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【摘 要】瑞雷面波在地质勘察中被认为是一种强干扰波，研究瑞雷面波的目的是压制或消除它的影响。研究发现利用瑞雷波的频散特性和其速度与岩土力学性质间的相关性可以解决许多单用纵波勘察无法解决的工程地质问题，本文就瑞雷面波勘察正演的方法进行了论述。
【关键词】正演；瑞雷波；勘察
Construction engineering's investigate is play a calculation method
Wang Yu1,Liu Yu2,Hu Yong-sheng1
(1.China three Ye group limited company Anshan Liaoning 114039;
2.Dalian development limited company of the group real estate Dalian Liaoning 116000)
【Abstract】The Rui thunder noodles wave is think in the geology investigate is a kind of strong interference wave, the research Rui thunder noodles the purpose of the wave is to inhibit or cancellation of influence.Research detection make use of the Rui thunder dispersion characteristic of the wave and the relativity of its speed and the rock soil mechanics property can solve many list investigate the engineering geology problem that can't solve with the primary wave, this text the Rui thunder noodles wave investigate is play of the method carried on discuss.
【Key words】Be play;Rui thunder wave;Investigate
瞬態瑞雷波法，采集一般采用常规地质勘察中的共炮点排列，共炮点排列一般选择12-24个地质道，用低频检波器接受瑞雷波的垂直分量，记录点设在整个排列的中点，由此得到的频散曲线是一定深度范围内介质瑞雷波相速度的综和反映。为保证激振的频率成分能够满足勘察的深度范围，设计适当的偏移距、道间距及仪器的各种采集参数。
1. 正演计算过程：
1.1 时间域向频率域的转换
对于瞬态瑞雷面波勘察法，其关键是激发所需范围内的瞬时激励，采用相适应的检波器，利用地质仪将这些信号记录下来，令这些信号为 X1(t)，X2(t)，X3(t)…Xn(t)，其中 n 为道号，利用 Fourier 变换将信号从时间域转换到频率域，即计算出信号的频谱。
1.2 自功率谱、互功率谱和相位差的求取。
利用相邻道的频谱可求出 Xn-1(t),Xn(t)的自功率谱
Snn(f) =Xn(f) *X*n(f) (1)
Sn-1n-1 (f)=Xn-1 (f) * n-1(f) (2)
其中，Xn*(f)， X* n-1 (f) 分别为 Xn(f) ， Xn-1 (f) 的复共轭谱，snn(f)， Sn-1n-1 (f) 为Xn(f) ， Xn-1 (f)的自功率谱。因此，Xn(t)，Xn-1 (t)的互功率谱 sn(n-1) (f) 可计算求得Sn(n-1) (f) =Xn(f) •X*n-1 (f)
=Xn (f) •Xn-1 (f)ei(φ2φ1)=Xn (f) •Xn-1 (f)eiΔφ(f)
(3)
可见，两信号互功率谱中的相位谱反映了包含两道信号某一频率的相位差为Δφ(f)。
1.3 质量评价函数。
在两信号的互功率谱函数中，并非各个频率 f 都是有效的，关键要看所计算的频率范围内信号从检波器n 到检波器(n+1 )传播时是否具有良好的相关性，即该频段的信号质量好不好。为此，定义信号Xn-1 (t)和 Xn(t)的相干函数为
