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【摘要】本文以“三角形面积计算公式推导”教学思考为例，提出教师要做好温故旧知活动，促进学生对空间观念的感知;要用活学生的学习经验，促进空间观念的有效建立;要重视知识应用环节设计，让他们在真实的练习中发展空间观念、建构空间观念的建议。
【关键词】小学数学 三角形的面积 计算公式 空间观念
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2020）01A-0088-02
在小学数学教学中，教师要贴近现实生活，善于利用教学资源，在常见的几何初步知识教学中灵活地渗透空间观念，助推学生空间意识的平顺发展。本文笔者结合“三角形面积计算公式推导”教学，谈一谈在日常教学中培养和发展学生空间观念的三点做法。
一、温故激活，感知空间
古人云：“温故而知新。”这一道理是深刻的，它对小学数学教学有着较大的启发作用，也有极为深远的影响。小学生的记忆遗忘率是非常高的，原因是他们的有意注意不够强，抽象思维欠发达等，这些因素的叠加，造成了小学生的学习会不断出现遗忘的现象。为此，教师要善于指导学生进行复习、回顾、强化等学习活动，以其达到巩固知识、深化技能、促进思维发展的目的，从而为他们应用知识、学习新知打下坚实的基础。
师：小朋友们，三角形你们熟悉吗？请你在脑海中回放一下你对三角形的了解。
生1：我知道，三角形有三条边，三个角，内角和是180度。
生2：我知道三角形有3条底边，每条底上有一条对应的高。
生3：我知道三角形按角的大小，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
生4：按边分，有斜边三角形和等腰三角形。
生5：等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个角都是60度。
……
师：大家记得真牢固，回想得也非常全面。那三角形是不是仅有这些知识呢？
生6：肯定不止这些，我们还要研究它的轴对称、稳定性等。
生7：我们还要学习计算三角形的面积。
师：你知道什么是三角形的面积吗？
生8：比如三角形玻璃的面积，就是玻璃表面的大小。
生9：三角形图形的面积，就是这个平面图形的大小。
……
师：那你会求一个三角形纸片或三角形图形的面积吗？
生10：可以用数方格的方法，求出三角形的面积。
……
师：刚才有同学提出，要学会计算三角形的面积。你认为是计算面积方便，还是用数方格的方法去求面积方便呢？
生11：如果知道三角形的面积计算公式，直接计算当然是最简单的啦。
……
教学实践证明，任何一个新知识的学习都必须建立在学生既有的知识、经验和思维等层面上，也正是在这些方面不断提升才使得學习不断前进。为此，教师要重视温故旧知的掌控，引导学生在有效的复习中实现知识技能的唤醒，为新知探究积蓄力量。
案例中教师引导学生回忆三角形的认识，使学生在好奇心的驱使下积极回忆旧知。在这一过程中，学生全面梳理了三角形的认识，巩固了三角形的特征等。同时，引导学生猜想：“那三角形是不是仅有这些知识呢？”问题诱发想象，也有效地打开了学习的视角。学生会在预习、经验、猜想等成果支持下，搜索到三角形的面积一词，并在猜想计算三角形面积的过程中用到数方格的策略，想到公式计算更简便等，使他们对探究三角形面积计算公式充满渴望，从而促使他们在后续的探究活动中更主动、更有活力。
此外，通过搜索的导入以及简单的几句话，使得三角形由特征复习快速地切换到面积学习上来，使得三角形整个学习连接起来，成为一个整体，无形中促进了学生空间观念的建立，并在猜想、想象等思维活动中，使得空间观念的发展更为扎实。
二、依托经验，感悟空间
经验是千锤百炼后的结晶，它还对后续的活动、练习有着巨大的影响。为此，在小学数学教学中教师要重视学生既有经验的激活与唤醒，使之成为学生探索数学知识、开展数学活动的动力之源。在三角形面积计算公式推导中教师应善于利用学生的数学活动经验，创设一些更有利于学生探究、更有助于思维拓展的学习活动，使得他们的探究活动更扎实、更高效。
师：从谈话中可以看出大家对三角形面积计算公式很是期待，有没有同学已经有了自己的思考啊？
