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小学数学涉及许多非常基本、非常重要的概念，是数学教学中的重要方面。概念教学是学生掌握数学知识、体会数学思想、形成正确数学观的重要载体。那么，在数学教学中，该如何进行概念的有效建构呢？笔者在进行二年级下册《倍的认识》一课的磨课中，作了一些探索与思考。
一、第一次教学：概念在模仿中机械建构
（教师出示2只鸡和8只鸭）
师：开心牧场里养了2只鸡和8只鸭。如果把2只鸡看作一份，那么鸭有这样的几份？
师：鸡有2只，看作一份（动画演示将2只鸡圈起来），鸭有4个2只（动画演示每2只鸭一圈，圈成4份），那么鸭的只数是鸡的4倍。
（揭题：倍的认识）
师：谁能像老师一样，说说鸡和鸭之间的倍数关系？（指名两名学生说，同桌互说，再分男生、女生说，最后全班学生说）
（教师出示2只鸡和12只鸭）
师：如果有12只鸭，那么鸭的只数是鸡的几倍？你能在作业纸上用刚才圈一圈的方法解决吗？（学生汇报）
（教师出示3只鸡和12只鸭）
师：如果增加1只鸡，现在鸭的只数是鸡的几倍？在作业纸上试试看。
几个环节进行得很顺利，学生用圈一圈的方法，都能正确地求出两个数量间的倍数关系，但是在练习环节，问题出现了。
题目是：
很多学生将4个白萝卜，每2个一圈，圈成了2个圈，对应的红萝卜也是2个一圈，圈成了6个圈，得出了红萝卜是白萝卜6倍的结论。
二、我的思考
学生为什么没有将4个白萝卜看成一份，而看成2份2个呢？课后，我对学生进行了调查。
问：“你为什么不把4个白萝卜看作一份，4个一圈，而把白萝卜2个2个地圈呢？”
学生反问道：“刚才2只鸡和8只鸭，还有2只鸡和12只鸭，不都是2只一圈吗？”
噢，原来学生没有真正地理解“倍”的含义，没有正确地建构起“倍”的概念。
接着我又问：“为什么3只鸡和12只鸭时，你没有2只一圈，却3只一圈呢？”
学生答：“我开始也是2只一圈的，但后来发现不可能，12只鸭是2只鸡的6倍，3只鸡了，不可能还是6倍。”学生的话引起了我的反思。
1.学生的认知障碍在哪里
教学前，我以为这个知识点很简单，学生通过圈圈画画、数数算算应该可以轻松地学会，没想到却出了大问题。学生在建构“倍”的概念时，认知障碍究竟在哪里？
通过学生的错误分析可以发现，学生主要对“倍”这一概念中的两个核心要素没有理解，即“一份数”和“总数”。只有找准了“一份数”，再看“总数”中有几个这样的“一份数”，就是这样的几倍。看来，要想清晰地建构“倍”的概念，要设计有针对性的练习，让学生找准“一份数”。
2.简单的模仿能正确形成概念吗
本节课的教学中，学生概念建构的主要手段是“模仿”，学生出现大面积的错误就不难理解了。
教师告诉学生“2只鸡和8只鸭”的倍数关系，并让学生用不同的方法反复记忆。在此基础上，让学生根据刚刚形成的肤浅认知，寻找“2只鸡和12只鸭”的倍数关系，学生便“依葫芦画飘”，画了6个圈。“3只鸡和12只鸭”的倍数，学生在“合理性的推测”中找到了倍数。但当学生独立解题时，没有形成对“倍”的正确理解，就只能机械地照搬刚才的错误经验，还把2只看作一份。
经过反思，我认识到：在教学中，我把概念的建构单纯地依赖于外部作用的反复刺激，让学生通过不断模仿来建构概念。事实上，学生对概念的理解都是个性化的，它是学生思维过程的产物。唯有针对学生的认知障碍，在不断对比中理解知识的本质，让学生经历概念的“精致”建构过程。
我找准了本节课中学生的认知难点——“一份数”和“总数”的关系，设计了不断对比、辨析的环节，让学生在不断对比中深刻建构起“倍”的概念。
三、第二次教学：概念在对比中精致建构
