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摘 要：从数学美的源头探寻数学本质的美，通过教材解读、课堂教学作为传播数学美的途径，进而形成经过数学美熏陶的结果，学生养成有序、简洁、缜密的数学思维，感受数学思想的精髓、提升数学思考能力等数学素养。
关键词：数学;数学美;源途果
一、 探寻数学美的源头
数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的内涵是思维和想象的结合体。透过抽象、归纳、推理等数学方法的使用，在数的计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。它的发展建立于社会的需求，所以就产生了数学的美。在数学中主要呈现以下几种美：
（一） 符号美
莱布尼兹说过，数学符号节省了人们的思维。数学中有大量的公式、运算关系等，如果都用文字来表达，增加了数学的复杂性和学生理解的准确性，无形中就制约了数学的发展。所以符号在数学学科的引进，简化了数学的知识和推进了数学的发展。所以数是数学的语言，符号是记录表达这些数学语言的工具。
（二） 抽象美
事物的存在是有量和形的，两种事物之间如果有相同的量和形就可以用相同的数学方法来解决，所以数学是抽象的。比如数学概念是从众多事物共同属性中抽象出来的，抛去事物的非本质属性，提炼了事物的本质属性，成就了数学的抽象美。
（三） 统一美
数学科学是统一的一体，其组织的活力依賴于其各部分之间的联系——希尔伯特。统一是数学的内涵，也是数学的本质，数学知识之间存在着大量的统一性，让数学知识成线性发展，引导学生掌握一个知识的昨天、今天、明天的具体形态。
（四） 对称美
对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上上具有一一对应关系。著名德国数学家、物理学家外尔说：美和对称紧密相连。对称的美遍布数的运算、图形与几何等模块知识。
（五） 奇异美
数学中有许多变异的现象，它的结果往往与探究之前的推测大相径庭，这种奇异的神秘美，也激发了学生的探究欲望。最后结果跟最初的猜测大相径庭，类似这样的知识在习得的过程中就体现了数学知识的奇异美。
（六） 文化美
数学作为一种文化，是数学历史的一种沉淀，已经走入数学课堂。使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，亦感受数学历史发展的轨迹和伟大。
这众多的数学本质的美，如何在解读、理解它的内涵后，把它传输给学生呢？让学生去感受数学的美和内质。这就需要去寻找传播数学美的途径。
二、 传播数学美的途径
课堂是实施教学的主阵地，也是传播数学美的主要途径，从帮助学生感悟教材的美、组织教学之美等几方面来实施对美的传播。
（一） 解读教材，感受美
教材是教学的范本，在《小学数学课程标准》的指导下，为促进基础教育的发展而编写的，让学生习得知识的同时发展能力、感悟思想、提升数学素养。教材的美主要体现在如下几方面：
1. 渗透充分，感受数学本质之美
小学数学教材依托数学知识，渗透数学本质的美，主要体现以下几种美：（1）在小学数学教材中，大量地运用了符号来表达、记录数学关系、公式等，涉及的领域有概念、计算、定律、解决问题等各个领域，很好地渗透了数学的符号美，感受数学的简约之美。（2）数学的本质是抽象的，从低年级数的认识到高年级图形的认识、公式的总结，规律的归纳，无一不体现数学的抽象美。如：1的认识，引导学生观察1个人、1棵树、1个杯子、1辆车等，抽象出它们的本质，数量都是1。 （3）数学的统一美还体现在学习了分数、除法、比各部分之间的关系，进而在积累了商不变的规律的知识和数学活动经验的基础上，引申学习分数的基本性质、比的基本性质。让相关联的知识形成一个体系建构在学生的大脑里，加深对数学知识本身的理解，而且让这些知识在一定程度上统一，也帮助学生深化理解系统的知识，以便融会贯通、灵活应用。（4）数学的对称美，对称在小学数学教材里，更多的是分布在几何平面上的轴对称和中心对称。在计算上，加减乘除，这些互逆运算是另一种意义上的对称，解决问题中的等量关系、方程都是对称的美，它让数学变得和谐。（5）数学的奇异美，合情推理是小学数学课堂经常用到的学习方法，如《找次品》，在2187瓶糖果中，有一个次品，至少要称几次，保证能找到次品？学生猜测几千次、几百次、几十次，课堂上就是没有学生猜测只要称几次的。于是引导学生进行探究，结果呈现如下：
