摘要:二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问題的能力。
　　关键词:函数概念 二次函数 单调性 最值 图象 解不等式
　　
　　进入高中以后,要对二次函数 的基本概念图象和基本性质及单调性、灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
　　一、进一步深入理解函数概念
　　二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
　　类型I:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1)
　　这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型Ⅱ:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)
　　这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法:
　　(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
　　(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
　　 令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而f(x)= x2-6x+6
　　二、二次函数的单调性,最值与图象
　　(1)y=x2+2|x-1|-1
　　(2)y=|x2-1|
　　(3)= x2+2|x|-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
　　类型Ⅳ设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
　　求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
　　解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
　　当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
　　当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1
　　当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2
　　首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
　　如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。
　　三、利用二次函数图象解不等式
　　二次函数的图象是一条抛物线,其开口方向由二次项系数决定,纵坐标取正值的点位于x轴的上方,取负值的点位于x轴的下方,从而得出正确答案。
　　例:解下列一元二次不等式
　　(1)2x2-4x+3>0 (2) 2x2-4x+3≤0
　　通过例子让学生掌握Δ<0类型的解法。诱导学生仍按“求根——画图——找解”三步曲进行,学生很容易在求根时发现十字相乘法行不通,鼓励学生用求根公式法试试,学生很快发现也不行,从而得出Δ<0,方程无根的结论。既然第一步受阻,第二步画图该怎么办呢?新旧知识的碰撞在学生头脑中产生了矛盾和冲突,学生存在有一定程度的焦虑,甚至得得解集为空集的错误结论。这正是教师抓住这一矛盾和焦虑感将本节课推到高潮的时机。这时,鼓励学生按既定步骤进行,并及时启发他们,方程无实数根意味着抛物线与x轴无交点。鼓励学生画出图形,观察结果,看看与自己最初的猜想是否一致。学生很快发现(1)的解集为R,(2)的解集为Φ。这样既培养了学生大胆猜想,勇于探索的勇气,又培养了学生勤于思考,寻根问底的科学精神,从而将图象法解二次不等式推向高潮。
　　“授人以鱼,不如授人以渔”。在教学过程中,不但要传授学生课本知识,还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力,增强学生的综合素质,从而达到教学的终极目标。教学中,教师创设疑问,学生想办法解决疑问,通过教师的启发与点拨,在积极的双边活动中,学生找到了解决疑问的方法,找准解决问题的关键。