成未来的趋势，然而目前我国养老服务的供给与需求呈现出明显的不平衡，在该背景下，养老服务结合PPP模式成为一个可行的解决方案。据财政部政府与社会资本合作中心数据显示，截至目前，在PPP项目库中，养老服务项目虽然近年来有所增加，但占比还比较少。
在PPP项目模式的发展过程中，之前由于项目风险分担、投资决策不合理造成很多项目被迫中途停止。PPP项目特许期的设计是能否得以实施的关键所在。很多学者在PPP特许期决策方面做了大量研究。李启明等（2000）最早在传统净现值法的基础上提出了项目特许期的数量决策模型，这一方法虽操作简单，但它将不确定性全部视为风险，忽略了投资的不确定性对项目的潜在价值。目前还有很多学者运用实物期权和博弈论的方法对特许权期决策进行研究。其中史翔等（2014）将实物期权价值的分配纳入决策过程，结合博弈论计算PPP项目特许期。冯永洲（2017）利用蒙特卡罗模拟将实物期权价值定量化，构建基于实物期权的PPP项目特许权期决策模型。吴凡、曾颖妍（2020）基于讨价还价博弈理论和实物期权理论为政府补贴决策做出科学设计。但在PPP养老服务中基于实物期权运用二叉树进行定价的研究很少，因此，本文拟运用二叉树实物期权的方法研究PPP特许期问题。
二、二叉树实物期权理论分析
实物期权的概念来源于金融期权，与金融期权最大的区别就是以实物资产作为标的物来设计资产未来的选择权。最主要的应用领域就是实物资产投资决策的分析。二叉树定价方法是期权定价的方法之一。一般适用于间断性分阶段期权的定价。该模型假设当前T0时刻标的资产的价格为S，基于该标的资产某个期权的价值为f，期权的有效期为T，在这一期间内，标的资产的价格要么上升到Su，要么下降到Sd（u>1，d<1），当标的资产价格上升到Su时，假设期权的回报为fu，如果标的资产的价格下降到Sd时，期权的回报为fd。如图所示：
其中，u和d的确定取决于标的资产价格变动的波动率σ，以及时间△t，u=e。在风险中性世界中，假设标的资产上升的概率为P，由于标的资产未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该标的资产目前的价格，因此，该概率可通过下式求得：S=Sup+Sd（1-p）]。即P=，求出了风险中性概率后，期权价格就等于f=，其中r为无风险利率。
三、实物期权特许期决策模型设定
目前，在已有的研究和实践中，应用最广的投资决策方法为NPV净现值法。该方法的基本模型为：NP1，2，3…t。
其中，I为项目初始投资额，S政府第i年支付给项目公司的补贴额，C第i期现金流入，COi为第i期现金流出，r为折现率。令NPV大于等于0，即NPV=算出特许期t即可。然而这一方法忽略了未来项目的不确定性所带来的潜在价值，可能会影响项目更科学准确的决策。因此，在此基础上引出实物期权决策法。假设在每一个项目中都包含一个或多个实物期权，将NPV加上项目中含有实物期权的价值即为总投资价值。等于NPV+opt≥0。求出特许期t。
按照不同的标准、不同的分类方式对实物期权进行分类会得到不同的结果。Trigeorgis（1993）将实物期权分为增长期权、担保期权、放弃期权、延迟期权、转换期权、分阶段投资期权、规模变动期权和复合期權等类别。
养老服务PPP项目经营的主要收入来源为床位费和其他配套服务费，成本主要为运营维护和人力成本。当营业收入不能弥补建设成本和维护成本时，为了使其能继续经营下去，政府必须要给与可行性补助。这意味从投资者的角度来看相当于持有一种担保期权。而背书人是政府，基于养老服务项目的经营特点，本文仅从担保期权的角度计算特许期。将政府的补贴分为固定补贴和变动补贴。变动补贴主要因为不确定性存在。
四、算例分析
某养老院PPP项目，项目采用建设——运营——移交（BOT）模式运作。建设总用地面积47301m2，合作期限30年，其中建设期2年，运营期28年。项目总投资22000万元，其中社会资本投资17700万元，政府投资4300万元，折现率选取当年无风险国债利率为4.7%，投资回报率为6.35%。
