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一、平衡中的极值
例1 如图1，小球质量为[m]，用两根轻绳[BO]和[CO]系好后，将绳固定在墙上，在小球上加一与水平方向成[60°]的力[F]，小球平衡时，两绳均伸直且夹角为[60°]，则力[F]的大小应满足什么条件？
点拨 平衡问题的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态.研究临界问题的基本方法是：先进行物理过程的分析，抓住题中的临界“状态”；然后根据物体所处的状态，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法分析求解.本题物体处于平衡状态，其中的一个关键词语“两绳均伸直”就是在进行物理过程的分析中所要找的“临界状态”.对两绳“伸直”状态可以这样理解：当力[F]较小时，绳[CO]可以处于松弛状态，当[CO]伸直且[FC=0]时，力[F]就有最小值；而当力[F]较大时，绳[BO]可以处于松弛状态，当[BO]伸直且[FB=0]时，力[F]就有最大值.
二、直线运动中的极值
例2 如图3，质量分别为15kg和5kg的长方形物体[A]和[B]静止叠放在水平桌面上. [A]与桌面以及[A]、[B]间动摩擦因数分别为[μ1=0.1]和[μ2=0.6]，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.问：
（1）水平作用力[F]作用在[B]上至少多大时，[A、B]之间能发生相对滑动？
（2）当[F=]30N或40N时，[A、B]加速度分别各为多少？
解析 [A、B]相对滑动的条件是：[A、B]之间的摩擦力达到最大静摩擦力，且加速度达到[A]可能的最大加速度[a0]，应先求出[a0].
即当[F]达到33.3N时，[A、B]间已达到最大静摩擦力.若[F]再增加，[B]的加速度增大而[A]的加速度已无法增大，即发生相对滑动，则[F]至少应大于33.3N.
（2）当[F=30N,]由分析可知不会发生相对滑动，用整体法求出共同加速度
[aA=aB=F-Ff地mA+mB=0.5m/s2]
进一步求得[A、B]间的静摩擦力为27.5N.
当[F= 40N]时，[A、B]相对滑动，须用隔离法分别求[aA]、[aB]，其实[aA]由于滑动摩擦力产生，不必另求，利用上述结果，可得[aA=a0=23m/s2]
以[B]为对象，可求得[aB=F-FfABmB=2m/s2]
点拨 解决此类问题的关键是找到情况发生变化的“临界条件”.各种问题临界条件不同，必须对具体问题进行具体分析.
三、曲线运动中的极值
例3 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为[3m]和[2m]的小球[A和B]. 支架的两直角边长度分别为[2l]和[l]，支架可绕固定轴[O]在竖直平面内无摩擦转动，如图5. 开始时[OA]边处于水平位置，由静止释放，求：
（1）[A、B]达到最大速度时，[OB]杆与竖直方向所夹的角度及两球速度；
（2）[OB]杆向左的最大偏转角度.
解析 （1）如图6，假设速度最大时，[OB]杆与竖直方向所夹的角度为[α]，对系统，由动能定理，有[mAg2lsinα-mBg(1-cosα)l=12mAv2A+12mBv2B]
因两球的角速度相同，有[vA:vB=2l:l=2:1]
综合可得
[2mgl(3sinα+cosα-1)=(23+1)mv2B]
利用配方法，可得
[4gl（32sinα+12cosα-12)=（23+1）v2B]
令[sinβ=12]，即[β=30°]
[4glsin(α+β)-12=（23+1）v2B]
当[α=60°]时，[vBm=2gl23+1]
则[vAm=22gl23+1]
（2）设最大偏转时，[OB]杆与竖直方向所夹角度为[α]，此时两球速度为0，系统机械能守恒，有
[mAg2lsinα-mBg(1-cosα)l=0]
化简，有[3sinα+cosα=1]
配方，得[32sinα+12cosα=12]
令[sinβ=12]，有[sin(α+β)=12]
可得[α=120°]时两球速度为0，达到最大偏转角度.
点拨 此题也可以抓住速度最大时两球合力矩为0的物理特点，由[mAg2lcosα=mBglsinα]，得[tanα=2mAmB=3]，即[α=60°]，然后再求最大速度.
