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我在解答数学题时，发现有一类题目，解题时往往要考虑很多变量，而某些变量只作为解题的纽带，也即并不是每一个量都要求出最后结果，找准这样的量，我们的解题将事半功倍。这种题目对于很多同学来说，有点“丈二和尚——摸不着头脑”的感觉，总是觉得无从下手。下面通过几个例题和大家分享一下我在学习过程中总结归纳的一些认识与心得，希望能帮助到大家更好地解答这类试题。
一、“设而不求”与“既设又求”的对比
例1已知双曲线x2-y23=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，求直线AB的斜率。
解法一（巧用变量——设而不求）：设A（x1，y1），B（x2，y2），把A、B两点代入双曲线方程3x2-y2=3，得3x21-y21=3，3x22-y22=3，将两式相减得直线AB的斜率：
kAB=y1-y2x1-x2=3（x1+x2）y1+y2=3×x1+x22y1+y22=3×21=6。
所以直线AB的方程为6x-y-11=0。
解法二（一般解法——既设又求）：设直线AB的方程为y-1=kABx-2，即y=kABx-2kAB+1。
于是可得方程组y=kABx-2kAB+1①，3x2-y2=3②，把①式代入②式消去y整理可得：3-k2ABx2+2kAB2kAB-1x-2kAB-12-3=0。
設Δ=42k2AB-12+4（3-k2AB）[（2kAB-1）2+3]，由一元二次方程的求根公式可得：
x1=2kAB-4k2AB-Δ23-k2AB，x2=2kAB-4k2AB+Δ23-k2AB。
因为点P（2，1）为直线AB的中点，
所以2=x1+x22=2k2AB-kABk2AB-3，即2k2AB-6=2k2AB-kAB，解得kAB=6。
所以直线AB的方程为6x-y-11=0。
我的认识：该题的解法一运用的就是“设而不求”的解题手段，我们看到这一解题手段的“精彩”之处在于仅仅是借助于设出的A（x1，y1），B（x2，y2）两点作为解题的工具，而不需要解出A、B两点即可达到解题的目的，大大简化了解题的步骤。而解法二就是遵循了一般的解题思路：既设出了A、B两点，又解出了A、B两点的x1与x2。非常明显，解法二无论是运算量还是运算步骤，都远比解法一大且复杂，所以我们应学会运用解法一这一解题方法，以提高我们的解题效率。下面再举一个运用“设而不求”解决圆锥曲线问题的例子。
二、“设而不求”——通过运用斜率公式及韦达定理求得椭圆的方程
例2已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB的中点，且|AB|=22，OC的斜率是22，求椭圆的方程。
解析：设椭圆方程是px2+qy2=1（p>0，q>0）（这种设法避免了讨论焦点位置），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程px21+qy21=1，px22+qy22=1，两式作差并整理得（y1-y2）（y1+y2）（x1-x2）（x1+x2）=-pq。
又因为kAB=y1-y2x1-x2=-1，kOC=y1+y2x1+x2=22，所以pq=22。
又由弦长公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+12|x1-x2|=22，把直线方程x+y=1代入椭圆方程px2+qy2=1，得（p+q）x2-2qx+q-1=0。
由一元二次方程根与系数的关系及|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2，得：
p2+q2-3pq-p-q=0。
再把pq=22代入p2+q2-3pq-p-q=0，即解得p=13，q=23。
所以所求椭圆方程为x23+2y23=1。
我的认识：这道题的解答同样一开始设出了椭圆上的A、B两点：A（x1，y1），B（x2，y2），但是，从解答的过程中我们可以看到设出两点A（x1，y1），B（x2，y2）的目的在于表示直线AB与OC的斜率。接下来运用韦达定理结合题设告诉的条件|AB|=22，获得p与q的关系式。但是，整个解题过程都没有解出A、B两点，并且从整个过程来看运算量不大解题思路也不复杂，这一过程就是标准的“设而不求”的解题过程，其解题功效是显而易见的。
三、高考题中看“设而不求”的运用
