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【摘 要】教材旁白是教材的重要组成部分。文章通过跨地区多角度研读教材旁白、基于学情的教材旁白二次开发方案进行研究，并从数学本质与课标要求、学生学习起点与认知水平、教师对知识的理解与教学三个维度进行分析，在整个开发过程中遵循以生为本的理念，并寻求最适合学生学情的旁白，这样的开发过程使得学生的兴趣、需要、经验、能力得到了提升，不仅有利于培养学生的主体意识，而且改变了学生的学习方式，有利于培养学生的创新意识和研究能力。
【关键词】教材旁白;二次开发;合作研讨;师生研讨
【作者简介】曹军，一级教师，新青年数学教师工作室骨干成员，主要研究方向为高中数学教学。
根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称课标）编写的苏教版高中数学新教材精心设计了教材的呈现形式，改进了栏目设置、图文搭配、版面设计等方面，用学生喜闻乐见的形式呈现教材内容，增强他们对教材的亲近感和认同感。教材的正文空白部分常以插语形式对正文内容加以批注，我们称之为旁白，旁白是教材的重要组成部分，是正文的补充、延伸、支撑和传承，也是对正文内容的剖析、渲染和烘托。
众所周知，教师要科学认识数学的科学形态与教育形态之间的关系。数学家的认知能力与学生的认知能力是不同的，需要将数学家的认知过程转换成学生可以接受的課堂教学认知过程[1]。教材只是承载知识的半成品，需要教师在课堂上再发挥。知识本身也是一种载体，它承载着某种思想，教师在课堂上的任务是通过书本知识，引导学生发现隐藏在教材和知识背后的深刻思想。因此，我们需要对教材的旁白进行二次开发，在这个过程中要以教材为依托，从学生的认知规律出发，对既定的旁白进行补充、删减、调整与加工，使得课堂教学成为既尊重教材又不断超越教材的一种无限动态师生交流的过程，从而有利于学生对知识的理解和数学思维的发展，以取得更好的教学效果。笔者以苏教版高中数学新教材必修第一册的第五章第一节“函数的概念和图象”[2]的旁白开发为例进行研究。
一、教材旁白二次开发的过程研究
在教材旁白二次开发过程中，教师应考虑三个维度，即以发展学生的数学学科核心素养为目标，在“数学本质与课标要求”“学生学习起点与认知水平”“教师对知识的理解与教学”三个维度上给予学生充分的关注（如图1）。这三个维度相辅相成，缺一不可。
图2是第五章习题5.1第8题和第9题的旁白，为便于大家理解，笔者将两题摘录如下。
显然，图2是教材对复合函数的一种特殊批注。课标要求对于“函数概念与性质”的学习，教师要帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。因此对于复合函数，其源头还应从函数的“对应”谈起，关键还要如何解释这种“对应”。
（一）跨区域多角度研读教材旁白
1.研读方案
为了科学认识教材旁白，避免个人闭门造车的现象，我们成立了跨区域的研究小组，借鉴优秀教学经验、教学启发等，通过网络进行合作研究，即五个研究小组共同研读给定的教材旁白，结合学生学习的起点与认知水平，确定是否需要二次开发（如图3）。
2.研读结果
表2是五个研究小组对图2旁白的理解和认知情况。
（1）南京和无锡研究小组认为：第8题是特殊值下的复合函数y=f（f（x））、y=f（g（x））、y=g（f（x））和y=g（g（x））的求值问题。第9题是一般情况下的复合函数y=f（g（x））和y=g（f（x））的解析式问题，教材按照从特殊到一般的研究方法，符合学生的认知习惯，
旁白直观地向学生展示了y=g（f（x））的具体含义。此旁白很好地反映了复合函数的“输入”“输出”功能，与函数概念的批注（如图4）相呼应，两图相辅相成。因此，教材的这种传承作用和螺旋上升的设计理念是恰到好处的，建议不需要二次开发。