生1：我从正方形中获得了灵感。你们看，把正方形沿着一条对角线一切，不就变成了2个直角三角形了吗？一个直角三角形的面积就是正方形的一半，也就是a2的一半，可以写成a2÷2。
师：不错的想法，你还真会思考。还有其他意见吗？
生2：老师，正方形可以沿着对角线一切，那长方形是不是也可以切一切呢？那就把长方形切成2个一样的直角三角形，其中一个直角三角形的面积是长方形的一半，所以是S=a×b÷2。
师：老师有点模糊了。你们两人都是算同一个直角三角形面积，一个是a2÷2，一个是a×b÷2。到底是谁的对呢？
生1：一样的，不过是图形不同表示不同而已。正方形是特殊的长方形，a2÷2就是a×a÷2，这与a×b÷2基本一致了。
生2：长方形、正方形不也是特殊的平行四边形吗？能不能把平行四边形也切一刀呢？
生3：可以的，也能得到2个一样的三角形，不过有的是锐角三角形，还有的是钝角三角形，它们都不是直角三角形，面积不太好计算吧？
生4：它们也是那个平行四边形的面积的一半，不就是a×h÷2吗？
生5：这是什么啊？a×h÷2吗？
生6：噢！我明白了，平行四边形的面积是底乘高，即a×h，其中1个三角形的面积等于平行四边形面积的一半，所以要除以2。 ……
师：你们真厉害，这样也能得出三角形的面积计算公式。你们的研究过程，刚好和数学家的建议相反，你能按照数学家的建议再去探究一番吗？
学生根据教师的谈话提示，小组合作，把两个完全一样的锐角三角形或钝角三角形拼一拼，看拼成的图形，然后再小组交流自己的实践感受和思考结果，最终获得三角形的面积计算公式。同时，学生在研究中还发现，正反两种方法得出的结论是完全一致的。
案例告诉我们，孩子们的数学学习不是教师预设所能涵盖的，他们有自己的智慧，有自己的思考，更有自己的经验。他们会从一丝学习直觉中发现灵感，从而开启学习探究的新征程，这个路径可能是教师教学预设时没有考虑到的。
案例中，学生的前一阶段学习思考就是一个最好的范例。他们从正方形的灵感中找到学习的突破口，使得整个班级学生的学习思路都围绕着这个灵感在转。当然，我们也能欣赏到教师智慧的一面，因为他的放手，才让孩子们的学习更具活力，更富智慧。如果教师强行把学生拉回自己的预设框架中来，那么就不会有如此精彩的探究交流学习活动，也不会有如此精妙的学习思考的呈现。
为此，在数学教学中，教师既要重视预设，也要关注生成，更要以生成为核心重新规划、调整自己的教学，从而给学生更充分的探究时间和空间，更有助于发挥他们学习的主动性，促使他们去合作探究、争论辨析，进而在思维碰撞中获得知识，建构知识。当然，这样的探究活动既是学生获得空间观念发展的最佳路径，也是他们空间意识发展最有力的保障。
三、应用反思，建构空间
应用是学习的终极目标之一，只有把知识放在具体的实践中，它才会得到最好的检验，才能发挥出其应有的价值。可见，教师应重视知识应用环节，让学生在真实的训练中更好地理解概念，巩固概念，从而形成技能，助推思维发展。
在“三角形的面积计算”教学中，教学的任务不仅仅是推导公式，还有发展学习技能、积累数学活动经验等，更要担任促进学生空间观念发展的重任。为此，教师要善于创设一系列的问题解决情境，引导学生深化三角形面积计算公式的理解，加速三角形面积计算公式概念的建构。同时，还要培养学生用数学的思维方法解决实际问题的能力，并以此助推其空间观念的稳健发展。
一是模仿练习。教師或学习小组设计一组常规的图形面积计算题，引导学生用好公式，正确计算面积，进而使三角形面积计算公式得到固化。二是实践练习。教师引导学生自主计算红领巾、三角尺等三角形物品的面积，让他们在计算面积的过程中明白，要正确地计算出面积，就要准确地找到三角形的底边与对应的高，从而帮助他们更科学地建立三角形面积的表象，促进空间观念的有效发展。
扎实有效的应用训练，不仅能较好地巩固与深化所学知识，更有利于学生在真实的练习中学会使用公式，更精准地领悟公式。同时，还能逐步发展他们的应用意识以及创新意识，让他们在系统的训练中提升技能，进而促进数学思维的发展以及空间观念的强化。
总之，在数学教学中教师要积极谋划，科学安排，通过常规的教学促进学生空间意识的形成，并在一系列的观察分析、实践操作中，加速学生空间观念的培养。