总结出“找次品，方法多，三而均，最合适，不能均，尽量均”。最后结果跟最初的猜测大相径庭，类似这样的知识在习得的过程中就体现了数学知识的奇异美。（6）数学的文化美。数学是人类的一种文化，重视数学文化，才能提升数学的教育价值。在小学数学教材中，有大量的知识，如圆周率、概率、统计等问题都有强大的文化背景，因为历史上伟大的数学家在研究的过程中，留下了许多感人的故事和数学的真谛。如：哥德巴赫猜想、祖冲之的研究、阿基米德定律等等。让学生感受前辈数学家的敬业和对数学研究的追求，产生“学习的数学是有价值，所做的数学研究也是有价值的”。用这些数学家的故事和精神来影响学生，影响他们的求学观、研究观，养成一生可持续研究的精神和动力。
2. 资源丰富，感受数学与生活的整合之美
小学数学又称之为情境数学，从学生现实生活背景出发，提炼数学知识，数学生活的背景资源非常丰富，遍布亲情、科技、健康常识等。如：人教版五年级《分数与除法》一课，营造一家三口过生日的生活情境，让数学的习知渗透着温情的美。又如：教材中所使用的素材也有大面积的与时俱进的时代信息，人教版六年级《比的意义》一课，运用我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空，杨利伟在飞船里展示联合国国旗和中华人民共和国国旗引入教学，探究它们长和宽的倍数关系，引出比的知识。再如：教材中还有大篇幅传递着健康常识为背景的数学，比如：人教版六年级《列方程解决问题》一课，根据测定成人体内的水分约占体重的23，儿童体内的水分约占体重的45为背景引出。丰富的数学背景资源让学生感受到数学与生活的整合之美。 （二） 组织教学，传递美
1. 情境美
情境是激发学生学习兴趣的土壤，兴趣是主动学习的动力，所以情境的营造有自己独特的魅力。如：人教版五年级《一个数除以小数》，奶奶编中国结，编一个要用0.85米丝绳，这里有7.65米丝绳，这些丝绳可以编几个中国结？可以创设图文结合，旁白式的语言来渲染情境，“请同学们看大屏幕，今天老师给大家带来了各式各样的中国结（屏幕中出示各种精美的中国结），中国结是中国古老文化的一部分，它象征着吉祥、如意、团圆、祥和等等，寄托着亲人、朋友的美好心愿。接着话锋一转，这些美丽的中国结都来自一位老奶奶的一双灵巧的双手，（出示老奶奶），老奶奶在编织中国结的过程中，遇到了一个数学问题，同学们，你们能帮她解决吗？在浓浓温情而有传统文化的氛围中，用让学生帮忙解决老奶求助的问题的方式开启了学习，激发了学生学习的兴趣，在情境教学美中感受成功的学习体验。
2. 活动美
数学教学是数学活动的教学，要创造各种活动，让学生在活动中求知、在活动中建构、在活动中运用，在活动中提升。比如：《平行四边形的面积》一课，让学生通过操作，渗透转化的数学思想，通过一剪、二移、三拼的操作方法，将平行四边形转化为长方形，从长方形面积计算公式推导出平行四边形面积计算公式。让学生在操作中思考，在思考中发现，在发现中积累推导的数学活动经验。动、思、创为一体的推理探究，感悟数学活动的美。
3. 互动美
