一、模型
　　运动模型：如图所示，竖直放置的半径为R的圆环，PQ为该圆环竖直直径。
　　试证明：物体从P点沿任意光滑直杆自由滑到圆环上各点的时间相等，且等于沿竖直直径自由下滑的时间为2·■.
　　证明：如图所示，PA、PB、PC、PD为竖直圆环上过P点的任意弦，设任意弦PA与直径PQ夹角为θ，则物体沿光滑直杆PA下滑的加速度a=gcosθ，PA长为2Rcosθ，物体沿PA做初速度为零的匀加速直线运动，到达A点的时间为t，则有：
　　2R·cosθ=■g·cosθ·t2
　　故有：t=2·■（与θ角无关）
　　由上述分析可知，前面的结论成立。
　　二、应用距离
　　1.巧做选择题
　　例1.如图1-1所示，AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆，A、B、C三点恰位于同一个圆周上,C为该圆周的最低点,a、b为套在细杆上的两个小环上，当两环同时从A、B点自静止开始下滑，则:
　　A.环a将先到达点C
　　B.环b将先到达点C
　　C.环a，b将同时到达点C
　　D.由于两杆的倾角不知道，无法判断
　　分析与解：如图1-2所示，过竖直直径的上端点C′分别作AC，BC的平行线C′A′，C′B′。
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　　由上述模型可知：tC′A′=tC′B′
　　由对称性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC
　　故有：tAC=tBC，答案为C.
　　例2.如图2-1所示，通过空间任意一点A，可作无限多个斜面，如果将若干个小球在A点分别从静止沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻，这些小物体所在位置所构成的面是（）
　　A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定
　　分析与解：如图2-2所示，从A点沿斜面下滑的物体均做初速度为零的匀加速直线运动，依据上述模型，过A点作竖直线，取该直线上某点为球心，作过A点的球面，它与各斜面上物体运动轨迹有交点。由上述模型可知，物体从A点出发沿各斜面自由滑到各交点的时间相等，反之可说明各物体分别从静止沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，在同一时刻，这些小物体所在位置所构成的面应是球面，答案应为A.
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　　2.巧解实际问题
　　例3.一间新房即将建成要封顶时，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快淌离房顶，要设计好房顶的坡度。设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么，下图中所示的四种情况中符合要求的是（ ）
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　　分析与解：由题意知，房顶跨度一定，设为d，房顶坡度不同。设房檐边界点为P点，过P点作竖直线，取P点上方相距为d/2的点O，以O点圆心，以d/2为半径，作过P点的圆周，过房顶作竖直线EQ，与圆相切于C点，如图3示，A、B、C、D分别为坡度不同的房顶，根据上述模型可知，雨滴从坡度为45°的房顶滑下的时间最短。故应选答案C.
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　　3.巧算运动时间
　　例4.在离坡底P15m的山坡上竖直地固定一根长15m的直杆QO，Q端与坡底P之间连有一钢绳，一穿心于钢绳上的小球从Q点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，如图4-1所示，求其在钢绳上滑行的时间t。
　　分析与解：由题意知，OP=OQ=l=15m，且OQ竖直，以O为圆心，以为半径作圆周，则QP为该圆的一条弦，如图4-2所示，由上述模型有：小环从静止开始沿QP下滑的时间，等于小环从Q点沿竖直直径自由下落到E点的时间。
　　则有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）
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　　4.巧求最快路径
　　例5.如图5-1为某制药厂自动生产流水线的一部分装置示意图。传送带与水平面的夹角为α，O为漏斗，要使药片从漏斗中出来经光滑滑槽送到传送带上，设滑槽的摆放方向与竖直方向的夹角为φ，则φ为多大时可使药片滑到传送带上的时间最短？
　　A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α
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　　分析与解：如图5-2所示，OF为竖直线，过O点作传送带的垂线OQ，则∠QOF=α，再作∠QOF的角平线OP交传送带于P点，OP位置即为药片沿滑槽滑行时间最短的位置，故=α/2。答案应选C。
　　理由：再过P点作传送带的垂线PE交OF于E点，则PE=EO，以E点为圆心，以EO为半径作圆周，圆E与传送带恰好相切于P点。由图可知，圆E是所有圆心在竖直线OF上的与传送带相切或相交的圆中半径最小的圆，根据上述运动模型可知，滑槽沿OP方位放置，药片沿滑槽滑到传送带上的时间最短。