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【摘要】本文以“整数运算律推广至小数教学”为例，阐释“规律推展课”的课堂模式，为提高学生的简算能力奠定基础。
【关键词】运算定律 规律推展 迁移规律
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09A-0062-02
一般而言，运算定律由整数推广到小数，都会依葫芦画瓢地推出一组小数或分数为数据主体的典型应用题，通过套用等式性质，研究出结果相等，从而推导得出“等式性质同样适用于小数”。如下图（选摘自人教版五年级上册数学课本）内容，明确要求学生根据结果相等来回顾总结等式性质，并出示例8：0.25×4.78×4和0.65×201。
这样设置，刻意将整数乘法运算律移植到小数上，知识迁移时难免有些生硬。实际上，在学习乘法运算律时，并没有指出其适用范围，完全可以随着数域的扩展，将运算律自然穿插进来。
出于这番思考，笔者巧妙地安置一个“预习”活动，结合具体的教学情境，在解析过程中，让学生自主探索简便算法，并陈述理由。紧扣教材和大纲，笔者编制了如下的“预习单”。
预学单
同学们，前面我们学习了小数的四则混合运算，它们的计算方法与运算顺序和整数四则运算有何联系和区别？让我们带着疑问开始今天的学习吧！
看问题：
2011年思源小学秋季校运会，五一班“4×50米跑”的运动健儿成绩如下：
一、交流反思，发现定律的通用性
独立思索，自发预习，让学生充分思考。老师巡堂检查，收集一些代表性作业，组织学生展开研讨、辩论，明确加法运算律的普适性，优化解答方案。
预习过程中，学生的解题方案会五花八门。为了全面展示，一改个别作答和小组交流的陋规，教师在巡查过程中收集典型作业，并上台展演（如下）。
第一种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=16.88+8.54+8.58
=25.42+8.58
=34（s）
第二种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=（8.42+8.58）+（8.46+8.54）
=17+17
=34（s）
第三种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=8×4+（0.42+0.58）+（0.46+0.54）
=32+1+1
=34（s）
上述三种答题方法，所占比例不尽相同，采取方案1的约占总人数的8%，采取方案2的约占总人数的80%，采取方案3的仅有一人，但仍有约10%的学生按凑整的思路排布好数据后计算。分析数据可知，绝大部分学生能够自觉完成知识迁移，自主应用运算律简化计算。
教师有指向性地选取一些典型作业，为小组交流提供可靠的原材料，让小组交流有实验基础，集体反馈时也能集中主题凝聚共识。演示上述三种方案后，教师组织学生小组开展如下探究任务：
1.谈一谈三种方案的共同之处。
2.相异的地方在哪里？各自的论据是什么？
3.你认为哪种方案最优？说明理由。
之所以遴选上述三个任务案例，是因为它们既彰显了层层递进的逻辑关系，又可以互为印证。小组交流可以进一步回视提纯，归纳出一般的规律。
小组1：通过集体磋商后，我们认为，以上三种方案都对，算式相同，得数也一致。不同之处在于：第一种方案的运算次序是由左至右；第二种方案是合并能凑整的加数，论据是加法交换律与结合律；第三种方案的论据是，将加数分为整部和分部，由于整部（整数部分）均为8，故先求出4个8的和的值，接下来的步骤类同解法二。本组6位组员，用第一种方法的有2人，用第2种方法有4人，第3种方法无人使用。商议后一致认为，第二种方案较为适用。
小组2：本组附议第一组，但有一些异议。我们认为，第2种方法为最优解的理由是提取整数相加后，剩余的小数部分依然可以继续凑整，而且计算起来更简便，仅需凑整成“1”即可。故认为第二种方法略胜一筹。
小组3：本组认为第3种方案为最优解，因为它在连加时用了乘法，减少了计算环节。
