高中数学平面几何中,直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线五大曲线构成了平面解析几何的基本框架,它们相互对立、又相互联系,和谐相处,共同构成了平面解析几何的美丽,让人欣赏,愉悦不已。
　　[问题]已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F作直线j交抛物线于A,B两点,试问以线段AB为直径的圆与抛物线的准线是什么关系?
　　解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1
　　我们取一个特例直线j:y=x-1来研究、观察看有什么结果产生?
　　由得 (1)
　　设
　　由(1)得x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4
　　∴AB中点为C(3,2),
　　∴以AB为直径的圆C为:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心C(3,2)到准线x=-1的距离d=4,正好等于圆的半径,所以圆C与准线x=-1相切。
　　再利用几何画板演示:如果改变 与 轴的倾角,我们观察、发现:以AB为直径的圆始终与准线相切。那么,这是偶然还是必然呢?
　　[探究一]∵直线j过F(1,0)设直线j: x=my+1
　　将其代入y2=4x得:y2-4my-4=0(1)
　　△=16m2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
　　由(1)知 ,y1+y2=4m,
　　x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2
　　∴AB的中点为C(2m2+1,2m)
　　∴圆C方程为:
　　,圆心C(2m2+1,2m)到准线x=-1的距离d=2m2+2,正好等于半径2(m2+1) ,所以圆C与准线x=-1相切。
　　[探究二]我们从抛物线的定义出发,来研究这个问题。
　　解:由抛物线定义知x1,x2≥0
　　∴以AB为直径的圆的半径为,AB的中点到准线x=-1的距离正好等于半径。所以,以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
　　[探究三]设AB中点为C,过A,B,C分别作j的垂线AM,BN,CE垂足分别为M,N,E从抛物线定义出发,利用平面几何知识知:
　　故以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切。这个过程更为简洁、漂亮。
　　如果抛物线为,上述结论也成立吗?回答是肯定的。
　　[结论]以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
　　学生可以类比上述求解方法,由抛物线的定义入手,从代数、几何两个不同角度来证明,会得到上述结论。
　　上述证明过程简单、和谐,数学知识的巧妙运用使问题解决有妙笔生辉的感觉。平面解析几何中的五大曲线既对立又统一,共同生成平面解析几何美丽的华章,让每一个学习者既体验到数学思维的缜密、严谨和灵活,又无不感受到在数学中运动变化带来的美丽。灵感产生于智慧火花的碰撞,让我们共同感受数学的美丽和奇妙。
　　
　　参考文献:
　　贾永宏 给人以哲学美的好题数理天地[J]1999.11