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摘 要：在金融市场中，对金融衍生工具的定价是非常困难同时也是非常重要的问题。本文从金融学角度，在理论上证明和推导了布莱克-舒尔斯定价模型，并通过对该模型加以分析与应用，导出了期货价格的动态定价模型。。
关键词：B-S模型;金融衍生工具;定价;创新机理
中图分类号：F830文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２００8）０5－００11－05
在金融市场中， 由于金融衍生工具的价格受不确定因素的影响， 对其定价是非常困难的但同时也是非常重要的。期权和期货是重要的金融衍生工具。自20世纪70年代标准期权合约问世以来， 期权在国际金融市场上呼风唤雨，独领风骚，以至于成为人们心目中金融衍生工具的全部。 对于期权理论及其应用的研究， 西方国家研究的较早。1973年， 美国经济学家Black和Scholes在衍生证券定价方面做出了开创性的工作， 建立了被理论界和实务界广泛接受和使用的Black-Scholes期权定价模型 [1] （以下简称B-S模型）。后来，国外的许多学者相继进行了研究，其中较具代表性的有：Cox [2] 采用交错随机过程讨论了期权定价问题及股票价格运动不具有连续性样本路径时的期权价值问题；Leland [3] 、Davis [4] 考虑了带有交易成本的期权定价与复制问题；Perrakis [5] 、Ritchken [6] 、Lo [7] 等讨论了具有偏好限制边界的期权定价问题；Ball [8] 研究了美式期货期权相关问题；Merton [9] 对期权定价理论的未来应用做了探讨；等等。而国内对于金融衍生品理论的研究较晚，其中较具代表性的有：施兵超 [10] 、李一智 [11] 、赵曙东 [12] 以专著的形式研究了期货和期权的基本概念及相关理论；郭宝新等 [13] 对金融期货期权及其市场监管做了探讨；等等。近20年来，随着金融衍生品定价理论发展的日新月异， 其应用性也紧跟其后。1997年，有关期权定价的研究使两位美国经济学家获得诺贝尔经济学奖， 也使得西方20多年的期权及其应用研究进一步升温。因此，从理论意义上讲，有关期权的理论可以说是20世纪经济学领域最伟大的发现之一， 同时有待于国内外学者在21世纪继续进行深入探讨。本文从金融学角度， 在理论上证明和推导了布莱克-舒尔斯定价模型， 并通过对该模型加以分析与应用，导出了期货的定价模型。
一、基于金融学视角对B-S定价模型的理论证明和推导
在布莱克和舒尔斯的原始论文里， 是通过变量替换把微分方程变换成一个标准的抛物型方程（热扩散方程） 来求解， 其中涉及一些较高深的数学技巧。本文将从金融学角度，基于风险中性思路，在理论上给出B-S定价模型的证明和推导。
（一）B-S定价模型的基本假设
B-S定价模型主要基于如下的假设：
1.股票价格服从对数正态分布，且股票收益的方差为常数。
2.投资者可以卖空衍生证券，并使用卖空所得。
3.市场是无摩擦的，即不存在税收和交易成本。
4.所有证券都是无限可分的。
5.市场不存在无风险套利机会，且为投资者提供了连续交易的机会。
6.无风险利率为常数且对所有到期日均相同。
本文认为上述假设1中的条件过于苛刻，实际上该假设条件可以弱化一些， 变为基础证券的价格服从几何布朗运动。下面将在上述假设的前提下，基于风险中性假设的想法， 利用金融工程中的无套利均衡原理与方法来推导出布莱克-舒尔斯微分方程及欧式期权的定价公式， 以强化本文推导过程的金融学涵义。
（二）B-S定价微分方程
1. ITO引理及证明
（1）ITO引理
（2）证明
方程（7）中已经不含有随机项?驻W，说明在该证券投资组合中，卖出一个单位的衍生证券，同时买入数量为的基础证券恰好实现了投资不确定性风险的完全对冲， 使得该证券投资组合所实现的现金净流量（现金资本）的变化是确定的，即该证券投资组合必定是无风险的。因此，该证券投资组合的瞬时收益率应等于无风险收益率。 因为假如该证券投资组合的瞬时收益率大于无风险收益率， 套利者会把手中的无风险证券出售， 将出售所得现金按该证券投资组合操作，从而获得无风险收益；假如该证券投资组合的瞬时收益率小于无风险收益率，套利者将执行该证券投资组合，同时将所得现金用于购买无风险证券，从而实现无风险收益。由于该证券投资组合所实现的收益是无风险的，因此该证券投资组合的现金净流量（现金资本）应按无风险收益率进行变化，不妨设r为瞬时无风险收益率，即收益率的梯度（数学上表示就是收益率对时间的一阶导数），则r?驻t为时间段?驻t的无风险收益率，于是有：
