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摘要：作为一名初中数学教师，肩负多年的毕业班数学教学工作及年级的培优辅导工作，深感学生学习上的困惑，学生分析问题、解决问题的能力及知识间的发散思维能力还有待提高。为了拓展学生的知识面，熟练数学中的一些题型，我把自己积累的知识和经验做个总结，供师生参考。
关键词：初中数学 代数 几何 “1”
谈到“1”，很多人在熟悉不过了，“1”也是数学中最常见不过的数，如两数互为倒数，则两数的乘积为1，即x·1x=1（x≠0），a0=1（a≠0）等，“1”的妙用及题型在数学中应用很多，现我把“1”在数学中有关试题及妙用列举如下。
一、代数中的“1”
例一：求值问题
在学习零指数幂的法则时，有这样一道题：已知：（m-2）m 1=1，求m得值。这个问题主要考查学生对所学知识的综合应用能力。一般学生做这道题时会根据现学知识a0=1（a≠0）进行解答，如果对问题考虑不周全就会漏解。这个问题可分三种情况讨论：（1）底数不为零的零次幂等于1；（2）1的任何次幂等于1；（3）（-1）的偶次幂等于1。所以这道题的解答如下：解：（1）m 1=0，m-2≠0时，可得：m=-1；（2）m-2=1，可得：m=3；（3）m-2=-1，（m 1）为偶数时，可得：m=1，综上所述：m=-1或3或1。这道题也体现了分情况讨论的数学思想。
在学习两数和（差）的完全平方（a±b）2=a2±2ab b2时，数学中常见的一种题型是已知：x±1x=3，求x2 1x2的值。这就巧用两数互为倒数，则两数的乘积为1，就是把已知条件x±1x=3两边同时平方，即可求解。求最值问题往往把有字母的式子变为乘积为1的形式。如（1）已知x>0，求x 4x的最小值；（2）已知x>0，求2x 1x2的最小值。解答如下：（1）根据a b≥2ab，可得：∵x>0，∴x 4x≥2x·4x=2×4=4，所以x 4x的最小值为4；（2）根据a b c≥33abc，2x 1x2=x x 1x2≥33x·x·1x2=3，所以2x 1x2的最小值为3。
例二：工程问题
在列方程解应用题中，对工程问题的类型，在解答时可以把完成这项工作看成单位“1”。举例如下：
为创建“全国文明城市”，某城市对一段公路进行升级改造.已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果这项工程由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成.
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数.
分析：本题着重考查学生应用分式方程解决实际问题的能力，在列方程时，应把完成这项工程看成单位“1”，由题意知：甲每天完成这项工程的140，设乙工程队单独完成这项工程需要x天，，则乙每天完成这项工程的1x，最后完成了這项工程，就是乙的工作量 甲、乙合做的工作量=单位“1”。
解答：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：
10x 1x 140×20=1
解之得：x=60 经检验：x=60是原方程的解.
（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，根据题意得：140 160y=1
解之得：y=24
（2）在做题中要充分利用已知条件中的“1”，弄清其意义所在。在初三同步学习中有这样一道题：若ab=1，M=11 a 11 b，N=aa 1 bb 1，比较M与N的大小。在解这个题目中，学生往往采用作差法进行比较，若M-N=0，则M=N；若M-N>0，则M>N；若M-N<0，则M 理由：M=11 a 11 b=abab a abab b=aba（b 1） abb（a 1）=bb 1 aa 1=N
或N=aa ab bb ab=aa（1 b） bb（1 a）=11 b 11 a=M
这道题若是选择题或填空题，利用特例法令a=1，b=1代入M、N就可以得到M=N。
二、几何中的“1”
在几何中，证明定值为“1”的题目较多。列举几个例子，让学生掌握几何图形中的内在联系。
例四：“1”在几何中有这种1a 1b=1c类型的题目如何做呢？这就要求教师教给学生解决这类问题思路，先进行变换证明ca cb=1，通过三角形相似，找合适的量进行等量代换，化为同分母的式子相加，且使分子之和等于分母，得出1，然后两边同除以c，就得到1a 1b=1c。
（1）已知：如图AB∥CD，AD，BC相交于E，过E作EF∥AB交BD于F，求证：1AB 1CD=1EF；分析：欲证1AB 1CD=1EF，先证明EFAB EFCD=1
解答过程如下：因为AB∥CD， EF∥AB，所以AB ∥EF∥CD
所以△EFD∽△ABD，△BFE∽△BDC
所以EFAB=DFBD，EFCD=BFBD，又因为DFBD BFBD=1，EFAB EFCD=1
所以1AB 1CD=1EF
例五：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AFFB·BDDC·CEEA=1。证明方法即可用相似三角形变换成ab·bc·ca=1来做，又可化为面积的比s1s2·s2s3·s3s1=1来做，请师生交流做法。在此基础上我进行了拓展变式。
题目如下：已知点O是△ABC内任一点，AO交BC于点D，BO交AC于点E，CO交AB于点F，求证：AFFB·BDDC·CEEA=1。
解法如下：
因为AFFB=SΔACFSΔBCF=SΔAOFSΔBOF=SΔACF-SΔAOFSΔBCF-SΔBOF=SΔAOCSΔBOC，
同理：BDDC=SΔAOBSΔAOC；CEEA=SΔBOCSΔAOB，
所以AFFB·BDDC·CEEA=SΔAOCSΔBOC·SΔAOBSΔAOC·SΔBOCSΔAOB=1。在此题目基础上又进行了拓展，供师生探究。
1.当BD=CD时，连接EF，则EF∥BC；
2.当EF∥BC时，BE与CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D，则BD=CD。