数学课堂是师生交往互动，共同发展的过程，追求学生为主体，教师为主导的课堂教学模式。数学课堂是解决问题的课堂，抛出问题、探讨问题、解决问题这一系列问题互动的过程中，师生互动，促进学生的全面发展。比如五年级《分数的基本性质》一课，从生活中物体的变形现象，如放大镜看物体;字的变形现象：颜体、柳体……。抛出问题：数学有这种变形的现象吗？学生通过操作，把一张正方形的纸平均分后进行涂色，分别得出三个分数，形成一个等式：12=24=48，生生互动，从左往右观察，再从右往左观察，发现：分数的分子和分母同时乘或除以一个数，分数的大小不变。当学生的思维进入了僵局，老师又抛出新的问题：一个数是任意的数吗？你能举例说明你刚才的发现是成立的吗？再一次问题互动中，发现“一个数要0除外”。问题串着师生、生生的互动，随着问题的深入，思维的互动也越来越接近数学的本质，把问题剖析得更加清晰、深刻，感受数学课堂中互動探究之美。
三、 形成数学美的结果
（一） 思维美
数学的思维以有序、简洁、缜密为美，在学习中感受数学的美，进而产生美的思维。首先有序观察下，形成简洁、实效、缜密的数学思维。
如：四年级《积的变化规律》
2×6=12;20×6=120;200×6=1200
引导学生从上往下观察，发现一个因数不变，另一个因数乘10，积也乘10;从下往上观察，一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。并做再一次深入思考，这个数是不能为0的，因为任何数与0相乘都得0。从而归纳出了积的变化规律，培养了学生归纳概括的能力和有序思维的能力，让思维变得有条理、有顺序。再者，数学的美，美在它的简洁，所有公式、性质、规律的总结以及符号的运用都让数学的美变得简洁，进而让学生在学习中形成简洁的数学思维。最后，缜密是数学思维的本质体现，数学是严谨的学科，需要学生通过分析、判断、推理得出数学的结论。比如：五年级《植树问题》一课，引导学生进行对植树问题进行分类，两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽三种情况进行分析，得出棵树与间隔数之间的关系。找出植树的共性和个性，一个间隔一棵树，一一对应这是它们的共性，因植树方式的不同，棵树和间隔数之间的数量关系各自不同这是它们的个性存在。让学生经历整个植树推理的过程，让思维变得缜密。
（二） 思想美
数学思想是数学的精髓，它统领着数学知识的习得、数学方法获取以及数学知识的运用。数学思想是建构在学生大脑里，帮助学生更好地理解、建构数学知识。比如六年级《圆的面积》一课，引导学生思考：如何将求圆面积计算转化为已知计算面积的图形？将圆沿着直径剪开，分成了两个半圆，再把两个半圆偶数等分，拼在一起，就拼成了一个近似的长方形，从中很好地渗透了转化的数学思想。当半圆分得份数越来越多，拼成的图形越来越接近于长方形，激发学生的想象，来帮助完善整个转化后图形，渗透了极限的数学思想。长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径，找出长方形和圆之间一一对应的关系，从长方形面积计算公式推导出圆面积计算公式，让学生感悟推理的数学思想。S=πr2，帮助学生很好的建构模型的思想和符号化的数学思想。这些数学思想的渗透，让学生对知识理解更深刻，数学方法的掌握更全面，对后续相关知识的学习也打下了很好的铺垫。
（三） 素养美
素养，是一个人行为举止的外在表现，包括品格和行为。小学生的数学素养，包括数感、符号意识、空间观念、几何直观等方面，作为一个数学人，其中最核心的素养是培养学生学会数学思考，用数学的方式来解决数学问题。比如四年级《乘法分配律》一课，通过解决情境中的数学问题引出两个等式：
（25 72）×16=25×16 75×16;（34 12）×5=34×5 12×5
如果一开始就抛出一个问题：这类等式在计算上有什么特点？针对这个比较大小的数学问题，在教师的引导下，形成有效的学习，学生可以从下面的三个问题切入思考：1. 等式左边的算式有什么特点？（从外观上看都有一个括号，中间有一个加号，于是在数学上，我们就说是两个数的和）。2. 等式右边的算式有什么特点？（都是括号里的两个数分别同括号外的那个数相乘，在这里解释好“分别”一词）。3. 从左往右观察，这个等式在计算上有什么特点呢？（从而归纳出乘法分配律）。从教学的形式上看，是三个教学步骤，其实呈现的是学生数学上的三个思考，层层深入，环环相扣，让学生对此类问题的数学思考展现得淋漓尽致，并将这种思考的经验用于相关问题的学习中，提升了学生数学思考的素养美。