（三）欧式期权的定价公式
1. 欧式期权的定价公式
二、B-S定价模型的特征分析
（一）B-S定价模型的假设分析
B-S定价模型为我们提供了一种有效地估算期权价值的工具。由于任何模型都是在一系列的假设前提下，对现实问题的一种简化和抽象，这就难以保证模型能完全准确地模拟现实， 从这个意义上来说，B-S定价模型的不足也是任何模型的共性。在现实中，完全满足B-S定价模型的假设条件是不太可能的，原因主要是：
1. 现实中的基础证券的价格并不可能严格服从对数正态分布， 甚至价格往往是处于不连续变化的状态，即使不存在红利发放，基础证券的价格也可能由于某种原因而出现跳跃性的变化。
2. 基础证券投资的瞬时回报率的波动性在现实中将受到各种因素的影响， 特别是一些环境因素的影响， 因而在期权有效期中很难保持瞬时回报率的固定不变。
3. 尽管该模型基于不发放红利的情况， 而对于有确定数量的红利发放情况的期权定价问题， 只要对模型做一简单扩展也可以实现定价问题。 但现实情况往往是已知有红利但具体红利发放的数量未知，甚至事先并不确定是否有红利发放的情况。
4. 尽管某些投资的收益率可能是稳定的，但是完全固定的无风险的利率可能是不存在的，其实，无风险的利率同样受到多种环境因素的影响。
5. 投资者借入或贷出（交易）行为之间是有利差的，这就是投资者的借贷成本或费用。除了这种借贷成本或费用之外， 投资者的借入或贷出数量也将受到限制，任意的借入或贷出的行为过程是不可能的。
（二）B-S定价模型的特征分析
由B-S定价模型导出的欧式期权定价公式主要由五个指标决定：基础证券的价格S（t）、期权的执行价格K、无风险收益率r、距离到期日的时间?子=?壮-t、基础证券价格的瞬时波动率?滓。 下面分别基于各指标对欧式期权的价格进行特征分析：
1.基础证券的价格S（t）
（1）当基础证券的价格S（t）足够大（即S→+∞）时，d1→+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而欧式看涨期权的价格C1（S，t）→max{S（t）-K，0}；同时，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
2.期权的执行价格K
（2）当期权的执行价格K足够小（K→0）时，d1→
+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t）；同时，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
3.无风险收益率r
当无风险收益率r提高时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）上升，欧式看跌期权的价格P1（S，t）则下降；而当无风险收益率r下降的时候，欧式看涨期权的价格C1（S，t）下降，欧式看跌期权的价格P1（S，t）则上升。特别的：
（1）当r足够大（即r→+∞）时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t），而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
4.距离到期日的时间?子
在美式看涨和看跌期权不提前执行的理性前提下，则距离到期日的时间?子越长，欧式看涨期权的价格C1（S，t）上升，欧式看跌期权的价格P1（S，t）也上升；距离到期日的时间?子越短，欧式看涨期权的价格C1（S，t）下降，欧式看跌期权的价格P1（S，t）也下降。特别的：
（1）当?子足够大（?子→+∞）时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t），欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
（2）当?子足够小（即?子→0）时，即时间t→T（期权即将到期）。如果S（T）≥K，那么欧式看涨期权的价格C1［S（T），T］→S（T）-K，而欧式看跌期权的价格P1［S（T），T］→0；如果S（T） 5.基础证券价格的瞬时波动率?滓
三、B-S定价模型的应用——期货的动态定价