（2）徐州、南通、泰州研究小组认为：对于数学概念的呈现，并非越严密、越精确，就越有助于学生掌握其本质，还必须考虑到学生的接受程度。特别是对于抽象程度较高的数学概念，学生接受起来比较困难，这时为了更好地帮助学生掌握概念的本质，需要适度淡化概念的形式定义，以便学生更好地理解概念的内涵。这是高中学生第一次接触复合函数，如果处理不当，就会影响学生的后续学习。根据以往的教学经验，学生一般容易有以下四个疑惑点：①把图2理解成两个函数的对应法则，分上下两部分（上部分是对应法则f，下部分是对应法则g）;②学生对g（x）和g（f（x））中的两个x的不同含义不理解;③学生对“g（x）中的x与g（f（x））中的g（x）的范围一致”认知上存在障碍;④部分学生对有解析式的函数的定义域能够理解，而对复合函数的定义域理解不清。因此，旁白在二次开发的过程中，既要考虑学生的思维状况，也要避免可能发生的误解。基于以上原因，这些研究小组认为需要二次开发旁白。
3.旁白二次开发方案的初步形成
经过再次深入研讨，综合各个研究小组的建议，最后大家达成共识：旁白需要二次开发，且二次开发后的旁白应尽可能满足以下基本原则。
①突出本章的核心知识——函数，函数的本质是两个变量之间的相互依赖关系，旁白要体现这种依赖关系（对应关系），且这个原则不能改变。同时，在形式上要体现复合函数对应法则的“输入”“输出”功能。
②需要适度淡化概念的形式定义，搭好“三脚架”，为学生铺设合理、有效的数学认知台阶，使学生更好地理解概念的内涵。
③对于核心的数学概念和重要的数学思想方法，让学生有螺旋上升的反复接触的机会，图2与图4的传承作用不能改变。
④旁白是教材编者对第8题和第9题的批注，旁白既要考虑学生对概念的理解，也要综合考虑对第8题、第9题的解题作用。
⑤旁白的二次开发需要考虑学生的认知规律、思维状况和行为习惯。 鉴于以上基本原则，研究小组最终确定三个旁白的二次开发方案（见表3），并给出每一种方案所能满足的基本原则。
方案1主要考虑的因素是从第8题f（f（1））一开始就给出的相应的说明，通过f（f（1））的具体含义从而进一步推广到一般的情况，这样的改变不仅直观，而且还适当淡化了概念的形式定义，同时又能直指它的本质（对应）;方案2和方案3之所以加矩形虚线框，是因为在学习函数概念时，我们曾把函数对应法则比喻成一台加工机，制造什么样的因变量，取决于加工机的内部构造和输进加工机的自变量。函数y=g（f（x））的对应法则仍可视为一个加工机，只是“内部构造”稍微麻烦一些，输入自变量x，在加工机“内部”按照一定顺序进行加工：先进行f再进行g的运算，最终输出y=g（f（x））。添加矩形虚线框其实就是向学生明确表示矩形虚线框内是一个整体，希望学生能够从整体上认识y=g（f（x））是关于x的函数，“内部构造”是“先f后g”的运行规则。因为这个矩形框是辅助功能，所以矩形框应选择虚线，而不是实线。
（二）基于学情的教材旁白二次开发方案
旁白的二次开发要以生为本，需要考虑学生的认知规律、思维状况和行为习惯。我们一般的做法是把教材原方案和二次开发方案均展示给学生，让学生分组讨论各种方案的可行性，让学生在讨论中完成对新知的学习和探索，同时在这个过程中还需反思有没有比上述方案更合适的，让学生在甄选中促进对数学的理解。
另外，教师和学生的成长环境、身心发展的不同，使得教师和学生的认知、情感等方面存在差异。例如有部分学生认为方案1不合适，他们觉得f（f（1））虽然好理解，但是此方案中有两个“f”，不易于数学文字语言的表达，用f（g（1））中的符号“f”和“g”来表达更加符合实际，更容易清晰地叙述“f”和“g”的先后顺序。对于方案2和方案3学生也有不同的见解：方案2和方案3的本质是一样的，但是方案3较教材原方案修改幅度较大，完全改变了原有旁白的形式，有点突兀，违背了教材的编写意图，因此不太合适。由以上分析可以看出，学生不仅理解了数学本质，还从不同的角度对不同的方案加以比较，选出他们认为的合理的方案。
通过师生的互动交流，学生认可了方案2的合理性，并最终确认方案2是最合适的。在教学中，教学的最终落脚点在于学生，教材旁白二次开发的方案不能仅停留在教师层面和理论层面，还要经过学生的检验，看是否真的符合学生的心理特点、认知基础、生活经验等。
二、教材旁白二次开发的启示
（一）旁白的二次开发要以生为本
苏霍姆林斯基说过，在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。因此，在教材旁白的二次开发过程中，教师要充分调动学生的积极性，启发、引导学生自主探索、合作交流，让学生参与和体验数学发现和创造的过程。图5是教材旁白二次开发的一般流程图，流程图分成两条路线：第一条线是教师活动路线，教师需要在课前研读旁白的背景、理解数学本质、把握课标要求、知晓学生学习起点和认知水平，要真正弄清“为什么研究？怎样研究？为什么这样研究？”等问题，提前制订旁白二次开发的方案，供师生在课堂上进行旁白的再创造;第二条线是学生活动路线，课堂上，学生在理解所学数学知识，并深刻體会旁白的功能与价值的前提下，研讨各种二次开发的可能性和适应性。只有这样，旁白的二次开发才能兼顾学生的认知规律、思维状况和行为习惯的同时，激发学生认识的能动性，才能更好地发挥学生思维活动的积极性和独创精神，真正达成教与学的深度融合。
