恒成立问题是高中数学常见的题型之一,由于它往往是函数、方程、不等式等知识的综合运用,并且还需要应用到数学中的转化与化归、数形结合等数学思想,因而成为高考的热点题型.本文就恒成立的四种题型,通过例题解析与点评的方式,进行了归类剖析,希望能对读者起到启发思维的作用.
　　
　　【理论支点】给定一次型函数y=f(x)=kx+b,若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(线段)可得上述结论等价于
　　f(m)>0,
　　f(n)>0.
　　
　　例1:mx2-2x-m+1<0对|m|≤2的一切实数m值恒成立,求实数x的取值范围.
　　解:原不等式等价于m(x2-1)-2x-1<0.
　　令f(m)=(x2-1)m-2x+1(|m|≤2),则问题转化为关于m的一次型函数y=f(m)在区间[-2,2]内函数值小于0恒成立的问题.考察区间端点,只要f(-2)<0且f(2)<0即可,解得x∈(7-12,3+12).
　　【点评】本题不等式中出现了两个变量x、m,若直接从关于x的不等式正面出发求解较难,而变更主元,把m看作自变量,x看成参变量,逆转思维方向,则问题转化为在区间[-2,2]内,关于m的一次型函数的函数值小于0恒成立,求参变量x的范围的问题,进而化难为易,问题得以解决.反思解题过程,能否突破思维定式,创造性解题,成为解答此类问题的关键所在.
　　
　　【理论支点】
　　(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)函数值大于0恒成立,则有
　　a>0,
　　Δ=b2-4ac<0.
　　
　　(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)函数值小于0恒成立,则有
　　a<0,
　　Δ=b2-4ac<0.
　　
　　例2:(a2-1)x2-(a-1)x-1<0对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
　　解:若a2-1=0且a-1=0,即a=1时,-1<0恒成立.∴a=1.
　　若a2-1≠0,则必有
　　a>0,
　　Δ=(a-1)2-4×(a2-1)×(-1)<0.
　　
　　∴ -35　　综上所述-35　　【点评】在解答此种题型时,容易漏掉二次项系数等于0的情形,造成答案的不完整,其根本原因是没有养成“分类讨论”的习惯,误认为是关于x的一元二次不等式,而实际上,当二次项的系数是字母或代数式时,它就存在等于0或不等于0两种可能.掌握分类讨论的数学思想,重要的是要做到不重不漏,思维缜密,条理清楚.
　　
　　【理论支点】如果不等式f(x)>M对属于某个区间的一切自变量x都成立,那么只要f(x)在这个区间上的最小值大于M即可,即f(x)min>M;
　　
　　同样,如果不等式f(x)　　例3:|x-3|+|x-5|>a恒成立,求实数a的取值范围.
　　解:设f(x)=|x-3|+|x-5|.
　　∵|x-3|+|x-5|≥|(x-3)-(x-5)|=2,
　　∴ f(x)min=2.
　　∵ f(x)=|x-3|+|x-5|>a恒成立,
　　∴ a<2.
　　例4:x2-(a+2)x+2a+1≥0对x∈(2,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
　　解:(法一)分离变量法.
　　原不等式等价于a(x-2)≤x2-2x+1.
　　∵x>2,
　　∴ a≤x2-2x+1x-2对x∈(2,+∞)恒成立.
　　令f(x)=x2-2x+1x-2(x>2),则本题转化为f(x)min≥a,问题的关键变成求f(x)的最小值.
　　∵ f(x)=x2-2x+1x-2=(x-2)2+2(x-2)+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥4,等号成立时,x-2=1x-2,x=3.
　　∴ a≤4.
　　(法二)转化为最值.
　　设g(x)=x2-(a+2)x+2a+1(x>2),只需g(x)min≥0.
　　当a+22>2即a>2时,g(x)min=g(a+22)=(a+2)24-(a+2)22+2a+1≥0.
　　∴a2-4a≤0.
　　∴ 0≤a≤4.
　　∵a>2 , ∴2　　当a+22≤2即a≤2时,g(x)>g(2)=1≥0恒成立.
　　∴a≤2 .②
　　由①②求并集得a≤4.
　　例5:f(x)=2sin2x+sin2x(x∈R),且|f(x)-m|≤2恒成立,求实数m的取值范围.
　　解: |f(x)-m|≤2等价于m-2≤f(x)≤m+2 .
　　∴
　　f(x)min≥m-2,
　　f(x)max≤m+2.
　　
　　∵ f(x)=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=2sin(2x-π4)+1,
　　∴f(x)min=-2-1,f(x)max=2-1.
　　∴
　　-2-1≥m-2,
　　2-1≤m+2.
　　
　　∴2-3≤m≤1-2.
　　【点评】分离变量法或等价转化思想的运用,其目的都是将恒成立问题变成函数的最值问题;之后要用到均值不等式、绝对值不等式、二次函数配方法、三角函数的有界性法等一系列数学知识与方法来解决,所以恒成立问题,从知识与知识的交汇点处考察了综合应用数学知识的能力.
　　
　　【理论支点】f(x)>g(x)在给定区间上恒成立,须满足在给定区间上f(x)的图像恒在g(x)的上方.
　　例6:若不等式logax>sin2x(a>0且a≠1)对于任意x∈(0,π4]都成立,求实数a的取值范围.
　　解:作出函数y=sin2x的图像,由题意知 在x∈(0,π4],函数y=logax的图像总在函数y=sin2x的图像的上方.
　　∴0　　作直线x=π4,与y=logax和y=sin2x的图像分别交于A、B两点.
　　∵ y=logax在区间(0,π4]上的图像在y=sin2x图像的上方,
　　∴ 从图中得到其条件是点A在点B的上方.
　　∴当x=π4时,logaπ4>sin(2×π4)=1=logaa, 又0　　例7:若不等式x2-logax<0(a>0且a≠1)对于任意x∈(0,12)都成立,求实数a的取值范围.
　　
　　解:原不等式等价于logax>x2.
　　由题意知对于任意x∈(0,12),函数y=logax的图像恒在y=x2的上方.
　　∴0　　作直线x=12,与y=logax和y=x2的图像分别交于A、B两点,
　　∵y=logax在区间(0,12)上的图像在y=x2图像的上方,
　　∴从图中得到其条件是点A在点B的上方.
　　∴当x=12时,loga12>(12)2=logaa14, 又0　　【点评】因为例6中的不等式左边是对数式,右边是三角式,很难用初等数学的知识去解这个不等式,但如果想到数形结合的方法,就从一个代数的不等式问题转化到了一个函数图像的问题,然后从图像中寻找条件,从而解决问题.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.