作为B-S模型的应用， 下面将推导期货价格的动态定价公式。期货作为一种金融衍生工具，在连续型金融中， 其合约价值通常是按照B-S微分方程来求解的。
设Q（S，t）为时间t时期货合约的价值，F（t）为时间t时的期货价格，由于对于给定的时间t，F（t）相当于一常量，故我们简写为F。而S（t）为时间t时基础证券的价值，Q（S，t）满足布莱克-舒尔斯微分方程，即：
同时满足边界条件：
Q［S（T），T］=F（T）-F=S（T）-F
然后构造执行价格为F、到期日为T的同一基础证券的欧式看涨期权和欧式看跌期权，设C1（S，t）、P1（S，t）分别为欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格，由于C1（S，t）、P1（S，t）均满足B-S微分方程，那么C1（S，t）-P1（S，t）也满足B-S微分方程，即有：
四、结论与展望
金融衍生工具有助于投资者有效地管理金融风险，而这又离不开对金融衍生工具进行准确的定价。1997年度诺贝尔经济学奖颁给罗伯特·默顿和迈伦·斯科尔斯，正是因为他们和已故的布莱克、舒尔斯一道， 找到了期权定价的新方法， 为其他金融衍生工具的定价奠定了坚实的基础， 为金融学的发展做出了巨大贡献。 他们在20世纪70年代初进行的开创性工作解决了金融学中由来已久的难题， 无论在理论上还是实践上， 都为我们防范金融风险提供了有力的工具。 他们的新方法直接导致了最近20年金融衍生工具市场的迅猛发展。但是，如何对金融衍生工具做出准确的定价， 国内外的学者们一直在不懈地努力。 希望本文的探索能为金融衍生工具的科学定价及其金融实践提供有益的理论支持。
参考文献：
［1］宋逢明. 期权定价理论和1997年的诺贝尔经济学奖［J］. 管理工程学报，1998（2）：11-14.
［2］Cox，J. C. and Ross，S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes［J］. Journal of Financial Economics，1976：145-166.
［3］Leland，H. E. Option Pricing and Replication with Transactions Costs［J］. Journal of Finance，Dec. 1985（5）：1283-1301.
［4］Davis，M. and Panas，V. European Option Pricing with Transaction costs［M］. Proceedings of the 30th Conference on Decision and Co-ntrol，Brighton，English，December 1991.
［5］Perrakis，S. and Ryan，P. Option Pricing Bounds in Discrete Time［J］. Journal of Finance，June 1984：519-527.
［6］Ritchken， P. On Option Pricing Bounds［J］. Journal of Finance，1985（4）： 1225-1233.
［7］Lo，A. Semi-parametric upper Bounds for Option Prices and Expected Payoff［J］. Journal of Financial Economics，1987（17）：373-387.
［8］Ball，C. and Torous，W. Futures Options and the Volatility of Futures Prices［J］. Journal of Finance，1986（41）：857-870.
［9］Merton，R. Applications of Option-pricing Theory：Twenty-five Years Later［J］. American Economic Review 88（3），June 1998：323-349.
［10］施兵超. 金融期货和期权［M］.上海：上海三联书店，1997.
［11］李一智. 期货与期权教程［M］. 北京：清华大学出版社，1999.
［12］赵曙东. 期货投资和期权［M］.南京：南京大学出版社，1999.
［13］郭宝新等. 金融期货期权及其市场监管［M］. 北京：中国金融出版社，1999.