（二）没有最好的旁白，只有最合适的旁白
每一门学科从产生到发展，直至最终完善都是一个从发现问题，提出问题，分析问题到解决问题的过程，数学学科也不例外。希尔伯特曾说过：“一门学科如果能不断提出问题，那它就永远充满活力。”众所周知，教材是数学知识的载体，是教师向学生系统传授知识，进行教学活动的主要依据。但是教材再好，也不可能完全适合每个学校、每个班级、每个学生。因此，在使用教材时，需要师生认真研究教材，对教材进行适度的二次开发，在师生交流互动中不断完善，提出新的问题。当然，教师首先应树立正确的教材观，对教材既做到尊重，又做到超越;其次教师在潜心研究教材，真正理解教材的基础上根据学情，站在学生的角度思考教材、挖掘教材，对涉及的旁白进行适度加工，使旁白的二次开发更符合学生的认知规律和客观实际需求。因此，从适应性这个角度来说，没有最好的旁白，只有最适合学生学情的旁白。如上文，换一个班级进行教学，学生会不会选择方案1或者方案3，又或者选择教材原方案，甚至还会提出另外一个新方案，这个谁也没有定论。其实，有没有定论不重要，重要的是通过这样的教学方式使得数学活动变得丰富多彩、方法灵活多样，学生的兴趣、经验和能力得到大幅提升，不仅有利于培养学生的主体意识，而且改变了学生的学习方式，真正做到了创造性地学习数学，培养学生的创新意识和研究能力。
因此，在教学中，教师要科学地开发教材，善于挖掘教材之外的教学资源;在科学开发教材的过程中要始终聚焦“数学本质与课标要求”“学生学习起点与认知水平”“教师对知识的理解与教学”三个维度，使开发的内容更好地满足学生学习和教师教学的需要，增强学生对教材的亲近感和认同感。
参考文献：
[1]曹广福.数学课程标准、教材与课堂教学浅议[J].课程·教材·教法，2016（4）：12-16.
[2]单墫，李善良.普通高中教科书·数学（必修第一册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】教材旁白;二次开发;合作研讨;师生研讨
【作者简介】曹军，一级教师，新青年数学教师工作室骨干成员，主要研究方向为高中数学教学。
根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称课标）编写的苏教版高中数学新教材精心设计了教材的呈现形式，改进了栏目设置、图文搭配、版面设计等方面，用学生喜闻乐见的形式呈现教材内容，增强他们对教材的亲近感和认同感。教材的正文空白部分常以插语形式对正文内容加以批注，我们称之为旁白，旁白是教材的重要组成部分，是正文的补充、延伸、支撑和传承，也是对正文内容的剖析、渲染和烘托。
众所周知，教师要科学认识数学的科学形态与教育形态之间的关系。数学家的认知能力与学生的认知能力是不同的，需要将数学家的认知过程转换成学生可以接受的課堂教学认知过程[1]。教材只是承载知识的半成品，需要教师在课堂上再发挥。知识本身也是一种载体，它承载着某种思想，教师在课堂上的任务是通过书本知识，引导学生发现隐藏在教材和知识背后的深刻思想。因此，我们需要对教材的旁白进行二次开发，在这个过程中要以教材为依托，从学生的认知规律出发，对既定的旁白进行补充、删减、调整与加工，使得课堂教学成为既尊重教材又不断超越教材的一种无限动态师生交流的过程，从而有利于学生对知识的理解和数学思维的发展，以取得更好的教学效果。笔者以苏教版高中数学新教材必修第一册的第五章第一节“函数的概念和图象”[2]的旁白开发为例进行研究。
一、教材旁白二次开发的过程研究
在教材旁白二次开发过程中，教师应考虑三个维度，即以发展学生的数学学科核心素养为目标，在“数学本质与课标要求”“学生学习起点与认知水平”“教师对知识的理解与教学”三个维度上给予学生充分的关注（如图1）。这三个维度相辅相成，缺一不可。
图2是第五章习题5.1第8题和第9题的旁白，为便于大家理解，笔者将两题摘录如下。