1.圈圈画画，在对比中初步建立“倍”的表象——“一份数”不变，“总数”变化
（教师出示2只鸡和8只鸭）
师：如果把2只鸡看作一份，圈一圈，那么8只鸭可以圈出这样的几份？
师总结：把2只鸡看作一份，鸭有4个2只，也就是这样的4份，所以鸭的只数是鸡的4倍。
（教师出示2只鸡和12只鸭）
师：鸭的只数是鸡的几倍？先估计一下，比刚才的4倍多？还是少？
（教师出示2只鸡和8只鸭、2只鸡和12只鸭的对比图）
师：同样是2只鸡，为什么第一题里鸭的只数是鸡的4倍？第二题里是鸡的6倍？
生：鸡有2只，看作一份，鸭有几个2只，就是鸡的几倍。
（教师出示2只鸡，鸭是9个2只）
师：如果鸭的只数是9个2只，那么鸭的只数是鸡的几倍？
2.错例辨析，在对比中突出“倍”的意义——“总数”不变，“一份数”变化
（教师出示3只鸡和12只鸭）
师：与上题相比，谁的只数变了？现在，鸭的只数是鸡的几倍？有两个小朋友也圈好了，你同意哪个小朋友的圈法？（学生都同意小明的圈法）
师反问：鸭不是有6个2只，不就是6倍吗？
生：鸡有3只，应该把3只鸡看作一份，鸭就3只3只地圈。
（教师出示4只鸡和12只鸭）
教师引导学生用计算的方法求鸭是鸡的几倍。
（教师出示前三题的对比图）
■
师：鸭的总数没变，都是12只，要求的问题没变，都是求鸭的只数是鸡的几倍。但为什么有的是6倍，有的是4倍，有的是3倍呢？ 生：鸡的只数虽然变了，但是不管怎么变，我们都是把它看作一份，鸭有这样的几份，就是几倍。
3.变式练习，在对比中深化“倍”的内涵——“总数”或“一份数”不确定
（教师摆出6个圆片）
师：有6个圆片，圆片的个数是三角的几倍？试试看。（生沉默后，发出抗议：这题不好解，不知道三角形的个数。不知道几个看作一份，就不好求圆片是三角形的几倍）
师：是呀，几个三角形看作一份，还不知道呢！那你觉得三角形可能是几个，你在圆片下试着摆出来，再算算，圆片的个数是三角形的几倍。
学生汇报，分别呈现结果，引导对比。
生1：摆了1个三角形，圆片的个数是三角形的6倍。
生2：摆了2个三角形，圆片的个数是三角形的3倍。
生3：摆了3个三角形，圆片的个数是三角形的2倍。
生4：摆了6个三角形，圆片的个数是三角形的1倍。
师指着最后一个答案：这种方法比较特殊，6个圆片和6个三角形，我们把6个三角形看作一份，圆片的个数是三角形的1倍。
师：如果我们把圆片看作一份，那么三角形的个数是圆片的几倍？
生：1倍。
把圆片看作一份，三角形的个数是圆片的倍数，你可以怎么摆呢？
改进后的教学设计取得了很好的教学效果。
第一个环节，“一份数”不变，“总数”不断变化，再引导学生对比，用语言及时提炼与反思自己的感知，“总数”里有几个这样的“一份数”，就是几倍。于是，有关“倍”的表象便初步形成。
第二个环节，教师提供两种不同的圈法，让学生辨析，帮助学生从对错误的反省中引起对知识更为深刻的正面思考：圈不是随意的，要根据一份数来圈，“倍”的内涵也就在这样的思辨中被强化。接着，教师又呈现了“总数”不变，“一份数”变化的情境，让学生在对比中理解，无论一份数怎样变，都是进行“总数”与“一份数”之间的比较，巩固了“倍”的数学模型。
第三个环节，创造了变式情境，让学生在困惑中感受“一份数”的重要性与关键性。在看似简单的操作中，学生对倍的认识展开了更为广泛的概括，获得更一般的理解。尽管这里的概括与理解是以内部语言悄悄地进行的，但学生已经深刻地体验到：这里的“倍”指的是每份数的几倍，每份数不一样，圈出的份数就不一样，倍数关系也随之变化，为下一节课学习过一个数的几倍是多少作出了有效铺垫。
四、我的再思考