（责任编辑：郄彦平；校对：龙会芳）
关键词：B-S模型;金融衍生工具;定价;创新机理
中图分类号：F830文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２００8）０5－００11－05
在金融市场中， 由于金融衍生工具的价格受不确定因素的影响， 对其定价是非常困难的但同时也是非常重要的。期权和期货是重要的金融衍生工具。自20世纪70年代标准期权合约问世以来， 期权在国际金融市场上呼风唤雨，独领风骚，以至于成为人们心目中金融衍生工具的全部。 对于期权理论及其应用的研究， 西方国家研究的较早。1973年， 美国经济学家Black和Scholes在衍生证券定价方面做出了开创性的工作， 建立了被理论界和实务界广泛接受和使用的Black-Scholes期权定价模型 [1] （以下简称B-S模型）。后来，国外的许多学者相继进行了研究，其中较具代表性的有：Cox [2] 采用交错随机过程讨论了期权定价问题及股票价格运动不具有连续性样本路径时的期权价值问题；Leland [3] 、Davis [4] 考虑了带有交易成本的期权定价与复制问题；Perrakis [5] 、Ritchken [6] 、Lo [7] 等讨论了具有偏好限制边界的期权定价问题；Ball [8] 研究了美式期货期权相关问题；Merton [9] 对期权定价理论的未来应用做了探讨；等等。而国内对于金融衍生品理论的研究较晚，其中较具代表性的有：施兵超 [10] 、李一智 [11] 、赵曙东 [12] 以专著的形式研究了期货和期权的基本概念及相关理论；郭宝新等 [13] 对金融期货期权及其市场监管做了探讨；等等。近20年来，随着金融衍生品定价理论发展的日新月异， 其应用性也紧跟其后。1997年，有关期权定价的研究使两位美国经济学家获得诺贝尔经济学奖， 也使得西方20多年的期权及其应用研究进一步升温。因此，从理论意义上讲，有关期权的理论可以说是20世纪经济学领域最伟大的发现之一， 同时有待于国内外学者在21世纪继续进行深入探讨。本文从金融学角度， 在理论上证明和推导了布莱克-舒尔斯定价模型， 并通过对该模型加以分析与应用，导出了期货的定价模型。
一、基于金融学视角对B-S定价模型的理论证明和推导
在布莱克和舒尔斯的原始论文里， 是通过变量替换把微分方程变换成一个标准的抛物型方程（热扩散方程） 来求解， 其中涉及一些较高深的数学技巧。本文将从金融学角度，基于风险中性思路，在理论上给出B-S定价模型的证明和推导。
（一）B-S定价模型的基本假设
B-S定价模型主要基于如下的假设：
1.股票价格服从对数正态分布，且股票收益的方差为常数。
2.投资者可以卖空衍生证券，并使用卖空所得。
3.市场是无摩擦的，即不存在税收和交易成本。
4.所有证券都是无限可分的。
5.市场不存在无风险套利机会，且为投资者提供了连续交易的机会。
6.无风险利率为常数且对所有到期日均相同。
本文认为上述假设1中的条件过于苛刻，实际上该假设条件可以弱化一些， 变为基础证券的价格服从几何布朗运动。下面将在上述假设的前提下，基于风险中性假设的想法， 利用金融工程中的无套利均衡原理与方法来推导出布莱克-舒尔斯微分方程及欧式期权的定价公式， 以强化本文推导过程的金融学涵义。
（二）B-S定价微分方程
1. ITO引理及证明
（1）ITO引理
（2）证明
方程（7）中已经不含有随机项?驻W，说明在该证券投资组合中，卖出一个单位的衍生证券，同时买入数量为的基础证券恰好实现了投资不确定性风险的完全对冲， 使得该证券投资组合所实现的现金净流量（现金资本）的变化是确定的，即该证券投资组合必定是无风险的。因此，该证券投资组合的瞬时收益率应等于无风险收益率。 因为假如该证券投资组合的瞬时收益率大于无风险收益率， 套利者会把手中的无风险证券出售， 将出售所得现金按该证券投资组合操作，从而获得无风险收益；假如该证券投资组合的瞬时收益率小于无风险收益率，套利者将执行该证券投资组合，同时将所得现金用于购买无风险证券，从而实现无风险收益。由于该证券投资组合所实现的收益是无风险的，因此该证券投资组合的现金净流量（现金资本）应按无风险收益率进行变化，不妨设r为瞬时无风险收益率，即收益率的梯度（数学上表示就是收益率对时间的一阶导数），则r?驻t为时间段?驻t的无风险收益率，于是有：