显然，图2是教材对复合函数的一种特殊批注。课标要求对于“函数概念与性质”的学习，教师要帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。因此对于复合函数，其源头还应从函数的“对应”谈起，关键还要如何解释这种“对应”。
（一）跨区域多角度研读教材旁白
1.研读方案
为了科学认识教材旁白，避免个人闭门造车的现象，我们成立了跨区域的研究小组，借鉴优秀教学经验、教学启发等，通过网络进行合作研究，即五个研究小组共同研读给定的教材旁白，结合学生学习的起点与认知水平，确定是否需要二次开发（如图3）。
2.研读结果
表2是五个研究小组对图2旁白的理解和认知情况。
（1）南京和无锡研究小组认为：第8题是特殊值下的复合函数y=f（f（x））、y=f（g（x））、y=g（f（x））和y=g（g（x））的求值问题。第9题是一般情况下的复合函数y=f（g（x））和y=g（f（x））的解析式问题，教材按照从特殊到一般的研究方法，符合学生的认知习惯，
旁白直观地向学生展示了y=g（f（x））的具体含义。此旁白很好地反映了复合函数的“输入”“输出”功能，与函数概念的批注（如图4）相呼应，两图相辅相成。因此，教材的这种传承作用和螺旋上升的设计理念是恰到好处的，建议不需要二次开发。
（2）徐州、南通、泰州研究小组认为：对于数学概念的呈现，并非越严密、越精确，就越有助于学生掌握其本质，还必须考虑到学生的接受程度。特别是对于抽象程度较高的数学概念，学生接受起来比较困难，这时为了更好地帮助学生掌握概念的本质，需要适度淡化概念的形式定义，以便学生更好地理解概念的内涵。这是高中学生第一次接触复合函数，如果处理不当，就会影响学生的后续学习。根据以往的教学经验，学生一般容易有以下四个疑惑点：①把图2理解成两个函数的对应法则，分上下两部分（上部分是对应法则f，下部分是对应法则g）;②学生对g（x）和g（f（x））中的两个x的不同含义不理解;③学生对“g（x）中的x与g（f（x））中的g（x）的范围一致”认知上存在障碍;④部分学生对有解析式的函数的定义域能够理解，而对复合函数的定义域理解不清。因此，旁白在二次开发的过程中，既要考虑学生的思维状况，也要避免可能发生的误解。基于以上原因，这些研究小组认为需要二次开发旁白。
3.旁白二次开发方案的初步形成
经过再次深入研讨，综合各个研究小组的建议，最后大家达成共识：旁白需要二次开发，且二次开发后的旁白应尽可能满足以下基本原则。
①突出本章的核心知识——函数，函数的本质是两个变量之间的相互依赖关系，旁白要体现这种依赖关系（对应关系），且这个原则不能改变。同时，在形式上要体现复合函数对应法则的“输入”“输出”功能。
②需要适度淡化概念的形式定义，搭好“三脚架”，为学生铺设合理、有效的数学认知台阶，使学生更好地理解概念的内涵。
③对于核心的数学概念和重要的数学思想方法，让学生有螺旋上升的反复接触的机会，图2与图4的传承作用不能改变。
④旁白是教材编者对第8题和第9题的批注，旁白既要考虑学生对概念的理解，也要综合考虑对第8题、第9题的解题作用。
⑤旁白的二次开发需要考虑学生的认知规律、思维状况和行为习惯。 鉴于以上基本原则，研究小组最终确定三个旁白的二次开发方案（见表3），并给出每一种方案所能满足的基本原则。
方案1主要考虑的因素是从第8题f（f（1））一开始就给出的相应的说明，通过f（f（1））的具体含义从而进一步推广到一般的情况，这样的改变不仅直观，而且还适当淡化了概念的形式定义，同时又能直指它的本质（对应）;方案2和方案3之所以加矩形虚线框，是因为在学习函数概念时，我们曾把函数对应法则比喻成一台加工机，制造什么样的因变量，取决于加工机的内部构造和输进加工机的自变量。函数y=g（f（x））的对应法则仍可视为一个加工机，只是“内部构造”稍微麻烦一些，输入自变量x，在加工机“内部”按照一定顺序进行加工：先进行f再进行g的运算，最终输出y=g（f（x））。添加矩形虚线框其实就是向学生明确表示矩形虚线框内是一个整体，希望学生能够从整体上认识y=g（f（x））是关于x的函数，“内部构造”是“先f后g”的运行规则。因为这个矩形框是辅助功能，所以矩形框应选择虚线，而不是实线。
（二）基于学情的教材旁白二次开发方案