数学概念是学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提。在概念教学中，教师要有效地引导学生初步形成数学概念，同化数学概念，以实现数学概念的有效建构。强化对比，促进学生对概念中每一个要素的认识，无疑是实现概念精致化建构的有效路径。
1.纵向对比，沟通概念的脉络
皮亚杰的认知发展理论认为：学生遇到新概念时，总是先用已有认识结构去同化。因此，学生已有的认知结构对新概念的学习起着非常重要的作用。教师要充分利用学生的已有知识和经验，促使学生展开有意义的学习。“倍”的认识是在学生掌握了“包含除”的基础上学习的，因此，教师课始让学生利用学习“包含除”时的认知经验进进圈圈画画，从而初步理解了8只鸭是2只鸡的几倍，实际上就是8里面有几个2。“包含除”与“倍”，在前概念与后概念的纵向对比中，沟通了两者的联系，初步建构起“倍”的概念。
2.横向对比，揭示概念的本质
抽象与概括是形成和掌握概念的前提。如果相关的概念始终停留在问题的具体情境中，未能帮助学生实现必要的抽象概括，那就不能认为学生已经较好地掌握了概念。所以，在教学中除了需要给学生提供适量的、具有代表性的、新颖有趣的实例外，更重要的是在抽象与概括中，引导学生通过对比，去除概念的非本质属性，发现共同属性，形成概念。本课的第二次教学设计中，让学生经历“一份数”不变“总数”变化、“总数”不变“一份数”变化的两次对比，虽然条件不停地变化，但是本质属性是一定的，“总数”除以“一份数”得到“倍数”。
3.多元对比，拓展概念的内涵
概念教学不是教“形式化的定义”，而要追求思维上的真理解。所以，应该利用各种方式对概念的内涵和外延做尽量详细的“深加工”。通过多元化的对比，让学生在不同的对比中逐步把握概念的深刻性，从而更清晰地理解概念。本节课的第一次教学中，由于未通过必要的对比，学生只停留在机械的模仿层次，导致未能真正理解概念。第二次教学中，教师在多次对比的基础上，设计了“摆三角形”的练习，让学生通过多元化的对比，拓展了学生对“倍”的理解，提升了本课的思维含量，发展了学生的思维水平。
一、第一次教学：概念在模仿中机械建构
（教师出示2只鸡和8只鸭）
师：开心牧场里养了2只鸡和8只鸭。如果把2只鸡看作一份，那么鸭有这样的几份？
师：鸡有2只，看作一份（动画演示将2只鸡圈起来），鸭有4个2只（动画演示每2只鸭一圈，圈成4份），那么鸭的只数是鸡的4倍。
（揭题：倍的认识）
师：谁能像老师一样，说说鸡和鸭之间的倍数关系？（指名两名学生说，同桌互说，再分男生、女生说，最后全班学生说）
（教师出示2只鸡和12只鸭）
师：如果有12只鸭，那么鸭的只数是鸡的几倍？你能在作业纸上用刚才圈一圈的方法解决吗？（学生汇报）
（教师出示3只鸡和12只鸭）
师：如果增加1只鸡，现在鸭的只数是鸡的几倍？在作业纸上试试看。
几个环节进行得很顺利，学生用圈一圈的方法，都能正确地求出两个数量间的倍数关系，但是在练习环节，问题出现了。
题目是：
很多学生将4个白萝卜，每2个一圈，圈成了2个圈，对应的红萝卜也是2个一圈，圈成了6个圈，得出了红萝卜是白萝卜6倍的结论。
二、我的思考
学生为什么没有将4个白萝卜看成一份，而看成2份2个呢？课后，我对学生进行了调查。
问：“你为什么不把4个白萝卜看作一份，4个一圈，而把白萝卜2个2个地圈呢？”
学生反问道：“刚才2只鸡和8只鸭，还有2只鸡和12只鸭，不都是2只一圈吗？”
噢，原来学生没有真正地理解“倍”的含义，没有正确地建构起“倍”的概念。
接着我又问：“为什么3只鸡和12只鸭时，你没有2只一圈，却3只一圈呢？”
学生答：“我开始也是2只一圈的，但后来发现不可能，12只鸭是2只鸡的6倍，3只鸡了，不可能还是6倍。”学生的话引起了我的反思。