作者简介：
鄢晓钦，福建省福州市，福建省闽江师范高等专科学校附属实验小学。
关键词：数学;数学美;源途果
一、 探寻数学美的源头
数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的内涵是思维和想象的结合体。透过抽象、归纳、推理等数学方法的使用，在数的计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。它的发展建立于社会的需求，所以就产生了数学的美。在数学中主要呈现以下几种美：
（一） 符号美
莱布尼兹说过，数学符号节省了人们的思维。数学中有大量的公式、运算关系等，如果都用文字来表达，增加了数学的复杂性和学生理解的准确性，无形中就制约了数学的发展。所以符号在数学学科的引进，简化了数学的知识和推进了数学的发展。所以数是数学的语言，符号是记录表达这些数学语言的工具。
（二） 抽象美
事物的存在是有量和形的，两种事物之间如果有相同的量和形就可以用相同的数学方法来解决，所以数学是抽象的。比如数学概念是从众多事物共同属性中抽象出来的，抛去事物的非本质属性，提炼了事物的本质属性，成就了数学的抽象美。
（三） 统一美
数学科学是统一的一体，其组织的活力依賴于其各部分之间的联系——希尔伯特。统一是数学的内涵，也是数学的本质，数学知识之间存在着大量的统一性，让数学知识成线性发展，引导学生掌握一个知识的昨天、今天、明天的具体形态。
（四） 对称美
对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上上具有一一对应关系。著名德国数学家、物理学家外尔说：美和对称紧密相连。对称的美遍布数的运算、图形与几何等模块知识。
（五） 奇异美
数学中有许多变异的现象，它的结果往往与探究之前的推测大相径庭，这种奇异的神秘美，也激发了学生的探究欲望。最后结果跟最初的猜测大相径庭，类似这样的知识在习得的过程中就体现了数学知识的奇异美。
（六） 文化美
数学作为一种文化，是数学历史的一种沉淀，已经走入数学课堂。使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，亦感受数学历史发展的轨迹和伟大。
这众多的数学本质的美，如何在解读、理解它的内涵后，把它传输给学生呢？让学生去感受数学的美和内质。这就需要去寻找传播数学美的途径。
二、 传播数学美的途径
课堂是实施教学的主阵地，也是传播数学美的主要途径，从帮助学生感悟教材的美、组织教学之美等几方面来实施对美的传播。
（一） 解读教材，感受美
教材是教学的范本，在《小学数学课程标准》的指导下，为促进基础教育的发展而编写的，让学生习得知识的同时发展能力、感悟思想、提升数学素养。教材的美主要体现在如下几方面：
1. 渗透充分，感受数学本质之美
小学数学教材依托数学知识，渗透数学本质的美，主要体现以下几种美：（1）在小学数学教材中，大量地运用了符号来表达、记录数学关系、公式等，涉及的领域有概念、计算、定律、解决问题等各个领域，很好地渗透了数学的符号美，感受数学的简约之美。（2）数学的本质是抽象的，从低年级数的认识到高年级图形的认识、公式的总结，规律的归纳，无一不体现数学的抽象美。如：1的认识，引导学生观察1个人、1棵树、1个杯子、1辆车等，抽象出它们的本质，数量都是1。 （3）数学的统一美还体现在学习了分数、除法、比各部分之间的关系，进而在积累了商不变的规律的知识和数学活动经验的基础上，引申学习分数的基本性质、比的基本性质。让相关联的知识形成一个体系建构在学生的大脑里，加深对数学知识本身的理解，而且让这些知识在一定程度上统一，也帮助学生深化理解系统的知识，以便融会贯通、灵活应用。（4）数学的对称美，对称在小学数学教材里，更多的是分布在几何平面上的轴对称和中心对称。在计算上，加减乘除，这些互逆运算是另一种意义上的对称，解决问题中的等量关系、方程都是对称的美，它让数学变得和谐。（5）数学的奇异美，合情推理是小学数学课堂经常用到的学习方法，如《找次品》，在2187瓶糖果中，有一个次品，至少要称几次，保证能找到次品？学生猜测几千次、几百次、几十次，课堂上就是没有学生猜测只要称几次的。于是引导学生进行探究，结果呈现如下：