担保期权的存在，主要是因为对未来经营收入的不确定性所引起的，若未来项目的收益小于设定的经营下限，则政府就要给予项目公司补贴，补贴的额度为两者差额，PPP协议中规定如果经营达不到社会资本所设定的投资回报率，对社会资本将起不到激励作用，因此，实际回报额与预期回报率的差额由政府来承担，但为了满足一定的社会效益，政府机构也要限制社会资本防止其取得暴利。基于同类养老机构的运营情况，在PPP协议中已经设置每年大概的可变补贴额，即按照当年入住老年人数，每人每年600元为最低补贴下限，但如果实际入住人数超出测算额，则按实际入住人数给予补贴，同时经营成本按占运营收入的比例计算，如果超出这一范围由政府给予补偿，基于每年入住率的不确定性，假设在原本测算的基础上，每年的入住人数的波动率为20%，运用二叉树计算期权价值，以一年为分割期限。第一年的收益为990万元，第一年的运营成本为594万元，则△t=1。故可以算出参数u=1.22，d=0.82，P=0.575。运用倒推法从二叉树末端计算期初期权的价值，即经营的第一期的担保期权价值为108.16万元，运营成本担保期权价值为71.38万元，如下图所示： 则第一期的担保期权价值Vopt=108.16+71.38=179.54万元。以此类推，可以计算出每一年的期权价值Vopt。从而计算出基于担保期权价值的项目总价值V，因版面限制仅显示第20～30期的结果。结果如表1所示。
由表1可知，基于固定补贴的累计净现值NPVi在特许期第29年为643.16万元>0，因此29年为不考虑潜在价值时的投资回收期，而考虑担保期权价值后，项目总价值在第27年即可达到196.87万元>0，因此在考虑项目的潜在价值后，项目的投资回收期比原来的测算期限缩短，政府可以较早收回投资项目，防止社会资本出现暴利，有利于实现社会效益的最大化。
五、结语
本文从传统的投资决策模型NPV方法出发，基于NPV方法忽略了项目潜在价值的不足之处，构建加入实物期权的项目特许期决策模型，并运用实际案例养老服务PPP项目具体分析模型的适用性，根据实际情况识别项目中所包含的实物期权，发掘项目存在的潜在价值，最后用二叉树定价方法求出实物期权的解，计算出加入实物期权后该项目的特许权期，发现考虑实物期权后，项目的潜在投资价值提高，而政府与社会资本合作的特许经营期便缩短，这有利于提早将PPP项目经营权移交给政府，实现最大社会效益。
本文虽然得出加入实物期权后可以缩短项目的特许权期，但仍存在一些不足之处，在识别项目的实物期权时，仅仅考虑担保期权价值，在实际情况中还包含更為复杂的实物期权，因此，在以后的研究中还有待努力。
参考文献：
[1] 李启明，申立银.基础设施BOT项目特许权期的决策模型[J].管理工程学报，2000（1）
[2] 史翔.基于期权博弈的PPP项目特许期决策研究[D].西南交通大学，2014
[3] 冯永洲.基于实物期权的PPP项目特许权期决策研究[D].武汉大学，2017
[4] 吴凡，曾颖妍.基于博弈视角和实物期权理论的养老机构PPP项目运营补贴机制研究[J].管理工程学报，2020（5）
[5] Trigeorgis L.Real Option and Interactions with Financial Flexibility[J].Financial Management.1993（3）
[6] 郑振龙，陈蓉.金融工程[M].高等教育出版社，2016
（作者单位：云南师范大学经济与管理学院 云南昆明 650500）
[作者简介：司文雅，云南师范大学经济与管理学院金融学硕士，研究方向：公司金融;者贵昌，通讯作者，云南师范大学经济与管理学院教授，研究方向：金融学、国际经济与贸易。]（责编：贾伟）
关键词：实物期权 二叉树 PPP特许期 养老服务
中图分类号：F062.6 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2021）04-061-02