学生在小组汇展时，教师无需让每个小组完整展演，除第一组外，其余小组只需发表不同意见，除了对前面观点提出修正外，相同观点可以忽略，这样就能够督促每个小组必须认真倾听其他小组的意见，并作分析对比。
二、分层练习，提升规律的应用能力
加强运算律的应用技能，教师有必要编制有层次性、有梯度性的练习，通过基础练习夯实规律，通过变形训练深化规律，通过综合训练盘活规律。在分层练习中，不断地修缮与丰盈学生对规律的理解，拓展规律的应用空间。
基础训练中二度推展，规律的应用理应囊括两个方面，一是对归纳总结出的定律的直接机械套用，二是对归纳法则的过程进行变形迁移，例如整数运算定律在小数中的应用，自然数减法性质在小数减法中的拓展。
例如，在方格中填上恰当的数字，并说明理由。
（1）6.7+4.95+3.3=6.7+□+4.95
（2）（1.38+1.75）+0.25=□+（□+□）
（3）9.14-1.43-4.57=9.14-（□+□）
（4）9.14-（3.65+5.14）=□-□-□
上面四道題，（3）（4）题的理论基础是减法性质。学生独自作答后与同桌研讨，然后集中反馈。本套习题中的第2、4小题答案不唯一，检验后再探究哪一种答案可简化计算。
在专项训练中塑造技能，在定律扩延到新数域中，会提出新的学习要求和目标，而这些则需经过专项训练来达到。如在整数一级运算中，主要是判别哪两个或几个加数可以凑成整十、百、千，而小数一级运算中，则主要判定是否可以凑整。因此，教师可设计如下训练题：
下面哪两对小数相加后能凑成整数？请连线，速算出结果。
为了克服学生的思维定势与行为惯性，在此练习中，笔者设置了干扰项。
三、综合训练中会应用
研习简便运算的作用是为了培养学生的简算意识，能够根据题型与数据特征，恰当选取计算方法。第一要素是要认真细致审题，锁定常规算法，在敲定常规算法的基础上，进行思考有无简算的条件和可能，假如有，以什么为理论依据？因此，命制的综合习题，应该将各类加减四则运算简算题型收纳其中，训练学生思维的缜密性和思维路径的全通性。出于这样的考虑，笔者制作了如下的表格。
总而言之，“规律推广类”课程的教学，教师必须提供大量的相关材料，让学生遵循已有经验基础自觉地摸索探究，形成多维度、多方向的辨析思路，再通过判别探析，发现规律的增长点和迁移点，自主地充盈与延伸规律的应用范畴。
（责编 林 剑）
【关键词】运算定律 规律推展 迁移规律
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09A-0062-02
一般而言，运算定律由整数推广到小数，都会依葫芦画瓢地推出一组小数或分数为数据主体的典型应用题，通过套用等式性质，研究出结果相等，从而推导得出“等式性质同样适用于小数”。如下图（选摘自人教版五年级上册数学课本）内容，明确要求学生根据结果相等来回顾总结等式性质，并出示例8：0.25×4.78×4和0.65×201。
这样设置，刻意将整数乘法运算律移植到小数上，知识迁移时难免有些生硬。实际上，在学习乘法运算律时，并没有指出其适用范围，完全可以随着数域的扩展，将运算律自然穿插进来。
出于这番思考，笔者巧妙地安置一个“预习”活动，结合具体的教学情境，在解析过程中，让学生自主探索简便算法，并陈述理由。紧扣教材和大纲，笔者编制了如下的“预习单”。
预学单
同学们，前面我们学习了小数的四则混合运算，它们的计算方法与运算顺序和整数四则运算有何联系和区别？让我们带着疑问开始今天的学习吧！
看问题：
2011年思源小学秋季校运会，五一班“4×50米跑”的运动健儿成绩如下：
一、交流反思，发现定律的通用性
独立思索，自发预习，让学生充分思考。老师巡堂检查，收集一些代表性作业，组织学生展开研讨、辩论，明确加法运算律的普适性，优化解答方案。
预习过程中，学生的解题方案会五花八门。为了全面展示，一改个别作答和小组交流的陋规，教师在巡查过程中收集典型作业，并上台展演（如下）。
第一种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=16.88+8.54+8.58
=25.42+8.58
=34（s）
第二种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=（8.42+8.58）+（8.46+8.54）
