〔关键词〕 反函数；定义域；值域；分段函数；复合函数
　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463（2008）10（Ａ）—0063—０1
　　
　　反函数的概念以及求反函数的方法是高中数学教学的重点和难点.那么，怎样才能掌握好它呢？本人根据多年的教学经验认为，学习反函数时需要弄清楚以下几个问题.
　　一、互为反函数的两个函数间的关系
　　二、函数y=f（x），y=f-1（x），x=f-1（y）之间的关系
　　三、求反函数的三个步骤
　　1. 反解：将y=f（x）看作方程，解出x=f-1（y）；
　　2. 交换：将x=f-1（y）中的x与y互换位置，得出y=f-1（x）；
　　3. 写出定义域：由y=f（x）的值域，确定y=f-1（x）的定义域.
　　四、注明原函数定义域时，反函数的求法
　　例1：求函数y=x2+2x-4（x＞2）的反函数.
　　解析：由y=x2+2x-4=（x+1）2-5得（x+1）2=y+5.
　　 ∵ x＞2，∴ x+1＞3.
　　∴ x+1=，∴ x=-1.
　　故所求函数的反函数为y=-1（x＞4）.
　　五、未注明原函数定义域时，反函数的求法
　　例2：求函数y=log3 x的反函数.
　　解：由y=log3 x知其定义域为（0，+∞），值域为R.
　　∵ y=log3 x，∴ x=3y.故所求函数的反函数为y=3x.
　　注：当未注明原函数的定义域时，原函数的存在域即为其定义域.
　　六、分段函数的反函数的求法
　　例3：求函数y=x2-6（0≤x≤2）x2（-2≤x＜0）的反函数.
　　解析：求分段函数的反函数，应先求出每一段上函数的反函数，再合成一个函数.分段函数的反函数也是一个分段函数.
　　函数y=x2-6（0≤x≤2）的值域为[-6，-2]，解出x得x=.
　　∴函数y=x2-6（0≤x≤2）的反函数是y=（-6≤x≤-2）.
　　又函数y=x2（-2≤x＜0）的值域为（0，4]，解出x，得x=-（0＜y≤4），∴ y=x2（-2≤x＜0）的反函数为y=-（0＜x≤4）.
　　故所求函数的反函数为y=（-6≤x≤-2），-（0 ＜x ≤4）.
　　七、复合函数的反函数的求法
　　例4：已知f（）=，求f-1（）.
　　解法1：令u=，则x=3u，∴ f（u）==，∴ f（x）==2+. ∵ f（x）≠2，∴ f-1（x）=（x≠2），∴ f-1（）==（x≠6）.
　　解法2：∵ f（）==， ∴ f（x）==2+（f（x）≠2）. ∴f-1（x）=（x≠2），
　　∴ f-1（）==（x≠6）.
　　八、抽象函数的反函数的求法
　　例5：已知函数y=f（x）的反函数为f-1（x）,求函数y=2+3f（2+x）的反函数.
　　解析：由反函数的定义可知，函数y=f（x）的反函数就是从式子y=f（x）中解出x，即得到x=f-1（y）.因此当f（x）中的“x”用某一个代数式t=Φ（x）代替后，则从y=f（Φ（x））中解出Φ（x），即得Φ（x）=f-1（y），由此可求出反函数.
　　∵函数y=f（x）的反函数为f-1（x）. ∴由y=2+3f（2+x）得f（2+x）=，即2+x = f-1（），即x = f-1（）-2.
　　故所求函数的反函数为y=f-1（）-2.