1.学生的认知障碍在哪里
教学前，我以为这个知识点很简单，学生通过圈圈画画、数数算算应该可以轻松地学会，没想到却出了大问题。学生在建构“倍”的概念时，认知障碍究竟在哪里？
通过学生的错误分析可以发现，学生主要对“倍”这一概念中的两个核心要素没有理解，即“一份数”和“总数”。只有找准了“一份数”，再看“总数”中有几个这样的“一份数”，就是这样的几倍。看来，要想清晰地建构“倍”的概念，要设计有针对性的练习，让学生找准“一份数”。
2.简单的模仿能正确形成概念吗
本节课的教学中，学生概念建构的主要手段是“模仿”，学生出现大面积的错误就不难理解了。
教师告诉学生“2只鸡和8只鸭”的倍数关系，并让学生用不同的方法反复记忆。在此基础上，让学生根据刚刚形成的肤浅认知，寻找“2只鸡和12只鸭”的倍数关系，学生便“依葫芦画飘”，画了6个圈。“3只鸡和12只鸭”的倍数，学生在“合理性的推测”中找到了倍数。但当学生独立解题时，没有形成对“倍”的正确理解，就只能机械地照搬刚才的错误经验，还把2只看作一份。
经过反思，我认识到：在教学中，我把概念的建构单纯地依赖于外部作用的反复刺激，让学生通过不断模仿来建构概念。事实上，学生对概念的理解都是个性化的，它是学生思维过程的产物。唯有针对学生的认知障碍，在不断对比中理解知识的本质，让学生经历概念的“精致”建构过程。
我找准了本节课中学生的认知难点——“一份数”和“总数”的关系，设计了不断对比、辨析的环节，让学生在不断对比中深刻建构起“倍”的概念。
三、第二次教学：概念在对比中精致建构
1.圈圈画画，在对比中初步建立“倍”的表象——“一份数”不变，“总数”变化
（教师出示2只鸡和8只鸭）
师：如果把2只鸡看作一份，圈一圈，那么8只鸭可以圈出这样的几份？
师总结：把2只鸡看作一份，鸭有4个2只，也就是这样的4份，所以鸭的只数是鸡的4倍。
（教师出示2只鸡和12只鸭）
师：鸭的只数是鸡的几倍？先估计一下，比刚才的4倍多？还是少？
（教师出示2只鸡和8只鸭、2只鸡和12只鸭的对比图）
师：同样是2只鸡，为什么第一题里鸭的只数是鸡的4倍？第二题里是鸡的6倍？
生：鸡有2只，看作一份，鸭有几个2只，就是鸡的几倍。
（教师出示2只鸡，鸭是9个2只）
师：如果鸭的只数是9个2只，那么鸭的只数是鸡的几倍？
2.错例辨析，在对比中突出“倍”的意义——“总数”不变，“一份数”变化
（教师出示3只鸡和12只鸭）
师：与上题相比，谁的只数变了？现在，鸭的只数是鸡的几倍？有两个小朋友也圈好了，你同意哪个小朋友的圈法？（学生都同意小明的圈法）
师反问：鸭不是有6个2只，不就是6倍吗？
生：鸡有3只，应该把3只鸡看作一份，鸭就3只3只地圈。
（教师出示4只鸡和12只鸭）
教师引导学生用计算的方法求鸭是鸡的几倍。
（教师出示前三题的对比图）
■
师：鸭的总数没变，都是12只，要求的问题没变，都是求鸭的只数是鸡的几倍。但为什么有的是6倍，有的是4倍，有的是3倍呢？ 生：鸡的只数虽然变了，但是不管怎么变，我们都是把它看作一份，鸭有这样的几份，就是几倍。
3.变式练习，在对比中深化“倍”的内涵——“总数”或“一份数”不确定
（教师摆出6个圆片）
师：有6个圆片，圆片的个数是三角的几倍？试试看。（生沉默后，发出抗议：这题不好解，不知道三角形的个数。不知道几个看作一份，就不好求圆片是三角形的几倍）
师：是呀，几个三角形看作一份，还不知道呢！那你觉得三角形可能是几个，你在圆片下试着摆出来，再算算，圆片的个数是三角形的几倍。
学生汇报，分别呈现结果，引导对比。
生1：摆了1个三角形，圆片的个数是三角形的6倍。