c(f)= Sn(n-1) (f)S*n(n-1) (f) S(n-1)(n-1) (f)Snn(f) (4)
其中S(n-1)(n-1) (f)，Snn(f)为记录X(n-1) (t)， Xn(t)的自功率谱， Sn(n-1) (f)，S*n(n-1) (f)分别为X(n-1) (t) ，Xn(t)，的互功率谱和互功率共扼谱。如果信号来自同一震源，记录系统是理想的，则相干函数等于 1。如果存在干扰信号及系统的非线性，都会降低信号质量，使得相干函数c(f) 小于 1,c(f) 越小则信号相关性越差。在实际应用中，一般选 c(f)大于0.8 的频段计算速度。
1.4 相速度的确定。
对于某一给定的频率f，求得 X(n-1) (t) ， Xn(t)两道信号的相位差Δφ，利用公式：
VR =2πf•Δx Δφ (5)
为使两个测点上所观测到的瑞雷波信号有足够的相位差并便于相位差的计算，两个测点之间的距离（道间距）Δx=x2-x1 应该满足一定的要求。
有足够的相位差是保证波速求算精度的关键；另外，道间距的大小与其所能够控制的波长相当，从而，道间距的大小也正比于瑞雷波探测的深度。由于对于不同的频率值，其相速度和波长也不相同，因此要实现一定的要求，只能采用多道采集和反演技术。
1.5 深度一速度函数的确定。
根据求得的瑞雷波速度 VR 和已知的频率f 求出瑞雷波的波长 λR。由瑞雷波的传播理论可知，勘察深度与瑞雷波的波长 λR 成正比，即
H=β*λR (6)
1.6 绘制频散曲线。
根据以上分析计算，即可得到深度-速度函数(H-VR)，进一步可以得到测试点的频散曲线。
2. 位移和应力构成的矢量计算
对于瑞雷波，考虑势函数 φ和 Ψ（对应 波P-SV），设由势函数表示的位移为u=φ +××(1Kψez)，则自由表面处的位移ux ， uz和应力τzz ， τzx可由势函数给出
ux =φx+2ψkxz
uz=φz-2ψkx2
τzz=λ2φ +2μ2φz2-2μ3ψkx2z
τzx=μ(22φxz-3ψkx3+3ψkxz2)
(7)
把φ＝(Aeiaz+Be-iaz)eikx
ψ＝(Ceibz+De-ibz)e 1 2 kx (8)
代入上式，得到
S=M ，φ=M-1S (9)
这里的φ+ ，ψ+ 和 φ-， ψ-分别表示沿z 轴正向传播的下行波和沿 z轴负向传播的上行波。M 和 M-1为 4×4的矩阵，其表达式如下
M-1= 1 2r-(r-1) /rp-1/ρ1/ρrp
r(r-1) /rp-1/ρ-1/ρrp
-(r-1)/rsr1/ρrs-1/ρ
(r-1)/rsr-1/ρrs-1/ρ
(10)
式中rp=-(1-v2R/v2p) 1/2，rs =-(1-v2r/v2s) 1/2，r=2(v2s/v2R) ，vp ，vs 分别为纵波和横波速度， vR=ω/k为水平方向的相速度， ω为角频率， k为水平波数。
第 j层介质的上表面zj-1處的势矢量如下
j(zj-1)=Aekrpzj-1,Be-krpzj-1,Cekrszj-1,De-krszj-1 T(11)
这里下标j 表示式中的层介质的参数为第 j层介质的，zj-1 表示第j 层介质的上表面位置。
对于第 j层介质内任意一点 则有
j(z)=Aekrpz,Be-krsz,Cekrsz,De-krsz T (12)
即dj(z)dz=Λj(z)(13)
其中Λ=kdiag(rp,-rp,rs,-rs) ，解微分方程，取zj-1 到 zj的定积分，可以得到
j(z) =e Λ(z-zj-1) j(zj-1) =λj j(zj-1)(14)
其中λj =diag(P,1/P,Q,1/Q) j，P=ekrph ，Q=ekrsh ，h=z-zj-1 ，为第 j层介质内的 z点与上表面 zj-1之间的距离，如果 z处在第 j层介质的下表面 zj处则有
j(z) =λj(zj-1) (15)
对于第 j层介质的上界面有
Sj(zj-1) =Mj j(zj-1)
j(zj-1) =Mj-1Sj(zj-1) (16)
对第 j层介质的下界面有
Sj(zj) =Mj j(zj)(17)
同样道理，对第J-1 层有
Sj+1( zj+1)=P( zj+1,zj)Sj+1(zj)(18)
3. 传递矩阵及瑞雷波的频散方程
根据边界条件，在第 j层的下界面 zj处位移和应力必须连续，即
