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对于数学课程,无论是平日的学习,还是期末或高中毕业总复习,抓住以下四个问题是最重要的:深刻理解、灵活运用数学概念;牢固记忆、灵活运用定理和公式;掌握常用的几种数学思想方法;培养几种重要能力。下面依次谈谈这四个问题。
一、深刻理解、灵活运用数学概念
深刻理解数学概念是掌握数学基础知识的前提,是学好定理、公式和数学方法以及提高解题能力的基础。但对这个问题的认识,不是每个同学都清楚的。不少同学无论是在平日的学习,还是在复习中,都不重视数学概念的学习和运用,因此在解题中出现各种各样的概念性错误,这种错误在历届高考试卷中反映都很突出。比如,充分条件、必要条件、充要条件的概念,是年年必考的概念,总有一部分学生由于没有深刻理解这个概念而出错。再如,由于对对称的概念理解不清,见到下述试题就束手无策:“给定实数a,a≠0且a≠1,设函数y=■(x?缀R,且x≠■),证明这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。”
对于计算题和证明题同样由于概念不清而错误百出。甚至一个概念不清,造成全题一错到底。因此,同学们在学习和复习中一定要把深刻理解和灵活运用数学概念放在重要地位。
二、牢固记忆、灵活运用定理和公式
我们知道,记忆就是要和遗忘作斗争。学了不用就容易忘记,经常运用自然而然地就记住了。重复是记忆之母,根据心理学家的研究,没有八次重复,要想记住是不可能的。对于数学这门科学,我认为最好的记忆方法是:在认真阅读教材,理解概念,弄清定理、公式的条件和结论的基础上,演算一定数量的习题。学数学不做题是不行的,做少了达不到熟练的程度,也谈不上灵活运用。平常我们说“熟能生巧”就是这个意思。巧从熟中来,熟从练中来。对于同学们来说,正处在人的一生中记忆力最强的时期,大家应该发挥这个优势,多记多背一些东西。我国著名数学家陈景润在回忆他的中学时代时,曾经说过:“当时我能把数理化的许多概念、公式、定理、定律一一装在自己的脑海里随时拈来应用”,“当时我认为,我们青年人知识面有限,理解能力较差,记忆力特别强,必须背诵多多的知识,将来使用时就会左右逢源,一呼百应,十分得心应手了。”这段话很值得同学们学习、借鉴。我们有的同学不注意记忆,不要说“一呼百应”,连 “百呼一应”都做不到,好不容易“呼”出一个来还是错的。比如,考查二项式定理及其通项公式的试题,近几年每年都出,但每年都有一小部分同学由于记不住或记不准而做错。
我们知道,公式总是双向的,但不少同学只会顺着使用,倒过来使用就不习惯或想不到,至于把公式再变换成另三、掌握常用的几种数学思想方法
学习数学,不单纯是数的计算与形的研究,其中贯穿始终的是数学思想方法。
分析法是先假设结论正确,由此出发追究成立的原因,而原因中又有原因,逐步追究,达到已知正确的事实为止。需要注意的是,在推理过程中,它的每一个推论,后一步都是前一步的充分条件。特别地,如果每一个推理后一步都是前一步的充分必要条件,这种分析法叫做逆证法。分析法很有用,比如用极限定义验证极限时,常常是先在稿纸上用分析法寻求解题思路,然后用综合法写出证明。
例如,已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a、b,当a 换元的思想方法在中学数学中占有重要的地位。从代数的辅助变量、辅助方程、辅助函数、辅助数列,到几何的辅助线、辅助圆、辅助面、辅助体、引入参数等等,都是换元思想的具体运用。再引申一步,通过换元可以把代数问题转化为三角问题,用三角的方法来解决;或者把三角的问题转化成代数问题,用代数问题来解决。这就是平常我们所说的代数问题的三角解法或者三角问题的代数解法。当然也有几何问题的代数解法、三角解法以及代数、三角问题的几何解法,特别重要的是引入坐标系,用代数研究几何问题的解析法。
“换元”的目的在于把分散的条件联系起来,或把隐含条件中的性质显露出来,或把复杂的推论和计算简化。总之,通过“换元”可以达到化繁为简,化难为易的目的。
四、培养几种重要能力
《数学教学大纲》指出,要“着重培养学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力”,“同时,要重视培养学生的独立思考和自学能力”。运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力是构成数学学习中互相联系的三项基本能力。
数学运算能力要求一要准二要快,细心才准,合理才快。不少同学马虎成性,一算就错或懒于计算,错误地认为只要方法对就行了,这是很不对的。因为你将来解决问题的时候,不能靠方法对就完事,必须准确地算出来。此外,做题时还要计算合理、简捷。运算能力不是孤立的,它与观察能力、记忆能力、理解能力以及空间想象能力密切关联、互相渗透。
逻辑思维能力是各种思维能力的核心。整个数学是由概念、判断和推理组成的一个演绎体系,逻辑思维能力贯穿于始终,具有高度的抽象性和逻辑的严密性。为了提高逻辑思维能力,同学们首先要注意正确理解概念,因为概念是思维的细胞,概念清晰是正确思维的必要条件;其次要经常训练自己的抽象概括能力、分析综合能力、归纳演绎能力,因为这是构成逻辑思维能力的主要因素;同时,要掌握正确的思维方法,养成“言必有据”的严谨的推理习惯。
