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[摘要]针对非完整移动平台运动学模型，设计了一种基于贝塞尔几何规划方法的点镇定控制器。根据最优化理论，利用Powell算法对运动轨迹的曲率进行了优化。最后仿真实验证明了所设计的点镇定控制律的能使移动平台镇定到期望位姿，所采用的优化方法是快速有效的。
[关键词]移动平台；贝塞尔曲线；Powell算法
1、引言
移动平台可以代替人工作在各种危险场合，如化工厂的易燃易爆区危险作业等。为了使移动平台自主完成避障、泊位等任务，其控制过程通常被分成两个步骤：先基于特定规则进行路径寻优规划，然后设计运动控制器跟踪所规划的路径。在实际应用中，将这两个问题分开解决，通常会出现效率不高、跟踪失败等问题[1]，这主要是因为在运动规划时没有考虑移动平台所受的外界约束，导致机器人在某些时刻无法达到给定的输入，从而无法实现有效的轨迹跟踪[2]。
2、基于三阶贝塞尔曲线的控制律设计
针对上述问题，本文提出基于三阶贝塞尔曲线的点镇定控制方法，该方法不仅满足了移动机器人的非完整约束，而且能够同时实现路径规划和运动控制，而不用把两者分开设计；同时此方法便于系统的控制设计，能够减小系统的运算量，提高系统的控制性能， 并在保证精度的基础上使用Powell方法对运动轨迹的曲率进行了优化。
本文将设计基于移动平台运动学模型的点镇定控制器，其控制原理示意图如图1所示，使得：
由贝塞尔曲线的定义：
式（4）中移动机器人的初始位置为b0，b3为其目标位置；b1为沿移动机器人当前方向角正向直线上取的可控点，b2为沿其目标方向角反向直线上取的可控点。设定d1为b0，b1点之间的距离，d2为b2，b3点之间的距离。
（7）
移动平台在依据式（5）确定初始点的曲率时，除了起始点和期望点外还需要确定另外两个控制点b1和b2，即需要确定d1和d2。为了减小双轮角速度调整频率，根据式（7）引入优化调整因子μ、ε，使得，。将其代入式（7）得
（8）
其中μ、ε为需要不断调整的参数，这就提出了贝塞尔曲线的曲率优化问题。
3、基于改进Powell法的曲率优化
Powell算法将计算分成许多段，在每个阶段做相继的n+1次一维搜索，先是沿n个线性无关方向，然后是沿着由这一阶段的出发点与最好点相连接的方向。在这些搜索之后，前n个方向之一被第n+1个方向取代，然后开始一个新的阶段[3]。该方法要求每个阶段的 个搜索方向都线性无关，这是比较难做到的，所以对Powell方法进行了改进，实践结果表明改进Powell方法的性能是令人满意。
改进Powell法的优化步骤如下：
Step1选取初始数据。选取初始点，2个线性无关的初始搜索方向d1.1，d1.2，给定允许误差，令。
Step2进行基本搜索。令，从出发，依次沿方向进行一维搜索，得到点。
Step3检查是否满足终止准则。取加速方向，若，迭代终止，为问题的最优解。否则从出发，沿方向做一维搜索得到步长tk和。
Step4判断是否调整方向。
求满足的下标m，若则转Step5，否则转Step6。其中，为惩罚函数[4]。
Step5调整搜索方向。
令；。返回Step2。
Step6不调整搜索方向。令。返回Step2。
求出使非完整移动平台运动轨迹的曲率变化率平方和最小的，将其代入式（8）即实现了基于贝塞尔曲线移动平台曲率最优的点镇定控制[5]。
4、仿真实验结果和分析
为验证本章所提出算法的有效性，对其在VC++环境下进行了仿真研究，仿真结果以仿真图形的方式给出。本文的控制器是采用位姿误差构成状态反馈，所以不失一般性，在控制律仿真中可以预设初始时刻为零，非完整移动平台的初始位姿为，本文给出目标位姿为的仿真结果。线速度最大值，角速度最大值 。
5、结论
本章讨论了非完整移动平台的点镇定控制问题，应用贝塞尔曲线的性质来规划移动平台的路径并以反馈控制原理为基础提出了点镇定控制器的算法。由于此算法的精度达不到要求，所以采用改进的Powell方法对运动轨迹的曲率进行寻优，最后进行了仿真实验。结果证明了所设计的点镇定控制律的能使移动平台镇定到期望位姿，所采用的优化方法是快速有效的。
参考文献
[1]李世华，田玉平.非完整移动机器人的轨迹跟踪控制.控制与决策，2002. Vol，17（3）： 301～305.