（三）欧式期权的定价公式
1. 欧式期权的定价公式
二、B-S定价模型的特征分析
（一）B-S定价模型的假设分析
B-S定价模型为我们提供了一种有效地估算期权价值的工具。由于任何模型都是在一系列的假设前提下，对现实问题的一种简化和抽象，这就难以保证模型能完全准确地模拟现实， 从这个意义上来说，B-S定价模型的不足也是任何模型的共性。在现实中，完全满足B-S定价模型的假设条件是不太可能的，原因主要是：
1. 现实中的基础证券的价格并不可能严格服从对数正态分布， 甚至价格往往是处于不连续变化的状态，即使不存在红利发放，基础证券的价格也可能由于某种原因而出现跳跃性的变化。
2. 基础证券投资的瞬时回报率的波动性在现实中将受到各种因素的影响， 特别是一些环境因素的影响， 因而在期权有效期中很难保持瞬时回报率的固定不变。
3. 尽管该模型基于不发放红利的情况， 而对于有确定数量的红利发放情况的期权定价问题， 只要对模型做一简单扩展也可以实现定价问题。 但现实情况往往是已知有红利但具体红利发放的数量未知，甚至事先并不确定是否有红利发放的情况。
4. 尽管某些投资的收益率可能是稳定的，但是完全固定的无风险的利率可能是不存在的，其实，无风险的利率同样受到多种环境因素的影响。
5. 投资者借入或贷出（交易）行为之间是有利差的，这就是投资者的借贷成本或费用。除了这种借贷成本或费用之外， 投资者的借入或贷出数量也将受到限制，任意的借入或贷出的行为过程是不可能的。
（二）B-S定价模型的特征分析
由B-S定价模型导出的欧式期权定价公式主要由五个指标决定：基础证券的价格S（t）、期权的执行价格K、无风险收益率r、距离到期日的时间?子=?壮-t、基础证券价格的瞬时波动率?滓。 下面分别基于各指标对欧式期权的价格进行特征分析：
1.基础证券的价格S（t）
（1）当基础证券的价格S（t）足够大（即S→+∞）时，d1→+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而欧式看涨期权的价格C1（S，t）→max{S（t）-K，0}；同时，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
2.期权的执行价格K
（2）当期权的执行价格K足够小（K→0）时，d1→
+∞，d2→+∞，于是N（d1）→1，N（d2）→1，因而欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t）；同时，由于N（-d1）→0，N（-d2）→0，因而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
3.无风险收益率r
当无风险收益率r提高时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）上升，欧式看跌期权的价格P1（S，t）则下降；而当无风险收益率r下降的时候，欧式看涨期权的价格C1（S，t）下降，欧式看跌期权的价格P1（S，t）则上升。特别的：
（1）当r足够大（即r→+∞）时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t），而欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
4.距离到期日的时间?子
在美式看涨和看跌期权不提前执行的理性前提下，则距离到期日的时间?子越长，欧式看涨期权的价格C1（S，t）上升，欧式看跌期权的价格P1（S，t）也上升；距离到期日的时间?子越短，欧式看涨期权的价格C1（S，t）下降，欧式看跌期权的价格P1（S，t）也下降。特别的：
（1）当?子足够大（?子→+∞）时，欧式看涨期权的价格C1（S，t）→S（t），欧式看跌期权的价格P1（S，t）→0。
（2）当?子足够小（即?子→0）时，即时间t→T（期权即将到期）。如果S（T）≥K，那么欧式看涨期权的价格C1［S（T），T］→S（T）-K，而欧式看跌期权的价格P1［S（T），T］→0；如果S（T）
三、B-S定价模型的应用——期货的动态定价
作为B-S模型的应用， 下面将推导期货价格的动态定价公式。期货作为一种金融衍生工具，在连续型金融中， 其合约价值通常是按照B-S微分方程来求解的。
