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摘要：本文从教学实践中浅谈古典概型的教学
关键词：古典概型；教学
古典概型是高一《必修3》中的的重点内容，学生在初学时经常会出现这样那样的问题，那么我们老师在教学时应该有那些针对性的方法来帮助他们解决这些问题呢？笔者通过近期教学实践、与同行探讨以及查阅资料在此谈谈自己的浅见，不妥之处，敬请同行指正。
1.对教材的思考
高一数学《必修3》中的“古典概型”一节中，教材选择了以下两个例题：
例1.1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
例1.2 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
在例题1.1的教学中，学生很快算出有6个基本事件：
后来在例题1.2的教学中，笔者根据课本上的提示，告诉学生把每听饮料编上号码，合格的4听分别记为1，2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，将每次取出的两听的编号组合成一组实数对（x，y），再次让学生写出所有的基本事件数，大多数学生也很快写出了以下15种结果：
少部分学生很快想到是将每个结果中的前后两数调换了位置，多数学生需要一定的时间考虑，但第二个问题------所得的概率与第一种方法是否相同------他们都可以很快回答出来；紧接着有学生问到：为什么要把每个结果中的两个数调换位置作为另一种结果呢？取出（1，2）与（2，1）不是一样的吗？例1.1中不也是如此的吗？
学生的问题引起了我的思考：个人感觉作为教材来说两道相同类型的题目应该是用一样的方法；否则，按照教材目前的编写方式，学生在理解过程中容易出现偏差，教师在教学过程中也不好把握，我就这个问题和其他老师进行了一些交流，发现几乎所有的老师都对这个问题提出了异议，觉得教材前后的方法以及体现出来的思想有些不一致。教材如此编写的原因与目的何在？是因为在例1.1中a，b，c，d是四个不同的元素，而在例1.2中合格的4听饮料或者不合格的2听饮料相同吗？显然不是，因为将它们看作是一样的话就没有必要进行编号了；是为了让学生了解同类问题的两种不同解法吗？似乎也并非如此，否则为什么在教材上没有提及将两个例题做个比较呢？
2.简便方法适用吗？
对于以上两道例题的教学，用分步计数原理来解决。以例1.1为例，先考虑第一个抽出的字母，共有4种选择，假如抽出a，再考虑第2个抽出的字母，有三种选择b，c，d，所以在a确定的情况下有3个基本事件{a，b}，{a，c}，{a，d}，又因为第一个抽出的字母有四种选择，每个字母都对应着三个基本事件，所以一共有4×3=12个基本事件，这种做法相当于运用了分步计数原理。笔者在教学时也采用了这种方法，有意思的是由于时间原因只在所任教的两个班中的一个讲解了该方法，但两个班的作业情况却大相径庭，讲解了该方法的班级的作业情况反而不如未讲解该方法的班级。在当天的作业：
例2.1 在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京。从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？
例2.2 A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）A站在边上；（2）A和B都站在边上；（3）A或B站在边上；（4）A和B都不在边上。
我在讲解了分步计数原理的班级中要求学生对第1题用列举法和分步计数原理两种方法解决，而第2题让他们自由选择方法解决。从作业的完成情况来看，第1题学生都能两种方法来解题，而且可以做对，但是在第2题的计算上学生们出现了分歧，一部分用了穷举法，另一部分用了分步计算原理，用穷举法的学生的准确率明显高于用分步计数原理的学生，在使用分步计数原理的同学中出现了各种错误，班上一位数学成绩较好的同学有如下做法：
设A站在边上为事件E，则
而正确的做法是
事后我问他为什么在分母多乘了2，他解释到分子中由于A可能站在左右两个位置中的某一个，所以乘了2，他认为分母也一样，在给四位同学排位时，从左向右和从右向左也都应该排一次，所以也要乘以2，很明显他对于这个本质上属于排列组合问题的方法掌握得并不透彻，而其它多数成绩不如他的同学对该方法的理解也可见一斑了。所以对于在古典概型中讲解分步计数原理的教学方式我个人持保留态度，学生基础非常好的班级或学校可以尝试，否则可能会适得其反，毕竟用穷举法在考试中拿分是比较稳妥的。
3.最容易出现的问题
从学生对本节知识的掌握，以及在作业情况来看，出错最多的就是基本事件在罗列时出现错、漏、重的现象，这是初学者很容易出现的问题，那么该如何解决呢？个人感觉是两个方面：
首先是对题目当中所涉及的事件是否了解，也就是知道不知道题目中的事件是做什么，怎么做，怎样才算结束。例如上面的例2.2中，事件就是要把“A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排”；怎么做呢？把他们一个个站上位置；怎么样才是做完了？四个人都站好了就结束这件事。就有同学在题目要求抽出两个元素的时候，他只抽出一个，题目的意思都没完全理解，结果自然也就不对，所以教会学生分析事件很重要。
尽管课本中只是薄薄的几页，但在古典概型的教学中，每一堂课，每一次批改作业，都有很多东西值得我们老师去反思和回味，甚至可以更进一步去探索和研究，而在这些反思、回味、探究的过程中我们自己也在慢慢成长。