作者简介：钟娜（1983— ），女，广西陆川人，大学本科学历，中小学二级教师，曾获陆川县“优秀教师”“教育科研工作先进个人”“优秀少先队辅导员”等荣誉称号，主要研究方向：小学数学教学。
（责编 林 剑）
【关键词】小学数学 三角形的面积 计算公式 空间观念
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2020）01A-0088-02
在小学数学教学中，教师要贴近现实生活，善于利用教学资源，在常见的几何初步知识教学中灵活地渗透空间观念，助推学生空间意识的平顺发展。本文笔者结合“三角形面积计算公式推导”教学，谈一谈在日常教学中培养和发展学生空间观念的三点做法。
一、温故激活，感知空间
古人云：“温故而知新。”这一道理是深刻的，它对小学数学教学有着较大的启发作用，也有极为深远的影响。小学生的记忆遗忘率是非常高的，原因是他们的有意注意不够强，抽象思维欠发达等，这些因素的叠加，造成了小学生的学习会不断出现遗忘的现象。为此，教师要善于指导学生进行复习、回顾、强化等学习活动，以其达到巩固知识、深化技能、促进思维发展的目的，从而为他们应用知识、学习新知打下坚实的基础。
师：小朋友们，三角形你们熟悉吗？请你在脑海中回放一下你对三角形的了解。
生1：我知道，三角形有三条边，三个角，内角和是180度。
生2：我知道三角形有3条底边，每条底上有一条对应的高。
生3：我知道三角形按角的大小，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
生4：按边分，有斜边三角形和等腰三角形。
生5：等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个角都是60度。
……
师：大家记得真牢固，回想得也非常全面。那三角形是不是仅有这些知识呢？
生6：肯定不止这些，我们还要研究它的轴对称、稳定性等。
生7：我们还要学习计算三角形的面积。
师：你知道什么是三角形的面积吗？
生8：比如三角形玻璃的面积，就是玻璃表面的大小。
生9：三角形图形的面积，就是这个平面图形的大小。
……
师：那你会求一个三角形纸片或三角形图形的面积吗？
生10：可以用数方格的方法，求出三角形的面积。
……
师：刚才有同学提出，要学会计算三角形的面积。你认为是计算面积方便，还是用数方格的方法去求面积方便呢？
生11：如果知道三角形的面积计算公式，直接计算当然是最简单的啦。
……
教学实践证明，任何一个新知识的学习都必须建立在学生既有的知识、经验和思维等层面上，也正是在这些方面不断提升才使得學习不断前进。为此，教师要重视温故旧知的掌控，引导学生在有效的复习中实现知识技能的唤醒，为新知探究积蓄力量。
案例中教师引导学生回忆三角形的认识，使学生在好奇心的驱使下积极回忆旧知。在这一过程中，学生全面梳理了三角形的认识，巩固了三角形的特征等。同时，引导学生猜想：“那三角形是不是仅有这些知识呢？”问题诱发想象，也有效地打开了学习的视角。学生会在预习、经验、猜想等成果支持下，搜索到三角形的面积一词，并在猜想计算三角形面积的过程中用到数方格的策略，想到公式计算更简便等，使他们对探究三角形面积计算公式充满渴望，从而促使他们在后续的探究活动中更主动、更有活力。
此外，通过搜索的导入以及简单的几句话，使得三角形由特征复习快速地切换到面积学习上来，使得三角形整个学习连接起来，成为一个整体，无形中促进了学生空间观念的建立，并在猜想、想象等思维活动中，使得空间观念的发展更为扎实。
二、依托经验，感悟空间
经验是千锤百炼后的结晶，它还对后续的活动、练习有着巨大的影响。为此，在小学数学教学中教师要重视学生既有经验的激活与唤醒，使之成为学生探索数学知识、开展数学活动的动力之源。在三角形面积计算公式推导中教师应善于利用学生的数学活动经验，创设一些更有利于学生探究、更有助于思维拓展的学习活动，使得他们的探究活动更扎实、更高效。
师：从谈话中可以看出大家对三角形面积计算公式很是期待，有没有同学已经有了自己的思考啊？
生1：我从正方形中获得了灵感。你们看，把正方形沿着一条对角线一切，不就变成了2个直角三角形了吗？一个直角三角形的面积就是正方形的一半，也就是a2的一半，可以写成a2÷2。
