【摘要】狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数，存在着一些特殊的性质.在数学分析中，许多定理成立的条件并非充分必要，可能正向成立，而反之不成立，不成立时只需要找到合适的反例即可说明不成立.可通过狄利克雷函数构造一些反例，从而更好地理解矛盾所在.本文分别从狄利克雷函数本身的性质、极限、连续、可导、可积、收敛等角度引入狄利克雷函数及其改造，从而构造反例.
　　【关键词】狄利克雷函数;极限;连续;可导;可积;收敛
　　实数域上的狄利克雷函数虽然不是初等函数，但仍可利用极限函数建立分析表达式表示D（x）=limk→∞（limj→∞（cos（k！πx））2j）（k，j为整数），也可以简单地表示为分段函数的形式D（x）=1x为有理数，0x为无理数.
　　一、函数本身性质带来的反例
　　该函数有如下一些特殊的性质：
　　1.基本性质
　　（1）定义域为整个实数域R.
　　（2）值域为{0，1}，因此有界.
　　（3）函数为偶函数.
　　（4）无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在.
　　（5）以任意有理数为其周期，由实数的连续统理论可知，其无最小正周期.
　　2.分析性质
　　（1）处处不连续.
　　（2）处处不可导.
　　（3）在任何区间内黎曼不可积.
　　（4）函数是可测函数.
　　（5）在单位区间[0，1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭、是否有限）的勒贝格积分值为0 ）
　　从其本身的性质出发，可直接得出：
　　（1）画不出图像（图像客观存在）——不是所有的函数都能画出图像.
　　（2）狄利克雷函数为周期函数，但无最小正周期，它以任意有理数为正周期——不是所有的周期函数都有最小正周期.
　　二、极限有关的反例
　　函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.
　　定义 设函数在某点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于给定ε（无论它多么小），总δ