总结出“找次品，方法多，三而均，最合适，不能均，尽量均”。最后结果跟最初的猜测大相径庭，类似这样的知识在习得的过程中就体现了数学知识的奇异美。（6）数学的文化美。数学是人类的一种文化，重视数学文化，才能提升数学的教育价值。在小学数学教材中，有大量的知识，如圆周率、概率、统计等问题都有强大的文化背景，因为历史上伟大的数学家在研究的过程中，留下了许多感人的故事和数学的真谛。如：哥德巴赫猜想、祖冲之的研究、阿基米德定律等等。让学生感受前辈数学家的敬业和对数学研究的追求，产生“学习的数学是有价值，所做的数学研究也是有价值的”。用这些数学家的故事和精神来影响学生，影响他们的求学观、研究观，养成一生可持续研究的精神和动力。
2. 资源丰富，感受数学与生活的整合之美
小学数学又称之为情境数学，从学生现实生活背景出发，提炼数学知识，数学生活的背景资源非常丰富，遍布亲情、科技、健康常识等。如：人教版五年级《分数与除法》一课，营造一家三口过生日的生活情境，让数学的习知渗透着温情的美。又如：教材中所使用的素材也有大面积的与时俱进的时代信息，人教版六年级《比的意义》一课，运用我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空，杨利伟在飞船里展示联合国国旗和中华人民共和国国旗引入教学，探究它们长和宽的倍数关系，引出比的知识。再如：教材中还有大篇幅传递着健康常识为背景的数学，比如：人教版六年级《列方程解决问题》一课，根据测定成人体内的水分约占体重的23，儿童体内的水分约占体重的45为背景引出。丰富的数学背景资源让学生感受到数学与生活的整合之美。 （二） 组织教学，传递美
1. 情境美
情境是激发学生学习兴趣的土壤，兴趣是主动学习的动力，所以情境的营造有自己独特的魅力。如：人教版五年级《一个数除以小数》，奶奶编中国结，编一个要用0.85米丝绳，这里有7.65米丝绳，这些丝绳可以编几个中国结？可以创设图文结合，旁白式的语言来渲染情境，“请同学们看大屏幕，今天老师给大家带来了各式各样的中国结（屏幕中出示各种精美的中国结），中国结是中国古老文化的一部分，它象征着吉祥、如意、团圆、祥和等等，寄托着亲人、朋友的美好心愿。接着话锋一转，这些美丽的中国结都来自一位老奶奶的一双灵巧的双手，（出示老奶奶），老奶奶在编织中国结的过程中，遇到了一个数学问题，同学们，你们能帮她解决吗？在浓浓温情而有传统文化的氛围中，用让学生帮忙解决老奶求助的问题的方式开启了学习，激发了学生学习的兴趣，在情境教学美中感受成功的学习体验。
2. 活动美
数学教学是数学活动的教学，要创造各种活动，让学生在活动中求知、在活动中建构、在活动中运用，在活动中提升。比如：《平行四边形的面积》一课，让学生通过操作，渗透转化的数学思想，通过一剪、二移、三拼的操作方法，将平行四边形转化为长方形，从长方形面积计算公式推导出平行四边形面积计算公式。让学生在操作中思考，在思考中发现，在发现中积累推导的数学活动经验。动、思、创为一体的推理探究，感悟数学活动的美。
3. 互动美
数学课堂是师生交往互动，共同发展的过程，追求学生为主体，教师为主导的课堂教学模式。数学课堂是解决问题的课堂，抛出问题、探讨问题、解决问题这一系列问题互动的过程中，师生互动，促进学生的全面发展。比如五年级《分数的基本性质》一课，从生活中物体的变形现象，如放大镜看物体;字的变形现象：颜体、柳体……。抛出问题：数学有这种变形的现象吗？学生通过操作，把一张正方形的纸平均分后进行涂色，分别得出三个分数，形成一个等式：12=24=48，生生互动，从左往右观察，再从右往左观察，发现：分数的分子和分母同时乘或除以一个数，分数的大小不变。当学生的思维进入了僵局，老师又抛出新的问题：一个数是任意的数吗？你能举例说明你刚才的发现是成立的吗？再一次问题互动中，发现“一个数要0除外”。问题串着师生、生生的互动，随着问题的深入，思维的互动也越来越接近数学的本质，把问题剖析得更加清晰、深刻，感受数学课堂中互動探究之美。