一、引言
进入21世纪以来，我国的老龄化问题越来越严重，虽然目前大部分老人还更倾向于居家养老的方式，但由于不仅会加重家庭负担，而且也与老人对高质量的服务要求相冲突，因此，机构养老将变成未来的趋势，然而目前我国养老服务的供给与需求呈现出明显的不平衡，在该背景下，养老服务结合PPP模式成为一个可行的解决方案。据财政部政府与社会资本合作中心数据显示，截至目前，在PPP项目库中，养老服务项目虽然近年来有所增加，但占比还比较少。
在PPP项目模式的发展过程中，之前由于项目风险分担、投资决策不合理造成很多项目被迫中途停止。PPP项目特许期的设计是能否得以实施的关键所在。很多学者在PPP特许期决策方面做了大量研究。李启明等（2000）最早在传统净现值法的基础上提出了项目特许期的数量决策模型，这一方法虽操作简单，但它将不确定性全部视为风险，忽略了投资的不确定性对项目的潜在价值。目前还有很多学者运用实物期权和博弈论的方法对特许权期决策进行研究。其中史翔等（2014）将实物期权价值的分配纳入决策过程，结合博弈论计算PPP项目特许期。冯永洲（2017）利用蒙特卡罗模拟将实物期权价值定量化，构建基于实物期权的PPP项目特许权期决策模型。吴凡、曾颖妍（2020）基于讨价还价博弈理论和实物期权理论为政府补贴决策做出科学设计。但在PPP养老服务中基于实物期权运用二叉树进行定价的研究很少，因此，本文拟运用二叉树实物期权的方法研究PPP特许期问题。
二、二叉树实物期权理论分析
实物期权的概念来源于金融期权，与金融期权最大的区别就是以实物资产作为标的物来设计资产未来的选择权。最主要的应用领域就是实物资产投资决策的分析。二叉树定价方法是期权定价的方法之一。一般适用于间断性分阶段期权的定价。该模型假设当前T0时刻标的资产的价格为S，基于该标的资产某个期权的价值为f，期权的有效期为T，在这一期间内，标的资产的价格要么上升到Su，要么下降到Sd（u>1，d<1），当标的资产价格上升到Su时，假设期权的回报为fu，如果标的资产的价格下降到Sd时，期权的回报为fd。如图所示：
其中，u和d的确定取决于标的资产价格变动的波动率σ，以及时间△t，u=e。在风险中性世界中，假设标的资产上升的概率为P，由于标的资产未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该标的资产目前的价格，因此，该概率可通过下式求得：S=Sup+Sd（1-p）]。即P=，求出了风险中性概率后，期权价格就等于f=，其中r为无风险利率。
三、实物期权特许期决策模型设定
目前，在已有的研究和实践中，应用最广的投资决策方法为NPV净现值法。该方法的基本模型为：NP1，2，3…t。
其中，I为项目初始投资额，S政府第i年支付给项目公司的补贴额，C第i期现金流入，COi为第i期现金流出，r为折现率。令NPV大于等于0，即NPV=算出特许期t即可。然而这一方法忽略了未来项目的不确定性所带来的潜在价值，可能会影响项目更科学准确的决策。因此，在此基础上引出实物期权决策法。假设在每一个项目中都包含一个或多个实物期权，将NPV加上项目中含有实物期权的价值即为总投资价值。等于NPV+opt≥0。求出特许期t。
按照不同的标准、不同的分类方式对实物期权进行分类会得到不同的结果。Trigeorgis（1993）将实物期权分为增长期权、担保期权、放弃期权、延迟期权、转换期权、分阶段投资期权、规模变动期权和复合期權等类别。
养老服务PPP项目经营的主要收入来源为床位费和其他配套服务费，成本主要为运营维护和人力成本。当营业收入不能弥补建设成本和维护成本时，为了使其能继续经营下去，政府必须要给与可行性补助。这意味从投资者的角度来看相当于持有一种担保期权。而背书人是政府，基于养老服务项目的经营特点，本文仅从担保期权的角度计算特许期。将政府的补贴分为固定补贴和变动补贴。变动补贴主要因为不确定性存在。
四、算例分析