=17+17
=34（s）
第三种方法：
8.42+8.46+8.54+8.58
=8×4+（0.42+0.58）+（0.46+0.54）
=32+1+1
=34（s）
上述三种答题方法，所占比例不尽相同，采取方案1的约占总人数的8%，采取方案2的约占总人数的80%，采取方案3的仅有一人，但仍有约10%的学生按凑整的思路排布好数据后计算。分析数据可知，绝大部分学生能够自觉完成知识迁移，自主应用运算律简化计算。
教师有指向性地选取一些典型作业，为小组交流提供可靠的原材料，让小组交流有实验基础，集体反馈时也能集中主题凝聚共识。演示上述三种方案后，教师组织学生小组开展如下探究任务：
1.谈一谈三种方案的共同之处。
2.相异的地方在哪里？各自的论据是什么？
3.你认为哪种方案最优？说明理由。
之所以遴选上述三个任务案例，是因为它们既彰显了层层递进的逻辑关系，又可以互为印证。小组交流可以进一步回视提纯，归纳出一般的规律。
小组1：通过集体磋商后，我们认为，以上三种方案都对，算式相同，得数也一致。不同之处在于：第一种方案的运算次序是由左至右；第二种方案是合并能凑整的加数，论据是加法交换律与结合律；第三种方案的论据是，将加数分为整部和分部，由于整部（整数部分）均为8，故先求出4个8的和的值，接下来的步骤类同解法二。本组6位组员，用第一种方法的有2人，用第2种方法有4人，第3种方法无人使用。商议后一致认为，第二种方案较为适用。
小组2：本组附议第一组，但有一些异议。我们认为，第2种方法为最优解的理由是提取整数相加后，剩余的小数部分依然可以继续凑整，而且计算起来更简便，仅需凑整成“1”即可。故认为第二种方法略胜一筹。
小组3：本组认为第3种方案为最优解，因为它在连加时用了乘法，减少了计算环节。
学生在小组汇展时，教师无需让每个小组完整展演，除第一组外，其余小组只需发表不同意见，除了对前面观点提出修正外，相同观点可以忽略，这样就能够督促每个小组必须认真倾听其他小组的意见，并作分析对比。
二、分层练习，提升规律的应用能力
加强运算律的应用技能，教师有必要编制有层次性、有梯度性的练习，通过基础练习夯实规律，通过变形训练深化规律，通过综合训练盘活规律。在分层练习中，不断地修缮与丰盈学生对规律的理解，拓展规律的应用空间。
基础训练中二度推展，规律的应用理应囊括两个方面，一是对归纳总结出的定律的直接机械套用，二是对归纳法则的过程进行变形迁移，例如整数运算定律在小数中的应用，自然数减法性质在小数减法中的拓展。
例如，在方格中填上恰当的数字，并说明理由。
（1）6.7+4.95+3.3=6.7+□+4.95
（2）（1.38+1.75）+0.25=□+（□+□）
（3）9.14-1.43-4.57=9.14-（□+□）
（4）9.14-（3.65+5.14）=□-□-□
上面四道題，（3）（4）题的理论基础是减法性质。学生独自作答后与同桌研讨，然后集中反馈。本套习题中的第2、4小题答案不唯一，检验后再探究哪一种答案可简化计算。
在专项训练中塑造技能，在定律扩延到新数域中，会提出新的学习要求和目标，而这些则需经过专项训练来达到。如在整数一级运算中，主要是判别哪两个或几个加数可以凑成整十、百、千，而小数一级运算中，则主要判定是否可以凑整。因此，教师可设计如下训练题：
下面哪两对小数相加后能凑成整数？请连线，速算出结果。
为了克服学生的思维定势与行为惯性，在此练习中，笔者设置了干扰项。
三、综合训练中会应用
研习简便运算的作用是为了培养学生的简算意识，能够根据题型与数据特征，恰当选取计算方法。第一要素是要认真细致审题，锁定常规算法，在敲定常规算法的基础上，进行思考有无简算的条件和可能，假如有，以什么为理论依据？因此，命制的综合习题，应该将各类加减四则运算简算题型收纳其中，训练学生思维的缜密性和思维路径的全通性。出于这样的考虑，笔者制作了如下的表格。
总而言之，“规律推广类”课程的教学，教师必须提供大量的相关材料，让学生遵循已有经验基础自觉地摸索探究，形成多维度、多方向的辨析思路，再通过判别探析，发现规律的增长点和迁移点，自主地充盈与延伸规律的应用范畴。
（责编 林 剑）