论文部分内容阅读
在近几年各地的中考试题中，出现了一些新定义型试题.这些试题定义了新的概念、运算或图形，要求考生按照这种新的定义进行运算或推理.它们是书本知识的拓宽和延伸，有利于考查基础知识和应变能力.本文选择几个典型问题，探讨它们的解法.
一、定义新运算
例1用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1.例如7☆4
=42+1=17，那么5☆3=_______；当m为实数时，m☆(m☆2)=_______.
(2006年北京市中考试题)
分析：这种题型主要考查模仿能力，要求同学们根据所给的定义，进行混合运算来完成．
解：10；26.
二、定义新图形
例2我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
(2)探究当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.(2006年北京市中考试题)
分析：(1)对角线相等的特殊四边形有：等腰梯形、矩形、正方形；
(2)由于已知条件比较分散，我们通常可用平移(或旋转)的方法，转化在同一个三角形中来处理．由于图形的变化，在推理的过程中，还必须运用分类讨论的数学思想.
解：(1)略．
(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD,且∠AOD=60°．
求证：BC+AD≥AC．
证明：如图1，过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.
连结CE、BE，则四边形ACED是平行四边形，所以ＣＥ＝ＡＤ.
因为∠EDO=60°，
所以△BDE是等边三角形，DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时，
在△BCE中，有BC+CE＞BE，所以BC+AD＞AC.
②当BC与CE在同一条直线上时，如图2所示，
有BC+CE=BE，
因此BC+AD=AC.
综合①、②，得BC+AD≥AC.
例3如图3，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC＝∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
(1)在图4正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．
(2)在图5四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法).
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P２(如图6），证明线段P1P２上任一点也是它的半等角点．(2006年安徽省中考试题)
分析：(1)根据半等角点的概念及其试题的要求，所求的点在AC上，且不能为AC的中点和两个端点；(2)我们利用对称性来处理；(3)我们可以把问题转化为证明直线P1P２是四边形ABCD的对称轴.
略解（１）根据分析（１）作图，图略．
(2)画点B关于AC的对称点Ｂ′，延长DＢ′交AC于点P，点P为所求，具体画图略．
(3)连P1A、P1Ｄ、P1Ｂ、P1Ｃ和P２Ｄ、P２Ｂ，根据题意，
∠AP1Ｄ=∠AP1Ｂ，∠DP1C=∠ＢP1Ｃ，
∴∠AP1B+∠BP1C=180°．
∴P1在AC上，
同理，P２也在AC上．
在△DP1P２和△BP1P２中，
∠DP２P1=∠BP２P1，∠DP1P２=∠BP1P２，P1P２公共，
∴△DP1P２≌△BP1P２．
所以DP1=BP1，DP２=BP２，于是B、D关于AC对称.设P是P1P２上任一点，
连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．
三、定义新数
例4如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
(2006年浙江省实验区中考试题)
解：(1)找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘数．
(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
(3)由(2)知，神秘数一定可以表示成4(2k+1)的形式，因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1（n为正整数），则（2n+1)2-(2n-1)2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数.因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、定义新运算
例1用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1.例如7☆4
=42+1=17，那么5☆3=_______；当m为实数时，m☆(m☆2)=_______.
(2006年北京市中考试题)
分析：这种题型主要考查模仿能力，要求同学们根据所给的定义，进行混合运算来完成．
解：10；26.
二、定义新图形
例2我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
(2)探究当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.(2006年北京市中考试题)
分析：(1)对角线相等的特殊四边形有：等腰梯形、矩形、正方形；
(2)由于已知条件比较分散，我们通常可用平移(或旋转)的方法，转化在同一个三角形中来处理．由于图形的变化，在推理的过程中，还必须运用分类讨论的数学思想.
解：(1)略．
(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD,且∠AOD=60°．
求证：BC+AD≥AC．
证明：如图1，过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.
连结CE、BE，则四边形ACED是平行四边形，所以ＣＥ＝ＡＤ.
因为∠EDO=60°，
所以△BDE是等边三角形，DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时，
在△BCE中，有BC+CE＞BE，所以BC+AD＞AC.
②当BC与CE在同一条直线上时，如图2所示，
有BC+CE=BE，
因此BC+AD=AC.
综合①、②，得BC+AD≥AC.
例3如图3，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC＝∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
(1)在图4正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．
(2)在图5四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法).
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P２(如图6），证明线段P1P２上任一点也是它的半等角点．(2006年安徽省中考试题)
分析：(1)根据半等角点的概念及其试题的要求，所求的点在AC上，且不能为AC的中点和两个端点；(2)我们利用对称性来处理；(3)我们可以把问题转化为证明直线P1P２是四边形ABCD的对称轴.
略解（１）根据分析（１）作图，图略．
(2)画点B关于AC的对称点Ｂ′，延长DＢ′交AC于点P，点P为所求，具体画图略．
(3)连P1A、P1Ｄ、P1Ｂ、P1Ｃ和P２Ｄ、P２Ｂ，根据题意，
∠AP1Ｄ=∠AP1Ｂ，∠DP1C=∠ＢP1Ｃ，
∴∠AP1B+∠BP1C=180°．
∴P1在AC上，
同理，P２也在AC上．
在△DP1P２和△BP1P２中，
∠DP２P1=∠BP２P1，∠DP1P２=∠BP1P２，P1P２公共，
∴△DP1P２≌△BP1P２．
所以DP1=BP1，DP２=BP２，于是B、D关于AC对称.设P是P1P２上任一点，
连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．
三、定义新数
例4如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
(2006年浙江省实验区中考试题)
解：(1)找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘数．
(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
(3)由(2)知，神秘数一定可以表示成4(2k+1)的形式，因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1（n为正整数），则（2n+1)2-(2n-1)2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数.因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。