除了上面提到的几种能力外,在学习中还要注意培养以下能力:试图与画图的能力、数形结合的能力、探求能力以及综合运用数学知识的能力。
总之,要学好数学,概念要清楚,定理和公式要记牢,常用的数学思想方法要掌握,几种重要能力要培养。
一、深刻理解、灵活运用数学概念
深刻理解数学概念是掌握数学基础知识的前提,是学好定理、公式和数学方法以及提高解题能力的基础。但对这个问题的认识,不是每个同学都清楚的。不少同学无论是在平日的学习,还是在复习中,都不重视数学概念的学习和运用,因此在解题中出现各种各样的概念性错误,这种错误在历届高考试卷中反映都很突出。比如,充分条件、必要条件、充要条件的概念,是年年必考的概念,总有一部分学生由于没有深刻理解这个概念而出错。再如,由于对对称的概念理解不清,见到下述试题就束手无策:“给定实数a,a≠0且a≠1,设函数y=■(x?缀R,且x≠■),证明这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。”
对于计算题和证明题同样由于概念不清而错误百出。甚至一个概念不清,造成全题一错到底。因此,同学们在学习和复习中一定要把深刻理解和灵活运用数学概念放在重要地位。
二、牢固记忆、灵活运用定理和公式
我们知道,记忆就是要和遗忘作斗争。学了不用就容易忘记,经常运用自然而然地就记住了。重复是记忆之母,根据心理学家的研究,没有八次重复,要想记住是不可能的。对于数学这门科学,我认为最好的记忆方法是:在认真阅读教材,理解概念,弄清定理、公式的条件和结论的基础上,演算一定数量的习题。学数学不做题是不行的,做少了达不到熟练的程度,也谈不上灵活运用。平常我们说“熟能生巧”就是这个意思。巧从熟中来,熟从练中来。对于同学们来说,正处在人的一生中记忆力最强的时期,大家应该发挥这个优势,多记多背一些东西。我国著名数学家陈景润在回忆他的中学时代时,曾经说过:“当时我能把数理化的许多概念、公式、定理、定律一一装在自己的脑海里随时拈来应用”,“当时我认为,我们青年人知识面有限,理解能力较差,记忆力特别强,必须背诵多多的知识,将来使用时就会左右逢源,一呼百应,十分得心应手了。”这段话很值得同学们学习、借鉴。我们有的同学不注意记忆,不要说“一呼百应”,连 “百呼一应”都做不到,好不容易“呼”出一个来还是错的。比如,考查二项式定理及其通项公式的试题,近几年每年都出,但每年都有一小部分同学由于记不住或记不准而做错。
我们知道,公式总是双向的,但不少同学只会顺着使用,倒过来使用就不习惯或想不到,至于把公式再变换成另三、掌握常用的几种数学思想方法
学习数学,不单纯是数的计算与形的研究,其中贯穿始终的是数学思想方法。
分析法是先假设结论正确,由此出发追究成立的原因,而原因中又有原因,逐步追究,达到已知正确的事实为止。需要注意的是,在推理过程中,它的每一个推论,后一步都是前一步的充分条件。特别地,如果每一个推理后一步都是前一步的充分必要条件,这种分析法叫做逆证法。分析法很有用,比如用极限定义验证极限时,常常是先在稿纸上用分析法寻求解题思路,然后用综合法写出证明。
例如,已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a、b,当a
“换元”的目的在于把分散的条件联系起来,或把隐含条件中的性质显露出来,或把复杂的推论和计算简化。总之,通过“换元”可以达到化繁为简,化难为易的目的。
四、培养几种重要能力
《数学教学大纲》指出,要“着重培养学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力”,“同时,要重视培养学生的独立思考和自学能力”。运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力是构成数学学习中互相联系的三项基本能力。
数学运算能力要求一要准二要快,细心才准,合理才快。不少同学马虎成性,一算就错或懒于计算,错误地认为只要方法对就行了,这是很不对的。因为你将来解决问题的时候,不能靠方法对就完事,必须准确地算出来。此外,做题时还要计算合理、简捷。运算能力不是孤立的,它与观察能力、记忆能力、理解能力以及空间想象能力密切关联、互相渗透。
逻辑思维能力是各种思维能力的核心。整个数学是由概念、判断和推理组成的一个演绎体系,逻辑思维能力贯穿于始终,具有高度的抽象性和逻辑的严密性。为了提高逻辑思维能力,同学们首先要注意正确理解概念,因为概念是思维的细胞,概念清晰是正确思维的必要条件;其次要经常训练自己的抽象概括能力、分析综合能力、归纳演绎能力,因为这是构成逻辑思维能力的主要因素;同时,要掌握正确的思维方法,养成“言必有据”的严谨的推理习惯。
除了上面提到的几种能力外,在学习中还要注意培养以下能力:试图与画图的能力、数形结合的能力、探求能力以及综合运用数学知识的能力。
总之,要学好数学,概念要清楚,定理和公式要记牢,常用的数学思想方法要掌握,几种重要能力要培养。