平面向量部分概念多、公式多、运算法则多，向量的运算与实数的运算既有相同之处，也有其自身的特点，在学习过程中一定要注意向量的特征，抓住向量的本质.稍不注意，就容易出错.老师在教学实践中发现，同学们在向量学习中存在概念不清、错误类比、以偏概全、对公式（性质）记忆混淆等所导致的错误，希望引起大家的重视.
　　一、对概念理解不清而致错
　　例1给出下列说法：①若AB=DC，则A、B、C、D是平行四边形的四个顶点；②若AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD；③若a=b，b=c，则a=c；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形.正确的序号是.
　　错解：∵AB=DC，∴AB
　　瘙 綊 DC.
　　∴四边形ABCD为平行四边形，故①对；
　　又∵|AB|>|CD|，∴AB>CD，故②对；
　　根据平行的传递性知④对.
　　因此，正确的序号是①②④.
　　剖析：①判断错误是由于未能正确理解向量相等的概念，因为AB=DC时，A，B，C，D四点可能在同一条直线上；②判断错误是因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小；④判断错误是因为b=0时，a与c不一定平行.
　　正解：两个向量相等，必须同向且等长，故③正确；AB·BC>0，则AB与BC的夹角为B的补角是锐角，所以B是钝角，故⑤正确.
　　故填③⑤.
　　特别提醒：要正确解答有关向量的辨析题，必须准确理解向量的有关概念及相关的运算法则，并注意区分与实数概念、运算法则的不同.
　　二、忽视向量共线时的特殊情况
　　例2已知向量a、b、c在同一平面内两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的模.
　　错解：由已知可知a、b、c都为非零向量.又它们两两所成的角相等，故所成的角为120°，而（a+b+c）2=12+22+32+2×1×2cos120°+2×1×3cos120°+2×2×3cos120°=3，所以|a+b+c|=3.
　　剖析：向量a、b、c在同一平面内两两所成的角相等，有两种情况，即成120°的角或成0°的角，所以上述解答忽视了a、b、c共线同向的情况，所以要分类讨论.
　　正解：①当a、b、c不共线时，解答同上.
　　②当a、b、c共线同向时，即a、b、c两两所成的角为0°时，|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6.
　　综上所述向量a+b+c的模为3或6.
　　特别提醒：共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.规定：0向量与任意向量平行.
　　三、不考虑向量夹角的范围及相应两个向量的方向而致错
　　例3已知a=（k，6），b=（3，2），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求k的取值范围.
　　错解：∵θ为锐角，
　　∴cosθ>0，
　　∴a·b=|a||b|cosθ>0，
　　得3k+6·2>0，即k>-4.
　　剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0.事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0.
　　正解：由θ为锐角，得cosθ>0且cosθ≠1，
　　∴a·b=|a||b|cosθ>0，
　　得3k+6·2>0，即k>一4.
　　若a平行b则2k-6·3=0，
　　即k=9，此时cosθ=1，与θ为锐角相矛盾，
　　∴k≠9.
　　综上，k>-4且k≠9.
　　特别提醒：要正确解答向量夹角问题，需注意三个方面：（1）明确向量夹角与其余弦值的符号关系；（2）把握两个向量的方向；（3）明确向量夹角的范围.
　　四、混淆向量的数量积与实数乘法而致错
　　例4已知a，b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.
　　错解：由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0，
　　即7a2+16a·b-15b2=0，7a2-30a·b+8b2=0，
　　两式相减得46a·b-23b2=0，移项后两边再同时除以b，得2a=b.
　　则a与b同向，故向量a与b的夹角为0.
　　剖析：本题误用实数的运算性质（等式两边同时除以一个实数）导致解题错误，如（3，2）·（1，0）=（3，1）·（1，0）时，（3，2）≠（3，1）.
　　正解：由前知b2=2a·b.
　　代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，
　　∴a2=b2=2a·b，
　　故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a|2|a|2=12.
　　∴θ=60°.