关键词：古典概型；教学
古典概型是高一《必修3》中的的重点内容，学生在初学时经常会出现这样那样的问题，那么我们老师在教学时应该有那些针对性的方法来帮助他们解决这些问题呢？笔者通过近期教学实践、与同行探讨以及查阅资料在此谈谈自己的浅见，不妥之处，敬请同行指正。
1.对教材的思考
高一数学《必修3》中的“古典概型”一节中，教材选择了以下两个例题：
例1.1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
例1.2 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
在例题1.1的教学中，学生很快算出有6个基本事件：
后来在例题1.2的教学中，笔者根据课本上的提示，告诉学生把每听饮料编上号码，合格的4听分别记为1，2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，将每次取出的两听的编号组合成一组实数对（x，y），再次让学生写出所有的基本事件数，大多数学生也很快写出了以下15种结果：
少部分学生很快想到是将每个结果中的前后两数调换了位置，多数学生需要一定的时间考虑，但第二个问题------所得的概率与第一种方法是否相同------他们都可以很快回答出来；紧接着有学生问到：为什么要把每个结果中的两个数调换位置作为另一种结果呢？取出（1，2）与（2，1）不是一样的吗？例1.1中不也是如此的吗？
学生的问题引起了我的思考：个人感觉作为教材来说两道相同类型的题目应该是用一样的方法；否则，按照教材目前的编写方式，学生在理解过程中容易出现偏差，教师在教学过程中也不好把握，我就这个问题和其他老师进行了一些交流，发现几乎所有的老师都对这个问题提出了异议，觉得教材前后的方法以及体现出来的思想有些不一致。教材如此编写的原因与目的何在？是因为在例1.1中a，b，c，d是四个不同的元素，而在例1.2中合格的4听饮料或者不合格的2听饮料相同吗？显然不是，因为将它们看作是一样的话就没有必要进行编号了；是为了让学生了解同类问题的两种不同解法吗？似乎也并非如此，否则为什么在教材上没有提及将两个例题做个比较呢？
2.简便方法适用吗？
对于以上两道例题的教学，用分步计数原理来解决。以例1.1为例，先考虑第一个抽出的字母，共有4种选择，假如抽出a，再考虑第2个抽出的字母，有三种选择b，c，d，所以在a确定的情况下有3个基本事件{a，b}，{a，c}，{a，d}，又因为第一个抽出的字母有四种选择，每个字母都对应着三个基本事件，所以一共有4×3=12个基本事件，这种做法相当于运用了分步计数原理。笔者在教学时也采用了这种方法，有意思的是由于时间原因只在所任教的两个班中的一个讲解了该方法，但两个班的作业情况却大相径庭，讲解了该方法的班级的作业情况反而不如未讲解该方法的班级。在当天的作业：
例2.1 在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京。从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？
例2.2 A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）A站在边上；（2）A和B都站在边上；（3）A或B站在边上；（4）A和B都不在边上。
我在讲解了分步计数原理的班级中要求学生对第1题用列举法和分步计数原理两种方法解决，而第2题让他们自由选择方法解决。从作业的完成情况来看，第1题学生都能两种方法来解题，而且可以做对，但是在第2题的计算上学生们出现了分歧，一部分用了穷举法，另一部分用了分步计算原理，用穷举法的学生的准确率明显高于用分步计数原理的学生，在使用分步计数原理的同学中出现了各种错误，班上一位数学成绩较好的同学有如下做法：
设A站在边上为事件E，则
而正确的做法是
事后我问他为什么在分母多乘了2，他解释到分子中由于A可能站在左右两个位置中的某一个，所以乘了2，他认为分母也一样，在给四位同学排位时，从左向右和从右向左也都应该排一次，所以也要乘以2，很明显他对于这个本质上属于排列组合问题的方法掌握得并不透彻，而其它多数成绩不如他的同学对该方法的理解也可见一斑了。所以对于在古典概型中讲解分步计数原理的教学方式我个人持保留态度，学生基础非常好的班级或学校可以尝试，否则可能会适得其反，毕竟用穷举法在考试中拿分是比较稳妥的。
3.最容易出现的问题
从学生对本节知识的掌握，以及在作业情况来看，出错最多的就是基本事件在罗列时出现错、漏、重的现象，这是初学者很容易出现的问题，那么该如何解决呢？个人感觉是两个方面：
首先是对题目当中所涉及的事件是否了解，也就是知道不知道题目中的事件是做什么，怎么做，怎样才算结束。例如上面的例2.2中，事件就是要把“A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排”；怎么做呢？把他们一个个站上位置；怎么样才是做完了？四个人都站好了就结束这件事。就有同学在题目要求抽出两个元素的时候，他只抽出一个，题目的意思都没完全理解，结果自然也就不对，所以教会学生分析事件很重要。
尽管课本中只是薄薄的几页，但在古典概型的教学中，每一堂课，每一次批改作业，都有很多东西值得我们老师去反思和回味，甚至可以更进一步去探索和研究，而在这些反思、回味、探究的过程中我们自己也在慢慢成长。