例1 如图1，小球质量为[m]，用两根轻绳[BO]和[CO]系好后，将绳固定在墙上，在小球上加一与水平方向成[60°]的力[F]，小球平衡时，两绳均伸直且夹角为[60°]，则力[F]的大小应满足什么条件？
点拨 平衡问题的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态.研究临界问题的基本方法是：先进行物理过程的分析，抓住题中的临界“状态”；然后根据物体所处的状态，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法分析求解.本题物体处于平衡状态，其中的一个关键词语“两绳均伸直”就是在进行物理过程的分析中所要找的“临界状态”.对两绳“伸直”状态可以这样理解：当力[F]较小时，绳[CO]可以处于松弛状态，当[CO]伸直且[FC=0]时，力[F]就有最小值；而当力[F]较大时，绳[BO]可以处于松弛状态，当[BO]伸直且[FB=0]时，力[F]就有最大值.
二、直线运动中的极值
例2 如图3，质量分别为15kg和5kg的长方形物体[A]和[B]静止叠放在水平桌面上. [A]与桌面以及[A]、[B]间动摩擦因数分别为[μ1=0.1]和[μ2=0.6]，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.问：
（1）水平作用力[F]作用在[B]上至少多大时，[A、B]之间能发生相对滑动？
（2）当[F=]30N或40N时，[A、B]加速度分别各为多少？
解析 [A、B]相对滑动的条件是：[A、B]之间的摩擦力达到最大静摩擦力，且加速度达到[A]可能的最大加速度[a0]，应先求出[a0].
即当[F]达到33.3N时，[A、B]间已达到最大静摩擦力.若[F]再增加，[B]的加速度增大而[A]的加速度已无法增大，即发生相对滑动，则[F]至少应大于33.3N.
（2）当[F=30N,]由分析可知不会发生相对滑动，用整体法求出共同加速度
[aA=aB=F-Ff地mA+mB=0.5m/s2]
进一步求得[A、B]间的静摩擦力为27.5N.
当[F= 40N]时，[A、B]相对滑动，须用隔离法分别求[aA]、[aB]，其实[aA]由于滑动摩擦力产生，不必另求，利用上述结果，可得[aA=a0=23m/s2]
以[B]为对象，可求得[aB=F-FfABmB=2m/s2]
点拨 解决此类问题的关键是找到情况发生变化的“临界条件”.各种问题临界条件不同，必须对具体问题进行具体分析.
三、曲线运动中的极值
例3 一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为[3m]和[2m]的小球[A和B]. 支架的两直角边长度分别为[2l]和[l]，支架可绕固定轴[O]在竖直平面内无摩擦转动，如图5. 开始时[OA]边处于水平位置，由静止释放，求：
（1）[A、B]达到最大速度时，[OB]杆与竖直方向所夹的角度及两球速度；
（2）[OB]杆向左的最大偏转角度.
解析 （1）如图6，假设速度最大时，[OB]杆与竖直方向所夹的角度为[α]，对系统，由动能定理，有[mAg2lsinα-mBg(1-cosα)l=12mAv2A+12mBv2B]
因两球的角速度相同，有[vA:vB=2l:l=2:1]
综合可得
[2mgl(3sinα+cosα-1)=(23+1)mv2B]
利用配方法，可得
[4gl（32sinα+12cosα-12)=（23+1）v2B]
令[sinβ=12]，即[β=30°]
[4glsin(α+β)-12=（23+1）v2B]
当[α=60°]时，[vBm=2gl23+1]
则[vAm=22gl23+1]
（2）设最大偏转时，[OB]杆与竖直方向所夹角度为[α]，此时两球速度为0，系统机械能守恒，有
[mAg2lsinα-mBg(1-cosα)l=0]
化简，有[3sinα+cosα=1]
配方，得[32sinα+12cosα=12]
令[sinβ=12]，有[sin(α+β)=12]
可得[α=120°]时两球速度为0，达到最大偏转角度.
点拨 此题也可以抓住速度最大时两球合力矩为0的物理特点，由[mAg2lcosα=mBglsinα]，得[tanα=2mAmB=3]，即[α=60°]，然后再求最大速度.