某养老院PPP项目，项目采用建设——运营——移交（BOT）模式运作。建设总用地面积47301m2，合作期限30年，其中建设期2年，运营期28年。项目总投资22000万元，其中社会资本投资17700万元，政府投资4300万元，折现率选取当年无风险国债利率为4.7%，投资回报率为6.35%。
担保期权的存在，主要是因为对未来经营收入的不确定性所引起的，若未来项目的收益小于设定的经营下限，则政府就要给予项目公司补贴，补贴的额度为两者差额，PPP协议中规定如果经营达不到社会资本所设定的投资回报率，对社会资本将起不到激励作用，因此，实际回报额与预期回报率的差额由政府来承担，但为了满足一定的社会效益，政府机构也要限制社会资本防止其取得暴利。基于同类养老机构的运营情况，在PPP协议中已经设置每年大概的可变补贴额，即按照当年入住老年人数，每人每年600元为最低补贴下限，但如果实际入住人数超出测算额，则按实际入住人数给予补贴，同时经营成本按占运营收入的比例计算，如果超出这一范围由政府给予补偿，基于每年入住率的不确定性，假设在原本测算的基础上，每年的入住人数的波动率为20%，运用二叉树计算期权价值，以一年为分割期限。第一年的收益为990万元，第一年的运营成本为594万元，则△t=1。故可以算出参数u=1.22，d=0.82，P=0.575。运用倒推法从二叉树末端计算期初期权的价值，即经营的第一期的担保期权价值为108.16万元，运营成本担保期权价值为71.38万元，如下图所示： 则第一期的担保期权价值Vopt=108.16+71.38=179.54万元。以此类推，可以计算出每一年的期权价值Vopt。从而计算出基于担保期权价值的项目总价值V，因版面限制仅显示第20～30期的结果。结果如表1所示。
由表1可知，基于固定补贴的累计净现值NPVi在特许期第29年为643.16万元>0，因此29年为不考虑潜在价值时的投资回收期，而考虑担保期权价值后，项目总价值在第27年即可达到196.87万元>0，因此在考虑项目的潜在价值后，项目的投资回收期比原来的测算期限缩短，政府可以较早收回投资项目，防止社会资本出现暴利，有利于实现社会效益的最大化。
五、结语
本文从传统的投资决策模型NPV方法出发，基于NPV方法忽略了项目潜在价值的不足之处，构建加入实物期权的项目特许期决策模型，并运用实际案例养老服务PPP项目具体分析模型的适用性，根据实际情况识别项目中所包含的实物期权，发掘项目存在的潜在价值，最后用二叉树定价方法求出实物期权的解，计算出加入实物期权后该项目的特许权期，发现考虑实物期权后，项目的潜在投资价值提高，而政府与社会资本合作的特许经营期便缩短，这有利于提早将PPP项目经营权移交给政府，实现最大社会效益。
本文虽然得出加入实物期权后可以缩短项目的特许权期，但仍存在一些不足之处，在识别项目的实物期权时，仅仅考虑担保期权价值，在实际情况中还包含更為复杂的实物期权，因此，在以后的研究中还有待努力。
参考文献：
[1] 李启明，申立银.基础设施BOT项目特许权期的决策模型[J].管理工程学报，2000（1）
[2] 史翔.基于期权博弈的PPP项目特许期决策研究[D].西南交通大学，2014
[3] 冯永洲.基于实物期权的PPP项目特许权期决策研究[D].武汉大学，2017
[4] 吴凡，曾颖妍.基于博弈视角和实物期权理论的养老机构PPP项目运营补贴机制研究[J].管理工程学报，2020（5）
[5] Trigeorgis L.Real Option and Interactions with Financial Flexibility[J].Financial Management.1993（3）
[6] 郑振龙，陈蓉.金融工程[M].高等教育出版社，2016
（作者单位：云南师范大学经济与管理学院 云南昆明 650500）
[作者简介：司文雅，云南师范大学经济与管理学院金融学硕士，研究方向：公司金融;者贵昌，通讯作者，云南师范大学经济与管理学院教授，研究方向：金融学、国际经济与贸易。]（责编：贾伟）