例3（2011年江西卷第20题）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的一点，M，N分别是双曲线E的左、右定点，直线PM，PN的斜率之积为15。
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足OC=λOA+OB，求λ的值。
解析：（1）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，Px0，y0在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左、右定点，所以M-a，0，Na，0，直线PM，PN的斜率之积为
KPM·KPN=y0x0+a·y0x0-a=y20x20-a2=15x20a2-5y20a2=1。
而x20a2-y20b2=1，比较得b2=15a2c2=a2+b2=65a2e=ca=305。
（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c交双曲线E于A，B两点，则不妨设Ax1，y1，Bx2，y2。又OC=λOA+OB=λx1+x2，λy1+y2，点C在双曲线E上：
λx1+x22-5λy1+y22=a2
λ2x21-5y21+2λx1x2-10λy1y2+x22-5y22=a2①
又联立直线L和双曲线E方程消去y得：4x2-10cx+5c2+a2=0。
由韦达定理得：x1x2=5c2+a24，y1y2=x1x2-cx1+x2+c2=5c2+a24-5c22+c2。代入①式得：λ2a2+72λa2-712λa2+a2=a2λ=0，或λ=-4。
我的认识：该题的（1）（2）问的解答都用到了“设而不求”的解答方法。其中（1）中运用了题设条件中已经设好了的双曲线上的一点Px0，y0，通过点Px0，y0构造了直线PM，PN的斜率，再利用直线PM，PN的斜率之积为15这一条件获得了a与b的关系式，进而得到双曲线的离心率。（2）中设了A（x1，y1），Bx2，y2，“设而不求”的运用在于通过设出的两点Ax1，y1，Bx2，y2，能够用上韦达定理结合向量方程获得λ的方程，从而解出λ的值。该题两问的解答中对所设出的点P（x0，y0），Ax1，y1及Bx2，y2都没有解出，仅仅是对其加以利用，起了一个“跳板”的作用。于是我们可以对“设而不求”这一数学思想冠以解题中的“跳板高手”的美名。同时，可以说该题就是“设而不求”思想在高考题中最好的体现。
作者单位：山东省肥城市第一高级中学2014级22班
一、“设而不求”与“既设又求”的对比
例1已知双曲线x2-y23=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，求直线AB的斜率。
解法一（巧用变量——设而不求）：设A（x1，y1），B（x2，y2），把A、B两点代入双曲线方程3x2-y2=3，得3x21-y21=3，3x22-y22=3，将两式相减得直线AB的斜率：
kAB=y1-y2x1-x2=3（x1+x2）y1+y2=3×x1+x22y1+y22=3×21=6。
所以直线AB的方程为6x-y-11=0。
解法二（一般解法——既设又求）：设直线AB的方程为y-1=kABx-2，即y=kABx-2kAB+1。
于是可得方程组y=kABx-2kAB+1①，3x2-y2=3②，把①式代入②式消去y整理可得：3-k2ABx2+2kAB2kAB-1x-2kAB-12-3=0。
設Δ=42k2AB-12+4（3-k2AB）[（2kAB-1）2+3]，由一元二次方程的求根公式可得：
x1=2kAB-4k2AB-Δ23-k2AB，x2=2kAB-4k2AB+Δ23-k2AB。
因为点P（2，1）为直线AB的中点，
所以2=x1+x22=2k2AB-kABk2AB-3，即2k2AB-6=2k2AB-kAB，解得kAB=6。
所以直线AB的方程为6x-y-11=0。
我的认识：该题的解法一运用的就是“设而不求”的解题手段，我们看到这一解题手段的“精彩”之处在于仅仅是借助于设出的A（x1，y1），B（x2，y2）两点作为解题的工具，而不需要解出A、B两点即可达到解题的目的，大大简化了解题的步骤。而解法二就是遵循了一般的解题思路：既设出了A、B两点，又解出了A、B两点的x1与x2。非常明显，解法二无论是运算量还是运算步骤，都远比解法一大且复杂，所以我们应学会运用解法一这一解题方法，以提高我们的解题效率。下面再举一个运用“设而不求”解决圆锥曲线问题的例子。