Sj+1 (zj)=Sj (zj)(19)
所以有
Sj+1 (zj+1)=P( zj+1,zj)Sj(zj) =P( zj+1,zj)P( zj,zj-1)Sj (zj-1)(20)
因此矩阵P( zj,zj-1) =MjλjMj-1 就起到了从上层到下层传递位移和应力的作用，称矩阵 P( zj,zj-1) =MjλjMj-1 为传递矩阵。对于第 N层介质上界面zN-1 有
S(zN-1)=P(zN-1,z0)=ΠN-1j=1 P( zj,zj-1) S(z0)(21)
S(z0)为自由界面上的位移和应力矢量，根据自由界面的应力为零，最底层的半无限介质内没有上行波存在，即下行波在z∞ 时趋于零，沿表面传播的波动不向介质内部辐射，这正是表面波动，它具有导波的特点。
(zN-1 ) =MN-1 S(zN-1)=MN-1P(zN-1,z0)S(z0) (22)
令矩阵G=｛Gij｝=｛MN-1 P(zN-1, z0) ｝，得到
G21ux/k+G22uz/k=0
G41ux/k+G42uz/k=0(23)
上述方程组有解的充要条件是系数的行列式为零，这就是瑞雷波的频散方程
G21G22
G41 G42 (24)
用二分法解此频散方程
4. 正演结果分析
根据工程实测的频散曲线数据及现场的地质情况，，根据实测测线之间的频散曲线数据大致估算横波的速度（Vs）及纵波速度（ Vp）根据实测的数据建立理论模型模型参数包括模型分层层数、各层厚度、各层的横波速度、纵波速度和各层的密度，然后代入频散曲线计算函数中可以得出理论模拟地层结构的频散曲线。
通过对典型的地层用传递矩阵方法进行曲线的正演分析，结果表明：传递矩阵算法进行频散曲线的理论计算其结果是可靠的，计算得到的频散曲线与实际地层模型的特性变化吻合，说明计算程序编制基本是合理的。
参考文献
［1］ 吴世明。土动力学现状与发展。岩土工程学报。1998.
［2］ 杨成林、瑞雷波勘探原理及其应用。物探与化探，1989
［文章编号］1619-2737（2011）03-02-49
［作者简介］ 王钰（1970.5.5），男，籍贯：辽宁辽阳县，职称：高级工程师，单位：中国三冶集团有限公司。
刘宇（1975.4.28-），男，籍贯：辽宁大连，职称：工程师，单位：大连大商集团房地产开发有限公司。
卢永胜（1981.7.3-），男，籍贯：辽宁省绥中县，职称：工程师，单位：中国三冶集团有限公司建筑安装工程公司。
【关键词】正演；瑞雷波；勘察
Construction engineering's investigate is play a calculation method
Wang Yu1,Liu Yu2,Hu Yong-sheng1
(1.China three Ye group limited company Anshan Liaoning 114039;
2.Dalian development limited company of the group real estate Dalian Liaoning 116000)
【Abstract】The Rui thunder noodles wave is think in the geology investigate is a kind of strong interference wave, the research Rui thunder noodles the purpose of the wave is to inhibit or cancellation of influence.Research detection make use of the Rui thunder dispersion characteristic of the wave and the relativity of its speed and the rock soil mechanics property can solve many list investigate the engineering geology problem that can't solve with the primary wave, this text the Rui thunder noodles wave investigate is play of the method carried on discuss.