师：不错的想法，你还真会思考。还有其他意见吗？
生2：老师，正方形可以沿着对角线一切，那长方形是不是也可以切一切呢？那就把长方形切成2个一样的直角三角形，其中一个直角三角形的面积是长方形的一半，所以是S=a×b÷2。
师：老师有点模糊了。你们两人都是算同一个直角三角形面积，一个是a2÷2，一个是a×b÷2。到底是谁的对呢？
生1：一样的，不过是图形不同表示不同而已。正方形是特殊的长方形，a2÷2就是a×a÷2，这与a×b÷2基本一致了。
生2：长方形、正方形不也是特殊的平行四边形吗？能不能把平行四边形也切一刀呢？
生3：可以的，也能得到2个一样的三角形，不过有的是锐角三角形，还有的是钝角三角形，它们都不是直角三角形，面积不太好计算吧？
生4：它们也是那个平行四边形的面积的一半，不就是a×h÷2吗？
生5：这是什么啊？a×h÷2吗？
生6：噢！我明白了，平行四边形的面积是底乘高，即a×h，其中1个三角形的面积等于平行四边形面积的一半，所以要除以2。 ……
师：你们真厉害，这样也能得出三角形的面积计算公式。你们的研究过程，刚好和数学家的建议相反，你能按照数学家的建议再去探究一番吗？
学生根据教师的谈话提示，小组合作，把两个完全一样的锐角三角形或钝角三角形拼一拼，看拼成的图形，然后再小组交流自己的实践感受和思考结果，最终获得三角形的面积计算公式。同时，学生在研究中还发现，正反两种方法得出的结论是完全一致的。
案例告诉我们，孩子们的数学学习不是教师预设所能涵盖的，他们有自己的智慧，有自己的思考，更有自己的经验。他们会从一丝学习直觉中发现灵感，从而开启学习探究的新征程，这个路径可能是教师教学预设时没有考虑到的。
案例中，学生的前一阶段学习思考就是一个最好的范例。他们从正方形的灵感中找到学习的突破口，使得整个班级学生的学习思路都围绕着这个灵感在转。当然，我们也能欣赏到教师智慧的一面，因为他的放手，才让孩子们的学习更具活力，更富智慧。如果教师强行把学生拉回自己的预设框架中来，那么就不会有如此精彩的探究交流学习活动，也不会有如此精妙的学习思考的呈现。
为此，在数学教学中，教师既要重视预设，也要关注生成，更要以生成为核心重新规划、调整自己的教学，从而给学生更充分的探究时间和空间，更有助于发挥他们学习的主动性，促使他们去合作探究、争论辨析，进而在思维碰撞中获得知识，建构知识。当然，这样的探究活动既是学生获得空间观念发展的最佳路径，也是他们空间意识发展最有力的保障。
三、应用反思，建构空间
应用是学习的终极目标之一，只有把知识放在具体的实践中，它才会得到最好的检验，才能发挥出其应有的价值。可见，教师应重视知识应用环节，让学生在真实的训练中更好地理解概念，巩固概念，从而形成技能，助推思维发展。
在“三角形的面积计算”教学中，教学的任务不仅仅是推导公式，还有发展学习技能、积累数学活动经验等，更要担任促进学生空间观念发展的重任。为此，教师要善于创设一系列的问题解决情境，引导学生深化三角形面积计算公式的理解，加速三角形面积计算公式概念的建构。同时，还要培养学生用数学的思维方法解决实际问题的能力，并以此助推其空间观念的稳健发展。
一是模仿练习。教師或学习小组设计一组常规的图形面积计算题，引导学生用好公式，正确计算面积，进而使三角形面积计算公式得到固化。二是实践练习。教师引导学生自主计算红领巾、三角尺等三角形物品的面积，让他们在计算面积的过程中明白，要正确地计算出面积，就要准确地找到三角形的底边与对应的高，从而帮助他们更科学地建立三角形面积的表象，促进空间观念的有效发展。
扎实有效的应用训练，不仅能较好地巩固与深化所学知识，更有利于学生在真实的练习中学会使用公式，更精准地领悟公式。同时，还能逐步发展他们的应用意识以及创新意识，让他们在系统的训练中提升技能，进而促进数学思维的发展以及空间观念的强化。
总之，在数学教学中教师要积极谋划，科学安排，通过常规的教学促进学生空间意识的形成，并在一系列的观察分析、实践操作中，加速学生空间观念的培养。
作者简介：钟娜（1983— ），女，广西陆川人，大学本科学历，中小学二级教师，曾获陆川县“优秀教师”“教育科研工作先进个人”“优秀少先队辅导员”等荣誉称号，主要研究方向：小学数学教学。
（责编 林 剑）