[2]曹洋，方帅，徐心和.加速度约束条件下的非完整移动机器人运动控制.控制与决策，2006. Vol，21（2）： 193～196
[3] R. W. Brocket. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. In： Geometric Control Theory. Boston： Birkhauser， 1983. 181～191
[关键词]移动平台；贝塞尔曲线；Powell算法
1、引言
移动平台可以代替人工作在各种危险场合，如化工厂的易燃易爆区危险作业等。为了使移动平台自主完成避障、泊位等任务，其控制过程通常被分成两个步骤：先基于特定规则进行路径寻优规划，然后设计运动控制器跟踪所规划的路径。在实际应用中，将这两个问题分开解决，通常会出现效率不高、跟踪失败等问题[1]，这主要是因为在运动规划时没有考虑移动平台所受的外界约束，导致机器人在某些时刻无法达到给定的输入，从而无法实现有效的轨迹跟踪[2]。
2、基于三阶贝塞尔曲线的控制律设计
针对上述问题，本文提出基于三阶贝塞尔曲线的点镇定控制方法，该方法不仅满足了移动机器人的非完整约束，而且能够同时实现路径规划和运动控制，而不用把两者分开设计；同时此方法便于系统的控制设计，能够减小系统的运算量，提高系统的控制性能， 并在保证精度的基础上使用Powell方法对运动轨迹的曲率进行了优化。
本文将设计基于移动平台运动学模型的点镇定控制器，其控制原理示意图如图1所示，使得：
由贝塞尔曲线的定义：
式（4）中移动机器人的初始位置为b0，b3为其目标位置；b1为沿移动机器人当前方向角正向直线上取的可控点，b2为沿其目标方向角反向直线上取的可控点。设定d1为b0，b1点之间的距离，d2为b2，b3点之间的距离。
（7）
移动平台在依据式（5）确定初始点的曲率时，除了起始点和期望点外还需要确定另外两个控制点b1和b2，即需要确定d1和d2。为了减小双轮角速度调整频率，根据式（7）引入优化调整因子μ、ε，使得，。将其代入式（7）得
（8）
其中μ、ε为需要不断调整的参数，这就提出了贝塞尔曲线的曲率优化问题。
3、基于改进Powell法的曲率优化
Powell算法将计算分成许多段，在每个阶段做相继的n+1次一维搜索，先是沿n个线性无关方向，然后是沿着由这一阶段的出发点与最好点相连接的方向。在这些搜索之后，前n个方向之一被第n+1个方向取代，然后开始一个新的阶段[3]。该方法要求每个阶段的 个搜索方向都线性无关，这是比较难做到的，所以对Powell方法进行了改进，实践结果表明改进Powell方法的性能是令人满意。
改进Powell法的优化步骤如下：
Step1选取初始数据。选取初始点，2个线性无关的初始搜索方向d1.1，d1.2，给定允许误差，令。
Step2进行基本搜索。令，从出发，依次沿方向进行一维搜索，得到点。
Step3检查是否满足终止准则。取加速方向，若，迭代终止，为问题的最优解。否则从出发，沿方向做一维搜索得到步长tk和。
Step4判断是否调整方向。
求满足的下标m，若则转Step5，否则转Step6。其中，为惩罚函数[4]。
Step5调整搜索方向。
令；。返回Step2。
Step6不调整搜索方向。令。返回Step2。
求出使非完整移动平台运动轨迹的曲率变化率平方和最小的，将其代入式（8）即实现了基于贝塞尔曲线移动平台曲率最优的点镇定控制[5]。
4、仿真实验结果和分析
为验证本章所提出算法的有效性，对其在VC++环境下进行了仿真研究，仿真结果以仿真图形的方式给出。本文的控制器是采用位姿误差构成状态反馈，所以不失一般性，在控制律仿真中可以预设初始时刻为零，非完整移动平台的初始位姿为，本文给出目标位姿为的仿真结果。线速度最大值，角速度最大值 。
5、结论
本章讨论了非完整移动平台的点镇定控制问题，应用贝塞尔曲线的性质来规划移动平台的路径并以反馈控制原理为基础提出了点镇定控制器的算法。由于此算法的精度达不到要求，所以采用改进的Powell方法对运动轨迹的曲率进行寻优，最后进行了仿真实验。结果证明了所设计的点镇定控制律的能使移动平台镇定到期望位姿，所采用的优化方法是快速有效的。
参考文献
[1]李世华，田玉平.非完整移动机器人的轨迹跟踪控制.控制与决策，2002. Vol，17（3）： 301～305.
[2]曹洋，方帅，徐心和.加速度约束条件下的非完整移动机器人运动控制.控制与决策，2006. Vol，21（2）： 193～196
[3] R. W. Brocket. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. In： Geometric Control Theory. Boston： Birkhauser， 1983. 181～191