设Q（S，t）为时间t时期货合约的价值，F（t）为时间t时的期货价格，由于对于给定的时间t，F（t）相当于一常量，故我们简写为F。而S（t）为时间t时基础证券的价值，Q（S，t）满足布莱克-舒尔斯微分方程，即：
同时满足边界条件：
Q［S（T），T］=F（T）-F=S（T）-F
然后构造执行价格为F、到期日为T的同一基础证券的欧式看涨期权和欧式看跌期权，设C1（S，t）、P1（S，t）分别为欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格，由于C1（S，t）、P1（S，t）均满足B-S微分方程，那么C1（S，t）-P1（S，t）也满足B-S微分方程，即有：
四、结论与展望
金融衍生工具有助于投资者有效地管理金融风险，而这又离不开对金融衍生工具进行准确的定价。1997年度诺贝尔经济学奖颁给罗伯特·默顿和迈伦·斯科尔斯，正是因为他们和已故的布莱克、舒尔斯一道， 找到了期权定价的新方法， 为其他金融衍生工具的定价奠定了坚实的基础， 为金融学的发展做出了巨大贡献。 他们在20世纪70年代初进行的开创性工作解决了金融学中由来已久的难题， 无论在理论上还是实践上， 都为我们防范金融风险提供了有力的工具。 他们的新方法直接导致了最近20年金融衍生工具市场的迅猛发展。但是，如何对金融衍生工具做出准确的定价， 国内外的学者们一直在不懈地努力。 希望本文的探索能为金融衍生工具的科学定价及其金融实践提供有益的理论支持。
参考文献：
［1］宋逢明. 期权定价理论和1997年的诺贝尔经济学奖［J］. 管理工程学报，1998（2）：11-14.
［2］Cox，J. C. and Ross，S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes［J］. Journal of Financial Economics，1976：145-166.
［3］Leland，H. E. Option Pricing and Replication with Transactions Costs［J］. Journal of Finance，Dec. 1985（5）：1283-1301.
［4］Davis，M. and Panas，V. European Option Pricing with Transaction costs［M］. Proceedings of the 30th Conference on Decision and Co-ntrol，Brighton，English，December 1991.
［5］Perrakis，S. and Ryan，P. Option Pricing Bounds in Discrete Time［J］. Journal of Finance，June 1984：519-527.
［6］Ritchken， P. On Option Pricing Bounds［J］. Journal of Finance，1985（4）： 1225-1233.
［7］Lo，A. Semi-parametric upper Bounds for Option Prices and Expected Payoff［J］. Journal of Financial Economics，1987（17）：373-387.
［8］Ball，C. and Torous，W. Futures Options and the Volatility of Futures Prices［J］. Journal of Finance，1986（41）：857-870.
［9］Merton，R. Applications of Option-pricing Theory：Twenty-five Years Later［J］. American Economic Review 88（3），June 1998：323-349.
［10］施兵超. 金融期货和期权［M］.上海：上海三联书店，1997.
［11］李一智. 期货与期权教程［M］. 北京：清华大学出版社，1999.
［12］赵曙东. 期货投资和期权［M］.南京：南京大学出版社，1999.
［13］郭宝新等. 金融期货期权及其市场监管［M］. 北京：中国金融出版社，1999.
（责任编辑：郄彦平；校对：龙会芳）