　　特别提醒：向量的数量积与实数的积有着本质上的区别，解答向量的数量积问题时要注意运算律或运算法则上的区别，不要受到实数的积形成的定势思维的影响，特别要注意：（1）向量等式两边不能同除；（2）|a|2=|b|2只能得出|a|=|b|，不能得出a=b或a=-b；（3）实数0与向量的积为向量0等.
　　五、误用向量的加、减法而致错
　　例5四边形ABCD是以向量AB=m，AD=n为边的平行四边形，O是其对角线的交点，M是BD上的一点，且DM=14DO，试用m，n表示AM.
　　错解：∵DB=AD-AB=n-m.
　　DM=14DO=18DB=18n-18m， 　　∴AM=AD+DM=n+18n-18m=98n-18m.
　　剖析：根据向量减法的三角形法则，两个向量相减，所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量.
　　正解：∵DB=AB-AD=m-n，
　　DM=14DO=18DB=18m-18n，
　　∴AM=AD+DM=78n+18m.
　　特别提醒：运用向量加法与减法时要注意：（1）两个向量相减所得向量的方向；（2）进行加法时必须首尾相接，所得向量方向指向最后一个向量的终点；（3）注意向量加减法与实数加减法的运算律和法则的区别.
　　六、忽视向量的方向性
　　例6如右图，A1，A2，…，A8是⊙O上的8个等分点，而在以A1，A2，…，A8及圆心O这9个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？
　　错解：（1）由已知可得：八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边长与对角线均与⊙O的半径不相等，所以模等于半径的向量只能是OAi，因此模等于半径的向量共有8个；
　　（2）以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个是正方形A2A4A6A8，在题目所述的向量中，只有这两个正方形的边的长度为半径的2倍，所以模等于半径2倍的向量共有4×2=8个.
　　剖析：本题考查了分类讨论及数形结合的思想，在计算两向量的个数时，容易漏掉每条边相对应两个向量这一点.（1）由已知可得：八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边长与对角线均与⊙O的半径不相等，所以模等于半径的向量只能是OAi与AiO两类.（i=1，2，…，8）
　　（2）⊙O内接正方形的边长是半径的2倍，所以应考虑与圆心O成90°的圆心角的两端的点的向量个数.
　　正解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是OAi（i=1，2，…，8）共8个；另一类是AiO（i=1，2，…，8）也有8个，两类合计16个.
　　（2）以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个是正方形A2A4A6A8，在题目所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成是有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的2倍，所以模等于半径的2倍的向量共有4×2×2=16个.
　　特别提醒：向量与实数的不同就在于：向量具有方向性，常常用有向线段来表示向量.
　　七、忽视向量三角形法则的适用范围
　　例7若|AB|=8，|AC|=5，则|BC|的取值范围是.
　　错解：∵|BC|=|AC-AB|，
　　而根据AC=AB+BC，应用向量加法的三角形法则可得A，B，C构成三角形.
　　|AB|-|AC|<|BC|<|AC|+|AB|，
　　∴3<|BC|<13.
　　剖析：A，B，C三点不一定构成三角形，应用向量加法的三角形法则求和.不一定三点构成三角形，三点共线也可以用三角形法则，本题应注意三点共线的情况.
　　正解：由以上分析知：3≤|BC|≤13.
　　特别提醒：要分清向量是向量，模是模.A，B，C三点不构成三角形，也可以应用向量加法的三角形法则求和.
　　八、忽视向量夹角范围致误
　　例8已知向量a=（2cosα，2sinα），α∈（π2，π），b=（0，-1），则a与b的夹角为（）
　　A. 3π2-αB. α+π2
　　C. α-π2D. α
　　错解：∵a·b=|a||b|cos，
　　∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（π2+α）.故选B.
　　剖析：∵∈[0，π]，而α∈（π2，π），∴α+π2∈（π，3π2）.
　　故α+π2不可能是a与b的夹角.
　　正解：∵a·b=|a||b|cos，
　　∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（3π2-α）.
　　又∵α∈（π2，π），∴3π2-α∈（π2，π），
　　∴a与b的夹角为3π2-α.故选A.
　　特别提醒：两向量之间夹角范围是[0°，180°]，其中，0°表示两向量同向，180°表示两向量反向.