在数学中，有关“1”的试题还有很多，教师要主动接触新事物，积极探索，善于总结，请师生继续挖掘与探索。俗话说“学高为师”，我深知要想给别人一杯水，自己应该有源源不断的活水，只有不断努力的学习和思考，才能做到与时俱进，才会有创新，有发展。
关键词：初中数学 代数 几何 “1”
谈到“1”，很多人在熟悉不过了，“1”也是数学中最常见不过的数，如两数互为倒数，则两数的乘积为1，即x·1x=1（x≠0），a0=1（a≠0）等，“1”的妙用及题型在数学中应用很多，现我把“1”在数学中有关试题及妙用列举如下。
一、代数中的“1”
例一：求值问题
在学习零指数幂的法则时，有这样一道题：已知：（m-2）m 1=1，求m得值。这个问题主要考查学生对所学知识的综合应用能力。一般学生做这道题时会根据现学知识a0=1（a≠0）进行解答，如果对问题考虑不周全就会漏解。这个问题可分三种情况讨论：（1）底数不为零的零次幂等于1；（2）1的任何次幂等于1；（3）（-1）的偶次幂等于1。所以这道题的解答如下：解：（1）m 1=0，m-2≠0时，可得：m=-1；（2）m-2=1，可得：m=3；（3）m-2=-1，（m 1）为偶数时，可得：m=1，综上所述：m=-1或3或1。这道题也体现了分情况讨论的数学思想。
在学习两数和（差）的完全平方（a±b）2=a2±2ab b2时，数学中常见的一种题型是已知：x±1x=3，求x2 1x2的值。这就巧用两数互为倒数，则两数的乘积为1，就是把已知条件x±1x=3两边同时平方，即可求解。求最值问题往往把有字母的式子变为乘积为1的形式。如（1）已知x>0，求x 4x的最小值；（2）已知x>0，求2x 1x2的最小值。解答如下：（1）根据a b≥2ab，可得：∵x>0，∴x 4x≥2x·4x=2×4=4，所以x 4x的最小值为4；（2）根据a b c≥33abc，2x 1x2=x x 1x2≥33x·x·1x2=3，所以2x 1x2的最小值为3。
例二：工程问题
在列方程解应用题中，对工程问题的类型，在解答时可以把完成这项工作看成单位“1”。举例如下：
为创建“全国文明城市”，某城市对一段公路进行升级改造.已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果这项工程由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成.
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数.
分析：本题着重考查学生应用分式方程解决实际问题的能力，在列方程时，应把完成这项工程看成单位“1”，由题意知：甲每天完成这项工程的140，设乙工程队单独完成这项工程需要x天，，则乙每天完成这项工程的1x，最后完成了這项工程，就是乙的工作量 甲、乙合做的工作量=单位“1”。
解答：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：
10x 1x 140×20=1
解之得：x=60 经检验：x=60是原方程的解.
（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，根据题意得：140 160y=1
解之得：y=24
（2）在做题中要充分利用已知条件中的“1”，弄清其意义所在。在初三同步学习中有这样一道题：若ab=1，M=11 a 11 b，N=aa 1 bb 1，比较M与N的大小。在解这个题目中，学生往往采用作差法进行比较，若M-N=0，则M=N；若M-N>0，则M>N；若M-N<0，则M
或N=aa ab bb ab=aa（1 b） bb（1 a）=11 b 11 a=M
这道题若是选择题或填空题，利用特例法令a=1，b=1代入M、N就可以得到M=N。
二、几何中的“1”
在几何中，证明定值为“1”的题目较多。列举几个例子，让学生掌握几何图形中的内在联系。
例四：“1”在几何中有这种1a 1b=1c类型的题目如何做呢？这就要求教师教给学生解决这类问题思路，先进行变换证明ca cb=1，通过三角形相似，找合适的量进行等量代换，化为同分母的式子相加，且使分子之和等于分母，得出1，然后两边同除以c，就得到1a 1b=1c。
（1）已知：如图AB∥CD，AD，BC相交于E，过E作EF∥AB交BD于F，求证：1AB 1CD=1EF；分析：欲证1AB 1CD=1EF，先证明EFAB EFCD=1
解答过程如下：因为AB∥CD， EF∥AB，所以AB ∥EF∥CD
所以△EFD∽△ABD，△BFE∽△BDC
所以EFAB=DFBD，EFCD=BFBD，又因为DFBD BFBD=1，EFAB EFCD=1
所以1AB 1CD=1EF
例五：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AFFB·BDDC·CEEA=1。证明方法即可用相似三角形变换成ab·bc·ca=1来做，又可化为面积的比s1s2·s2s3·s3s1=1来做，请师生交流做法。在此基础上我进行了拓展变式。
题目如下：已知点O是△ABC内任一点，AO交BC于点D，BO交AC于点E，CO交AB于点F，求证：AFFB·BDDC·CEEA=1。
解法如下：
因为AFFB=SΔACFSΔBCF=SΔAOFSΔBOF=SΔACF-SΔAOFSΔBCF-SΔBOF=SΔAOCSΔBOC，
同理：BDDC=SΔAOBSΔAOC；CEEA=SΔBOCSΔAOB，
所以AFFB·BDDC·CEEA=SΔAOCSΔBOC·SΔAOBSΔAOC·SΔBOCSΔAOB=1。在此题目基础上又进行了拓展，供师生探究。
1.当BD=CD时，连接EF，则EF∥BC；
2.当EF∥BC时，BE与CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D，则BD=CD。
在数学中，有关“1”的试题还有很多，教师要主动接触新事物，积极探索，善于总结，请师生继续挖掘与探索。俗话说“学高为师”，我深知要想给别人一杯水，自己应该有源源不断的活水，只有不断努力的学习和思考，才能做到与时俱进，才会有创新，有发展。