【Key words】Be play;Rui thunder wave;Investigate
瞬態瑞雷波法，采集一般采用常规地质勘察中的共炮点排列，共炮点排列一般选择12-24个地质道，用低频检波器接受瑞雷波的垂直分量，记录点设在整个排列的中点，由此得到的频散曲线是一定深度范围内介质瑞雷波相速度的综和反映。为保证激振的频率成分能够满足勘察的深度范围，设计适当的偏移距、道间距及仪器的各种采集参数。
1. 正演计算过程：
1.1 时间域向频率域的转换
对于瞬态瑞雷面波勘察法，其关键是激发所需范围内的瞬时激励，采用相适应的检波器，利用地质仪将这些信号记录下来，令这些信号为 X1(t)，X2(t)，X3(t)…Xn(t)，其中 n 为道号，利用 Fourier 变换将信号从时间域转换到频率域，即计算出信号的频谱。
1.2 自功率谱、互功率谱和相位差的求取。
利用相邻道的频谱可求出 Xn-1(t),Xn(t)的自功率谱
Snn(f) =Xn(f) *X*n(f) (1)
Sn-1n-1 (f)=Xn-1 (f) * n-1(f) (2)
其中，Xn*(f)， X* n-1 (f) 分别为 Xn(f) ， Xn-1 (f) 的复共轭谱，snn(f)， Sn-1n-1 (f) 为Xn(f) ， Xn-1 (f)的自功率谱。因此，Xn(t)，Xn-1 (t)的互功率谱 sn(n-1) (f) 可计算求得Sn(n-1) (f) =Xn(f) •X*n-1 (f)
=Xn (f) •Xn-1 (f)ei(φ2φ1)=Xn (f) •Xn-1 (f)eiΔφ(f)
(3)
可见，两信号互功率谱中的相位谱反映了包含两道信号某一频率的相位差为Δφ(f)。
1.3 质量评价函数。
在两信号的互功率谱函数中，并非各个频率 f 都是有效的，关键要看所计算的频率范围内信号从检波器n 到检波器(n+1 )传播时是否具有良好的相关性，即该频段的信号质量好不好。为此，定义信号Xn-1 (t)和 Xn(t)的相干函数为
c(f)= Sn(n-1) (f)S*n(n-1) (f) S(n-1)(n-1) (f)Snn(f) (4)
其中S(n-1)(n-1) (f)，Snn(f)为记录X(n-1) (t)， Xn(t)的自功率谱， Sn(n-1) (f)，S*n(n-1) (f)分别为X(n-1) (t) ，Xn(t)，的互功率谱和互功率共扼谱。如果信号来自同一震源，记录系统是理想的，则相干函数等于 1。如果存在干扰信号及系统的非线性，都会降低信号质量，使得相干函数c(f) 小于 1,c(f) 越小则信号相关性越差。在实际应用中，一般选 c(f)大于0.8 的频段计算速度。
1.4 相速度的确定。
对于某一给定的频率f，求得 X(n-1) (t) ， Xn(t)两道信号的相位差Δφ，利用公式：
VR =2πf•Δx Δφ (5)
为使两个测点上所观测到的瑞雷波信号有足够的相位差并便于相位差的计算，两个测点之间的距离（道间距）Δx=x2-x1 应该满足一定的要求。
有足够的相位差是保证波速求算精度的关键；另外，道间距的大小与其所能够控制的波长相当，从而，道间距的大小也正比于瑞雷波探测的深度。由于对于不同的频率值，其相速度和波长也不相同，因此要实现一定的要求，只能采用多道采集和反演技术。
1.5 深度一速度函数的确定。
根据求得的瑞雷波速度 VR 和已知的频率f 求出瑞雷波的波长 λR。由瑞雷波的传播理论可知，勘察深度与瑞雷波的波长 λR 成正比，即
H=β*λR (6)
1.6 绘制频散曲线。
根据以上分析计算，即可得到深度-速度函数(H-VR)，进一步可以得到测试点的频散曲线。
2. 位移和应力构成的矢量计算
对于瑞雷波，考虑势函数 φ和 Ψ（对应 波P-SV），设由势函数表示的位移为u=φ +××(1Kψez)，则自由表面处的位移ux ， uz和应力τzz ， τzx可由势函数给出
ux =φx+2ψkxz
uz=φz-2ψkx2
τzz=λ2φ +2μ2φz2-2μ3ψkx2z
τzx=μ(22φxz-3ψkx3+3ψkxz2)
(7)
把φ＝(Aeiaz+Be-iaz)eikx
ψ＝(Ceibz+De-ibz)e 1 2 kx (8)
代入上式，得到
S=M ，φ=M-1S (9)
这里的φ+ ，ψ+ 和 φ-， ψ-分别表示沿z 轴正向传播的下行波和沿 z轴负向传播的上行波。M 和 M-1为 4×4的矩阵，其表达式如下