生2：摆了2个三角形，圆片的个数是三角形的3倍。
生3：摆了3个三角形，圆片的个数是三角形的2倍。
生4：摆了6个三角形，圆片的个数是三角形的1倍。
师指着最后一个答案：这种方法比较特殊，6个圆片和6个三角形，我们把6个三角形看作一份，圆片的个数是三角形的1倍。
师：如果我们把圆片看作一份，那么三角形的个数是圆片的几倍？
生：1倍。
把圆片看作一份，三角形的个数是圆片的倍数，你可以怎么摆呢？
改进后的教学设计取得了很好的教学效果。
第一个环节，“一份数”不变，“总数”不断变化，再引导学生对比，用语言及时提炼与反思自己的感知，“总数”里有几个这样的“一份数”，就是几倍。于是，有关“倍”的表象便初步形成。
第二个环节，教师提供两种不同的圈法，让学生辨析，帮助学生从对错误的反省中引起对知识更为深刻的正面思考：圈不是随意的，要根据一份数来圈，“倍”的内涵也就在这样的思辨中被强化。接着，教师又呈现了“总数”不变，“一份数”变化的情境，让学生在对比中理解，无论一份数怎样变，都是进行“总数”与“一份数”之间的比较，巩固了“倍”的数学模型。
第三个环节，创造了变式情境，让学生在困惑中感受“一份数”的重要性与关键性。在看似简单的操作中，学生对倍的认识展开了更为广泛的概括，获得更一般的理解。尽管这里的概括与理解是以内部语言悄悄地进行的，但学生已经深刻地体验到：这里的“倍”指的是每份数的几倍，每份数不一样，圈出的份数就不一样，倍数关系也随之变化，为下一节课学习过一个数的几倍是多少作出了有效铺垫。
四、我的再思考
数学概念是学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提。在概念教学中，教师要有效地引导学生初步形成数学概念，同化数学概念，以实现数学概念的有效建构。强化对比，促进学生对概念中每一个要素的认识，无疑是实现概念精致化建构的有效路径。
1.纵向对比，沟通概念的脉络
皮亚杰的认知发展理论认为：学生遇到新概念时，总是先用已有认识结构去同化。因此，学生已有的认知结构对新概念的学习起着非常重要的作用。教师要充分利用学生的已有知识和经验，促使学生展开有意义的学习。“倍”的认识是在学生掌握了“包含除”的基础上学习的，因此，教师课始让学生利用学习“包含除”时的认知经验进进圈圈画画，从而初步理解了8只鸭是2只鸡的几倍，实际上就是8里面有几个2。“包含除”与“倍”，在前概念与后概念的纵向对比中，沟通了两者的联系，初步建构起“倍”的概念。
2.横向对比，揭示概念的本质
抽象与概括是形成和掌握概念的前提。如果相关的概念始终停留在问题的具体情境中，未能帮助学生实现必要的抽象概括，那就不能认为学生已经较好地掌握了概念。所以，在教学中除了需要给学生提供适量的、具有代表性的、新颖有趣的实例外，更重要的是在抽象与概括中，引导学生通过对比，去除概念的非本质属性，发现共同属性，形成概念。本课的第二次教学设计中，让学生经历“一份数”不变“总数”变化、“总数”不变“一份数”变化的两次对比，虽然条件不停地变化，但是本质属性是一定的，“总数”除以“一份数”得到“倍数”。
3.多元对比，拓展概念的内涵
概念教学不是教“形式化的定义”，而要追求思维上的真理解。所以，应该利用各种方式对概念的内涵和外延做尽量详细的“深加工”。通过多元化的对比，让学生在不同的对比中逐步把握概念的深刻性，从而更清晰地理解概念。本节课的第一次教学中，由于未通过必要的对比，学生只停留在机械的模仿层次，导致未能真正理解概念。第二次教学中，教师在多次对比的基础上，设计了“摆三角形”的练习，让学生通过多元化的对比，拓展了学生对“倍”的理解，提升了本课的思维含量，发展了学生的思维水平。