旁白的二次开发要以生为本，需要考虑学生的认知规律、思维状况和行为习惯。我们一般的做法是把教材原方案和二次开发方案均展示给学生，让学生分组讨论各种方案的可行性，让学生在讨论中完成对新知的学习和探索，同时在这个过程中还需反思有没有比上述方案更合适的，让学生在甄选中促进对数学的理解。
另外，教师和学生的成长环境、身心发展的不同，使得教师和学生的认知、情感等方面存在差异。例如有部分学生认为方案1不合适，他们觉得f（f（1））虽然好理解，但是此方案中有两个“f”，不易于数学文字语言的表达，用f（g（1））中的符号“f”和“g”来表达更加符合实际，更容易清晰地叙述“f”和“g”的先后顺序。对于方案2和方案3学生也有不同的见解：方案2和方案3的本质是一样的，但是方案3较教材原方案修改幅度较大，完全改变了原有旁白的形式，有点突兀，违背了教材的编写意图，因此不太合适。由以上分析可以看出，学生不仅理解了数学本质，还从不同的角度对不同的方案加以比较，选出他们认为的合理的方案。
通过师生的互动交流，学生认可了方案2的合理性，并最终确认方案2是最合适的。在教学中，教学的最终落脚点在于学生，教材旁白二次开发的方案不能仅停留在教师层面和理论层面，还要经过学生的检验，看是否真的符合学生的心理特点、认知基础、生活经验等。
二、教材旁白二次开发的启示
（一）旁白的二次开发要以生为本
苏霍姆林斯基说过，在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。因此，在教材旁白的二次开发过程中，教师要充分调动学生的积极性，启发、引导学生自主探索、合作交流，让学生参与和体验数学发现和创造的过程。图5是教材旁白二次开发的一般流程图，流程图分成两条路线：第一条线是教师活动路线，教师需要在课前研读旁白的背景、理解数学本质、把握课标要求、知晓学生学习起点和认知水平，要真正弄清“为什么研究？怎样研究？为什么这样研究？”等问题，提前制订旁白二次开发的方案，供师生在课堂上进行旁白的再创造;第二条线是学生活动路线，课堂上，学生在理解所学数学知识，并深刻體会旁白的功能与价值的前提下，研讨各种二次开发的可能性和适应性。只有这样，旁白的二次开发才能兼顾学生的认知规律、思维状况和行为习惯的同时，激发学生认识的能动性，才能更好地发挥学生思维活动的积极性和独创精神，真正达成教与学的深度融合。
（二）没有最好的旁白，只有最合适的旁白
每一门学科从产生到发展，直至最终完善都是一个从发现问题，提出问题，分析问题到解决问题的过程，数学学科也不例外。希尔伯特曾说过：“一门学科如果能不断提出问题，那它就永远充满活力。”众所周知，教材是数学知识的载体，是教师向学生系统传授知识，进行教学活动的主要依据。但是教材再好，也不可能完全适合每个学校、每个班级、每个学生。因此，在使用教材时，需要师生认真研究教材，对教材进行适度的二次开发，在师生交流互动中不断完善，提出新的问题。当然，教师首先应树立正确的教材观，对教材既做到尊重，又做到超越;其次教师在潜心研究教材，真正理解教材的基础上根据学情，站在学生的角度思考教材、挖掘教材，对涉及的旁白进行适度加工，使旁白的二次开发更符合学生的认知规律和客观实际需求。因此，从适应性这个角度来说，没有最好的旁白，只有最适合学生学情的旁白。如上文，换一个班级进行教学，学生会不会选择方案1或者方案3，又或者选择教材原方案，甚至还会提出另外一个新方案，这个谁也没有定论。其实，有没有定论不重要，重要的是通过这样的教学方式使得数学活动变得丰富多彩、方法灵活多样，学生的兴趣、经验和能力得到大幅提升，不仅有利于培养学生的主体意识，而且改变了学生的学习方式，真正做到了创造性地学习数学，培养学生的创新意识和研究能力。
因此，在教学中，教师要科学地开发教材，善于挖掘教材之外的教学资源;在科学开发教材的过程中要始终聚焦“数学本质与课标要求”“学生学习起点与认知水平”“教师对知识的理解与教学”三个维度，使开发的内容更好地满足学生学习和教师教学的需要，增强学生对教材的亲近感和认同感。
参考文献：
[1]曹广福.数学课程标准、教材与课堂教学浅议[J].课程·教材·教法，2016（4）：12-16.
[2]单墫，李善良.普通高中教科书·数学（必修第一册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.
（责任编辑：陆顺演）