M-1= 1 2r-(r-1) /rp-1/ρ1/ρrp
r(r-1) /rp-1/ρ-1/ρrp
-(r-1)/rsr1/ρrs-1/ρ
(r-1)/rsr-1/ρrs-1/ρ
(10)
式中rp=-(1-v2R/v2p) 1/2，rs =-(1-v2r/v2s) 1/2，r=2(v2s/v2R) ，vp ，vs 分别为纵波和横波速度， vR=ω/k为水平方向的相速度， ω为角频率， k为水平波数。
第 j层介质的上表面zj-1處的势矢量如下
j(zj-1)=Aekrpzj-1,Be-krpzj-1,Cekrszj-1,De-krszj-1 T(11)
这里下标j 表示式中的层介质的参数为第 j层介质的，zj-1 表示第j 层介质的上表面位置。
对于第 j层介质内任意一点 则有
j(z)=Aekrpz,Be-krsz,Cekrsz,De-krsz T (12)
即dj(z)dz=Λj(z)(13)
其中Λ=kdiag(rp,-rp,rs,-rs) ，解微分方程，取zj-1 到 zj的定积分，可以得到
j(z) =e Λ(z-zj-1) j(zj-1) =λj j(zj-1)(14)
其中λj =diag(P,1/P,Q,1/Q) j，P=ekrph ，Q=ekrsh ，h=z-zj-1 ，为第 j层介质内的 z点与上表面 zj-1之间的距离，如果 z处在第 j层介质的下表面 zj处则有
j(z) =λj(zj-1) (15)
对于第 j层介质的上界面有
Sj(zj-1) =Mj j(zj-1)
j(zj-1) =Mj-1Sj(zj-1) (16)
对第 j层介质的下界面有
Sj(zj) =Mj j(zj)(17)
同样道理，对第J-1 层有
Sj+1( zj+1)=P( zj+1,zj)Sj+1(zj)(18)
3. 传递矩阵及瑞雷波的频散方程
根据边界条件，在第 j层的下界面 zj处位移和应力必须连续，即
Sj+1 (zj)=Sj (zj)(19)
所以有
Sj+1 (zj+1)=P( zj+1,zj)Sj(zj) =P( zj+1,zj)P( zj,zj-1)Sj (zj-1)(20)
因此矩阵P( zj,zj-1) =MjλjMj-1 就起到了从上层到下层传递位移和应力的作用，称矩阵 P( zj,zj-1) =MjλjMj-1 为传递矩阵。对于第 N层介质上界面zN-1 有
S(zN-1)=P(zN-1,z0)=ΠN-1j=1 P( zj,zj-1) S(z0)(21)
S(z0)为自由界面上的位移和应力矢量，根据自由界面的应力为零，最底层的半无限介质内没有上行波存在，即下行波在z∞ 时趋于零，沿表面传播的波动不向介质内部辐射，这正是表面波动，它具有导波的特点。
(zN-1 ) =MN-1 S(zN-1)=MN-1P(zN-1,z0)S(z0) (22)
令矩阵G=｛Gij｝=｛MN-1 P(zN-1, z0) ｝，得到
G21ux/k+G22uz/k=0
G41ux/k+G42uz/k=0(23)
上述方程组有解的充要条件是系数的行列式为零，这就是瑞雷波的频散方程
G21G22
G41 G42 (24)
用二分法解此频散方程
4. 正演结果分析
根据工程实测的频散曲线数据及现场的地质情况，，根据实测测线之间的频散曲线数据大致估算横波的速度（Vs）及纵波速度（ Vp）根据实测的数据建立理论模型模型参数包括模型分层层数、各层厚度、各层的横波速度、纵波速度和各层的密度，然后代入频散曲线计算函数中可以得出理论模拟地层结构的频散曲线。
通过对典型的地层用传递矩阵方法进行曲线的正演分析，结果表明：传递矩阵算法进行频散曲线的理论计算其结果是可靠的，计算得到的频散曲线与实际地层模型的特性变化吻合，说明计算程序编制基本是合理的。
参考文献
［1］ 吴世明。土动力学现状与发展。岩土工程学报。1998.
［2］ 杨成林、瑞雷波勘探原理及其应用。物探与化探，1989
［文章编号］1619-2737（2011）03-02-49
［作者简介］ 王钰（1970.5.5），男，籍贯：辽宁辽阳县，职称：高级工程师，单位：中国三冶集团有限公司。
刘宇（1975.4.28-），男，籍贯：辽宁大连，职称：工程师，单位：大连大商集团房地产开发有限公司。
卢永胜（1981.7.3-），男，籍贯：辽宁省绥中县，职称：工程师，单位：中国三冶集团有限公司建筑安装工程公司。