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对于二元一次不等式和简单线性规划,江苏省高考中重点考查根据线性约束条件求目标函数的最值,复习中应适度拨高要求,能够根据线性约束条件对应的平面区域及目标函数的几何意义(如斜率、截距、面积、距离等)解决简单的线性规划问题.试题多以填空题的形式出现,有时会与函数、解析几何相结合,难度中等偏下.
一、 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 若S为不等式组x≤0,
y≥0,
y-x≤2.表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过S中的那部分区域的面积为 ．
分析 先在直角坐标系内作出二元一次不等式组表示的平面区域,然后由-2≤x+y≤1得到要求的平面区域,最后求出面积．
解 如图所示,直线x+y=a扫过S中的区域为四边形AOBC．
∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD
=12×2×2-12×1×12
=74．
点评 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．
二、 简单的线性规划问题
【例2】 如果实数x,y满足x-4y+3≤0,
3x+5y-25≤0,
x≥1.
目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为？
解 可行域为图中阴影部分,A(1,1),C1,225,B(5,2)．
z=kx+y的最小值为3,最大值为12,则k＞0．
故当最优解为(1,1)时,zmin=k+1=3,
∴k=2.故k的值为2．
点评 (1) 利用线性规划求目标函数的最值问题,一般用图解法求解,其步骤是：第一步,画出约束条件对应的可行域；第二步,将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；第三步,将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．
(2) 线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得．
(3) 目标函数通常具有相应的几何意义,如纵截距、斜率、距离等．
三、 线性规划的实际应用
【例3】 某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为03万元和02万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
分析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识方法求解．
解 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分．
人死了，但事业永存。—柯西
到底是大师的著作，不同凡响！—伽罗瓦
作直线l:3 000x+2 000y=0,
即3x+2y=0,
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值．
联立x+y=300,
5x+2y=900.解得x=100,
y=200.
∴点M的坐标为(100,200),
∴zmax=3 000x+2 000y=700 000．
即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元．
点评 (1) 解决线性规划应用问题的一般步骤是：
①认真审题分析,设出有关未知数,写出线性约束条件和目标函数；
②根据线性规划问题的求解方法求出最优解；
③检验回答所求．
(2) 能建立线性规划模型的实际问题有：
①给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大；
②给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
(3) 解题时要尽量混淆“线性规划”与“一般规划”．
牛刀小试
1. 设变量x,y满足x+y≤1,
x-y≤1,
x≥0.则x+2y的最大值和最小值分别为．
2. 已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为．
3. 若变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,
6≤x-y≤9.则z=x+2y的最小值为．
4. 如图所示,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为 ．
【参考答案】
1. 画出可行域(如图所示阴影部分).可知当直线
u=x+2y
经过A(0,1),C(0,-1)时分别对应u的最大值和最小值．
故umax=2,umin=-2．
2. 因为a=x+z,3,b=(2,y-z),且a⊥b,
所以a•b=2（x+z）+3（y-z）=0,
即2x+3y-z=0．
又x+y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．
所以当2x+3y-z=0过点B(0,-1)时,zmin=-3；
当2x+3y-z=0过点A(0,1)时,zmax=3.所以z∈-3,3．
3. 作出可行域如图阴影部分所示,
由y=-2x+3,
y=x-9. 解得A(4,-5)．
当直线z=x+2y过A点时z取最小值,
将A(4,-5)代入,得z=4+2×(-5)=-6．
4. 由图象知
函数在点A(1,1)时,2x-y=1；在点B(3,2)时,2x-y=23-2>1；在点C(5,1)时,2x-y=25-1＞1；在点D(1,0)时,
2x-y=2-0=2>1,故最小值为1．
一、 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 若S为不等式组x≤0,
y≥0,
y-x≤2.表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过S中的那部分区域的面积为 ．
分析 先在直角坐标系内作出二元一次不等式组表示的平面区域,然后由-2≤x+y≤1得到要求的平面区域,最后求出面积．
解 如图所示,直线x+y=a扫过S中的区域为四边形AOBC．
∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD
=12×2×2-12×1×12
=74．
点评 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．
二、 简单的线性规划问题
【例2】 如果实数x,y满足x-4y+3≤0,
3x+5y-25≤0,
x≥1.
目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为？
解 可行域为图中阴影部分,A(1,1),C1,225,B(5,2)．
z=kx+y的最小值为3,最大值为12,则k＞0．
故当最优解为(1,1)时,zmin=k+1=3,
∴k=2.故k的值为2．
点评 (1) 利用线性规划求目标函数的最值问题,一般用图解法求解,其步骤是：第一步,画出约束条件对应的可行域；第二步,将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；第三步,将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．
(2) 线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得．
(3) 目标函数通常具有相应的几何意义,如纵截距、斜率、距离等．
三、 线性规划的实际应用
【例3】 某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为03万元和02万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
分析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识方法求解．
解 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分．
人死了，但事业永存。—柯西
到底是大师的著作，不同凡响！—伽罗瓦
作直线l:3 000x+2 000y=0,
即3x+2y=0,
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值．
联立x+y=300,
5x+2y=900.解得x=100,
y=200.
∴点M的坐标为(100,200),
∴zmax=3 000x+2 000y=700 000．
即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元．
点评 (1) 解决线性规划应用问题的一般步骤是：
①认真审题分析,设出有关未知数,写出线性约束条件和目标函数；
②根据线性规划问题的求解方法求出最优解；
③检验回答所求．
(2) 能建立线性规划模型的实际问题有：
①给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大；
②给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
(3) 解题时要尽量混淆“线性规划”与“一般规划”．
牛刀小试
1. 设变量x,y满足x+y≤1,
x-y≤1,
x≥0.则x+2y的最大值和最小值分别为．
2. 已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为．
3. 若变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,
6≤x-y≤9.则z=x+2y的最小值为．
4. 如图所示,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为 ．
【参考答案】
1. 画出可行域(如图所示阴影部分).可知当直线
u=x+2y
经过A(0,1),C(0,-1)时分别对应u的最大值和最小值．
故umax=2,umin=-2．
2. 因为a=x+z,3,b=(2,y-z),且a⊥b,
所以a•b=2（x+z）+3（y-z）=0,
即2x+3y-z=0．
又x+y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．
所以当2x+3y-z=0过点B(0,-1)时,zmin=-3；
当2x+3y-z=0过点A(0,1)时,zmax=3.所以z∈-3,3．
3. 作出可行域如图阴影部分所示,
由y=-2x+3,
y=x-9. 解得A(4,-5)．
当直线z=x+2y过A点时z取最小值,
将A(4,-5)代入,得z=4+2×(-5)=-6．
4. 由图象知
函数在点A(1,1)时,2x-y=1；在点B(3,2)时,2x-y=23-2>1；在点C(5,1)时,2x-y=25-1＞1；在点D(1,0)时,
2x-y=2-0=2>1,故最小值为1．