论文部分内容阅读
摘要：分类讨论的思想是高中数学一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力具有较大的帮助．分类讨论思想方法是高考考试说明中明确要求学生掌握的思想方法之一，因此近几年来利用分类讨论思想解题是高考重点考察的热点问题．那么什么是分类讨论思想方法呢？分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合归纳各类结果得到整个问题的解答．下面对分类讨论思想在中学数学解题中的应用做一些探讨，不正之处，敬请斧正．
关键词：分类讨论；高中数学；教育教学
中图分类号：C41文献标识码： A
为了更具体更清晰的剖析分类讨论思想在高中数学中的应用，下面对分类讨论思想由于分类原因不同出现的几种常见类型一一举例说明．
一．由数学概念、定义引起的分类讨论类型：有的概念（定义）本身是分类的，如绝对值、指数函数、对数函数等．
例1．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()
A．或2B．或C． 或 D．或2
解析：不妨设|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，其中m≠0，
若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，
e＝＝＝＝；
二．由定理、公式、性质的条件限制引起的分类讨论：有些数学定理、公式、性质是分情况给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式等．
例2．设等比数列的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．
解析 因为是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0，满足题设；
当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，
则有①或②，由①得－11.
所以q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
三．由数学运算要求引起的分类讨论：如不等式两边同乘（除）以一个正数、负数，指（对）数运算中底数等．
例3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性．
解析对a分a>1与0 (1)由ax－1>0，得ax>1，所以当a>1时，x>0；当0 ∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)，当0 (2)当a>1时，设0 ∴loga(ax1－1)1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当0 四．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如点、线、面的位置关系，和直线斜率是否存在等．
例4．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_____个平面．
解析：分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．答案：1或4
五．由参数的变化引起的分类讨论：由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
例6．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R．
当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex，令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠，知－2a≠a－2. 以下分两种情况讨论．（
①若a>，则－2a x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(－∞，－2a]，[a－2，＋∞)上是增函数，在[－2a，a－2]上是减函数．所以函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝；函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝．
②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 極小值 ↗
所以f(x)在(－∞，a－2]，[－2a，＋∞)上是增函数，在[a－2，－2a]上是减函数．所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝；在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝．
六．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．
例7. 某工厂有10名工人，其中4人仅会焊工，3人仅会车工，另外三人焊工车工都会（全能工），现需选出6人完成一件工作，需要焊工，车工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑车工，因有6人会车工，故有种选法，但此时不清楚选出的车工中有几个是车焊工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选．同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人有种；
（2）选出的6人中含有一名全能工人有种；
（3）选出的6人中含2名全能工人有种；
（4）选出的6人中含有3名全能工人有种．所以共有种选派方案．
总结：从以上例析可得出以下两点关于利用分类讨论思想解题的结论：
1．分类讨论解题的步骤：
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行科学合理的分类．
(3)逐类进行讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．
2．分类讨论解题应注意以下问题：
(1)分类标准统一并科学合理，层次分明，要做到“不重不漏”．
(2)根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并．其中级别与级别之间有严格的先后顺序，类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取并集、交集，或既不取交集也不取并集只是分条列出即可．
总而言之，分类讨论思想方法在高中数学解题中应用十分重要并且广泛，大部分涉及参数的数学问题都可用此方法得以有效的解决，而含参问题又是高考考查的热点问题，因此从这个层面来说分类讨论思想方法对高中数学解题中可谓重要；从涉及高中知识领域来看，可在多种知识上应用，例如前边已列举的在集合、不等式、函数、立体几何、解析几何、数列等方面要有很好的应用；就涉及的题型来说，可涉及各种题型如选择题、填空题和解答题；因而分类讨论思想方法在高中数学解题中应用可谓广泛．
关键词：分类讨论；高中数学；教育教学
中图分类号：C41文献标识码： A
为了更具体更清晰的剖析分类讨论思想在高中数学中的应用，下面对分类讨论思想由于分类原因不同出现的几种常见类型一一举例说明．
一．由数学概念、定义引起的分类讨论类型：有的概念（定义）本身是分类的，如绝对值、指数函数、对数函数等．
例1．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()
A．或2B．或C． 或 D．或2
解析：不妨设|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，其中m≠0，
若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，
e＝＝＝＝；
二．由定理、公式、性质的条件限制引起的分类讨论：有些数学定理、公式、性质是分情况给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式等．
例2．设等比数列的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．
解析 因为是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0，满足题设；
当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，
则有①或②，由①得－1
所以q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
三．由数学运算要求引起的分类讨论：如不等式两边同乘（除）以一个正数、负数，指（对）数运算中底数等．
例3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性．
解析对a分a>1与0
类似地，当0
例4．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_____个平面．
解析：分类，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．答案：1或4
五．由参数的变化引起的分类讨论：由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
例6．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R．
当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex，令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠，知－2a≠a－2. 以下分两种情况讨论．（
①若a>，则－2a
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(－∞，－2a]，[a－2，＋∞)上是增函数，在[－2a，a－2]上是减函数．所以函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝；函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝．
②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 極小值 ↗
所以f(x)在(－∞，a－2]，[－2a，＋∞)上是增函数，在[a－2，－2a]上是减函数．所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝；在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝．
六．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．
例7. 某工厂有10名工人，其中4人仅会焊工，3人仅会车工，另外三人焊工车工都会（全能工），现需选出6人完成一件工作，需要焊工，车工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑车工，因有6人会车工，故有种选法，但此时不清楚选出的车工中有几个是车焊工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选．同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人有种；
（2）选出的6人中含有一名全能工人有种；
（3）选出的6人中含2名全能工人有种；
（4）选出的6人中含有3名全能工人有种．所以共有种选派方案．
总结：从以上例析可得出以下两点关于利用分类讨论思想解题的结论：
1．分类讨论解题的步骤：
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行科学合理的分类．
(3)逐类进行讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．
2．分类讨论解题应注意以下问题：
(1)分类标准统一并科学合理，层次分明，要做到“不重不漏”．
(2)根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并．其中级别与级别之间有严格的先后顺序，类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取并集、交集，或既不取交集也不取并集只是分条列出即可．
总而言之，分类讨论思想方法在高中数学解题中应用十分重要并且广泛，大部分涉及参数的数学问题都可用此方法得以有效的解决，而含参问题又是高考考查的热点问题，因此从这个层面来说分类讨论思想方法对高中数学解题中可谓重要；从涉及高中知识领域来看，可在多种知识上应用，例如前边已列举的在集合、不等式、函数、立体几何、解析几何、数列等方面要有很好的应用；就涉及的题型来说，可涉及各种题型如选择题、填空题和解答题；因而分类讨论思想方法在高中数学解题中应用可谓广泛．