二、“设而不求”——通过运用斜率公式及韦达定理求得椭圆的方程
例2已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB的中点，且|AB|=22，OC的斜率是22，求椭圆的方程。
解析：设椭圆方程是px2+qy2=1（p>0，q>0）（这种设法避免了讨论焦点位置），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程px21+qy21=1，px22+qy22=1，两式作差并整理得（y1-y2）（y1+y2）（x1-x2）（x1+x2）=-pq。
又因为kAB=y1-y2x1-x2=-1，kOC=y1+y2x1+x2=22，所以pq=22。
又由弦长公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=1+12|x1-x2|=22，把直线方程x+y=1代入椭圆方程px2+qy2=1，得（p+q）x2-2qx+q-1=0。
由一元二次方程根与系数的关系及|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2，得：
p2+q2-3pq-p-q=0。
再把pq=22代入p2+q2-3pq-p-q=0，即解得p=13，q=23。
所以所求椭圆方程为x23+2y23=1。
我的认识：这道题的解答同样一开始设出了椭圆上的A、B两点：A（x1，y1），B（x2，y2），但是，从解答的过程中我们可以看到设出两点A（x1，y1），B（x2，y2）的目的在于表示直线AB与OC的斜率。接下来运用韦达定理结合题设告诉的条件|AB|=22，获得p与q的关系式。但是，整个解题过程都没有解出A、B两点，并且从整个过程来看运算量不大解题思路也不复杂，这一过程就是标准的“设而不求”的解题过程，其解题功效是显而易见的。
三、高考题中看“设而不求”的运用
例3（2011年江西卷第20题）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的一点，M，N分别是双曲线E的左、右定点，直线PM，PN的斜率之积为15。
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足OC=λOA+OB，求λ的值。
解析：（1）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，Px0，y0在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左、右定点，所以M-a，0，Na，0，直线PM，PN的斜率之积为
KPM·KPN=y0x0+a·y0x0-a=y20x20-a2=15x20a2-5y20a2=1。
而x20a2-y20b2=1，比较得b2=15a2c2=a2+b2=65a2e=ca=305。
（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c交双曲线E于A，B两点，则不妨设Ax1，y1，Bx2，y2。又OC=λOA+OB=λx1+x2，λy1+y2，点C在双曲线E上：
λx1+x22-5λy1+y22=a2
λ2x21-5y21+2λx1x2-10λy1y2+x22-5y22=a2①
又联立直线L和双曲线E方程消去y得：4x2-10cx+5c2+a2=0。
由韦达定理得：x1x2=5c2+a24，y1y2=x1x2-cx1+x2+c2=5c2+a24-5c22+c2。代入①式得：λ2a2+72λa2-712λa2+a2=a2λ=0，或λ=-4。
我的认识：该题的（1）（2）问的解答都用到了“设而不求”的解答方法。其中（1）中运用了题设条件中已经设好了的双曲线上的一点Px0，y0，通过点Px0，y0构造了直线PM，PN的斜率，再利用直线PM，PN的斜率之积为15这一条件获得了a与b的关系式，进而得到双曲线的离心率。（2）中设了A（x1，y1），Bx2，y2，“设而不求”的运用在于通过设出的两点Ax1，y1，Bx2，y2，能够用上韦达定理结合向量方程获得λ的方程，从而解出λ的值。该题两问的解答中对所设出的点P（x0，y0），Ax1，y1及Bx2，y2都没有解出，仅仅是对其加以利用，起了一个“跳板”的作用。于是我们可以对“设而不求”这一数学思想冠以解题中的“跳板高手”的美名。同时，可以说该题就是“设而不求”思想在高考题中最好的体现。
作者单位：山东省肥城市第一高级中学2014级22班