三、 形成数学美的结果
（一） 思维美
数学的思维以有序、简洁、缜密为美，在学习中感受数学的美，进而产生美的思维。首先有序观察下，形成简洁、实效、缜密的数学思维。
如：四年级《积的变化规律》
2×6=12;20×6=120;200×6=1200
引导学生从上往下观察，发现一个因数不变，另一个因数乘10，积也乘10;从下往上观察，一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。并做再一次深入思考，这个数是不能为0的，因为任何数与0相乘都得0。从而归纳出了积的变化规律，培养了学生归纳概括的能力和有序思维的能力，让思维变得有条理、有顺序。再者，数学的美，美在它的简洁，所有公式、性质、规律的总结以及符号的运用都让数学的美变得简洁，进而让学生在学习中形成简洁的数学思维。最后，缜密是数学思维的本质体现，数学是严谨的学科，需要学生通过分析、判断、推理得出数学的结论。比如：五年级《植树问题》一课，引导学生进行对植树问题进行分类，两端都栽、一端栽一端不栽、两端都不栽三种情况进行分析，得出棵树与间隔数之间的关系。找出植树的共性和个性，一个间隔一棵树，一一对应这是它们的共性，因植树方式的不同，棵树和间隔数之间的数量关系各自不同这是它们的个性存在。让学生经历整个植树推理的过程，让思维变得缜密。
（二） 思想美
数学思想是数学的精髓，它统领着数学知识的习得、数学方法获取以及数学知识的运用。数学思想是建构在学生大脑里，帮助学生更好地理解、建构数学知识。比如六年级《圆的面积》一课，引导学生思考：如何将求圆面积计算转化为已知计算面积的图形？将圆沿着直径剪开，分成了两个半圆，再把两个半圆偶数等分，拼在一起，就拼成了一个近似的长方形，从中很好地渗透了转化的数学思想。当半圆分得份数越来越多，拼成的图形越来越接近于长方形，激发学生的想象，来帮助完善整个转化后图形，渗透了极限的数学思想。长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径，找出长方形和圆之间一一对应的关系，从长方形面积计算公式推导出圆面积计算公式，让学生感悟推理的数学思想。S=πr2，帮助学生很好的建构模型的思想和符号化的数学思想。这些数学思想的渗透，让学生对知识理解更深刻，数学方法的掌握更全面，对后续相关知识的学习也打下了很好的铺垫。
（三） 素养美
素养，是一个人行为举止的外在表现，包括品格和行为。小学生的数学素养，包括数感、符号意识、空间观念、几何直观等方面，作为一个数学人，其中最核心的素养是培养学生学会数学思考，用数学的方式来解决数学问题。比如四年级《乘法分配律》一课，通过解决情境中的数学问题引出两个等式：
（25 72）×16=25×16 75×16;（34 12）×5=34×5 12×5
如果一开始就抛出一个问题：这类等式在计算上有什么特点？针对这个比较大小的数学问题，在教师的引导下，形成有效的学习，学生可以从下面的三个问题切入思考：1. 等式左边的算式有什么特点？（从外观上看都有一个括号，中间有一个加号，于是在数学上，我们就说是两个数的和）。2. 等式右边的算式有什么特点？（都是括号里的两个数分别同括号外的那个数相乘，在这里解释好“分别”一词）。3. 从左往右观察，这个等式在计算上有什么特点呢？（从而归纳出乘法分配律）。从教学的形式上看，是三个教学步骤，其实呈现的是学生数学上的三个思考，层层深入，环环相扣，让学生对此类问题的数学思考展现得淋漓尽致，并将这种思考的经验用于相关问题的学习中，提升了学生数学思考的素养美。
作者简介：
鄢晓钦，福建省福州市，福建省闽江师范高等专科学校附属实验小学。