【摘要】上式表示的数为π2。我们要证明一个数是超越数,众所周知,首先要证
　　明它是一个无理数,第二步再证明它不是代数无理数,即是超越数了。因为数为
　　π2,所以deg(π2)=2。而首先证明它是一个无理数,是用1974年勒让得(Legender)
　　给出的对π2是无理数的证明(参见[1])。又π2是超越数又首先要证明π是超越数。
　　而π是超越数又用1982年林德曼(Limdemann)的证明(参见[4])或用1996年胡含
　　琳“数π超越性的一个新证明”(参见[2])。
　　【关键词】π2;π2是无理数;π2是超越数;deg(π2)=2
　　
　　我们设p(x)=1+x45!+x89!+x1213!+…为级数(I),q(x)=13!+x47!+x811!+x1215!+…为级
　　数(II)。将x•(I),即
　　x•p(x)=x+x55!+x99!+x1313!+…
　　x3•(II),即
　　x3•q(x)=x33!+x77!+x1111!+x1515!…
　　又将x•(I)-x3•(II),即
　　x•p(x)-x3•q(x)
　　=x-x33!+x55!-x77!+x99!-x1111!+x1313!-x1515!…
　　=∑∞n=1(-1)n-1x2n-1(2n-1)!=sinx
　　(即为f(x)=sin x的泰勒展开式)。所以x•p(x)-x3•q(x)=sinx。
　　令x=π,即π•p(π)-π3•q(π)=sinπ=0。故π•p(π)=π3•q(π),故p(π)q(π)=π2。
　　即
　　
　　p(π)q(π)=1+π45!+π89!+π1213!+…
　　13!+π47!+π811!+π1215!+…=π2
　　要证明π2是超越数,首先要证明π2的无理性。证明某数——设为α——为
　　无理数有一个准则,就是数α的小数部{α}不管乘上一个多么大的正整数
　　K∈N,即{α}•K还是一个小数。
　　现在我们给出勒让德关于π2的无理性的证法(较简略,且最后几步)
　　引理(参见[1]p71) 多项式P(z)和Q(z)由以下等式定义为单值的
　　R=R(z)=Q(z)ez+P(z)=C0z2n+1+…
　　C0=1(n+1)…(2n+1)(90)
　　R(z)=z2n+1n!ez/2∫10zn(1-t)nch((t-12z)dt,
　　n=0,1,2…(93)
　　在等式(90)中记z为-z且将它乘上ez,那么
　　P(-z)z+Q(-Z)=ezR(-z)=-C0z2n+1+…
　　所以
　　P(-z)ez=-Q(z)(99)
　　在等式(90)和(93)中
　　我们假设z=πi,利用等式(99),有eπ•i/2=i,ch(t-12)πi=cos(1-12)π=sinπ,
　　P(πi)+P(-πi)=R(πi)(100)
　　R(πi)=(-1)n+1
　　π2n+1n!∫10zn(1-t)nsinπtdt(101)
　　因为在等式(101)中被积函数在区间0　　R(πi)≠0(102)
　　多项式P(z)+P(-z)仅仅包含z的偶次幂的项是由Z[z2]为方次S=[n2]的多项式。
　　相反假定π2=pq,p,q∈N,由等式(100)我们有q3R(πi)=m∈Z,由等式(101)
　　和条件(102),我们得到
　　0<|m|≤qn/2π2n+1n!<1
　　
　　对于任间充分大的n成立。但这个不等式在m∈Z的情况下,是不可能的。证明
　　获得矛盾,π2是无理数。因而π也是无理数。
　　第二步再证π2是超越数。而首先要证π是超越数。它的证明与其说是用1882
　　年林德曼(Lindemann)的证明(参见[4]),不如用1996年胡含琳的“数π超越性的
　　新证明”(参见[2])。得定理:数π是超越数。
　　由此定理即得π不是下面多项式的根
　　f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
　　ai∈Q i=0,1,2…n(1)
　　即
　　f(π)=anπn+an-1πn-1+…+a1π+a0≠0
　　如果将f(x)中这样假设一下:将anxn中n=2k项即偶次项系数设不为零,其它项
　　均为0。则式(1)变成
　　f(x2)=a2kx2k+a2(k-1)x2k-2+…+a x2+a0(2)
　　设an∈Q,令a2k=an,则式(1)变成
　　f(x2)=a′nx2k+a′n-1x2k-2+…+a′ x2+a′0
　　由上定理得
　　f(π2)=a′nπ2k+a′n-1π2k-2+…+a′ π2+a′0≠0
　　因为a′n∈Q,所以是上式不为0,故π2不为代数无理数而是超越无理数,即超越数。
　　
　　参考文献
　　[1] (俄)ТРАНСYЕНГЕНТНН,уАСLA,MOCKBA,《HAYKA》,1987
　　[2] 胡含琳《中国数学文摘》中科院科技情报中心1996年收录的“南昌大学学
　　报(理科版)”1996年第一期发表的“数π超越性的一个新证明”.
　　[3] (俄)“苏联大学数学竞赛题集汇集”,科学普及出版社,1982
　　[4] (德)H.德里“100个著名初等数学问题——历史和解”,上海科学技术出版社,1982
　　
　　收稿日期:2009-12-11