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摘 要：目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加，为了解决此类问题，就此推出了渐进式延迟退休的方案。此方案可以有效缓解我国当前乃至以后由人口老龄化带来的压力，调节市场劳动力供给与需求达到均衡。根据人口老龄化程度、养老金收支平衡、市场劳动力的供求状况等主要因素建立退休年龄的数学模型。对模型进行求解，得到不同年限间男女的最优的退休年龄。
关键词：延迟退休；渐进式；退休年龄
一、引言
（一）研究背景
1.我国的人口老龄化和养老金收支平衡压力大
随着我国人口老龄化进程不断加深以及社会经济的改革升级，中国的养老保险制度所面临的问题也日益严重。我国目前的法定退休年龄是在新中国成立初期确定的，当时的人均寿命只有40岁左右（基于当时的社会背景统计）。60多年来，我国经济社会发展，人口数量，结构和预期寿命都发生着巨大的变化，有必要对退休年龄做出一定的调整。
2.劳动力供给总量逐步减少
随着人受教育程度不断提高，平均受教育年限增加，将使得工作年限不断缩短，在目前劳动力人口减少且老龄化的情况下，限制劳动年龄将抑制老年劳动力的工作意愿，并损害继续工作的老年人的劳动权益。中国退休年龄偏低，因为在这个年龄段中，大多數劳动者依然身体比较健康，精力比较充沛，这种年龄退休造成了中国人力资源的浪费，退休年龄推迟可以延迟劳动力供给的下降。
（二）研究目的
通过研究人均寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况和国民受教育情况，这四个指标对延迟退休的影响，研究几种群体较合理的延迟退休年龄，定量分析渐进式延迟退休政策实施可能带来的影响。
（三）研究意义
人口老龄化问题愈来愈严重，通过研究渐进式延迟退休问题，综合分析我国劳动力供给和老龄化程度等经济社会发展因素，既能确保政策调整前后平稳过渡，也不会对就业状况造成太大的影响。从养老基金方面来看，渐进式延迟退休可以使中国养老统筹基金增加，减少支出，降低国家养老金支出压力。延长退休年龄，可以降低养老保险支付压力，为国家创造更多利益，协调人口结构转变，促进人力资源的积累和充分利用，增强经济竞争力。
二、实验假设
1.死亡率和出生率在一定时间内保持不变。
2.考虑的年限内不存在大型的疾病，（即不出现大规模的人口死亡）。
3.考虑年限内，劳动力类型变化改变不大。
三、实验模型的建立及求解
1.随着国家社会的大力发展，人民的生活水平、医疗水平、社会福利等方面得到显著的提高，但是随之而来的人口老龄化问题，带来了国家养老金负担增加、市场劳动力供给与需求出现严重不平衡等一系列问题。为了解决此类问题，推出了渐进式延迟退休的方案。此方案可以有效缓解我国当前乃至以后由人口老龄化带来的压力，调节市场劳动力供给与需求达到均衡。影响渐进式退休方案的主要因素有人均预期寿命、市场劳动力的供求状况、人口老龄化程度、养老金收支平衡。得出合理可行的具体方案，才能有效解决人口老龄化带来的问题。
假设某职工工作年限为m年且年龄达到人均寿命，则他在m年缴纳的养老金为
（c为职工所缴养老金在工资所占比例）
同时假设他退休十年后没有达到人均寿命年限，则他退休后领到的养老金为：
（d为职工所领养老金占前一年社会平均工资的比例）
得到如下的模型：
求出Q的大小及正负，根据男女比列1.05：1得出了：
当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时，Q=15872.83>0；
当男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时，Q=-7525.64<0。
所以从养老金的角度考虑，男性退休年龄推迟为65岁，女性退休年龄推迟为60岁时，情况更加合理。
2.人口老龄化越来越严重，建立一个未来人口老龄化的模型，预测未来人口老龄化程度，定量分析其对延迟退休政策带来的影响。
假设t年人口的平均年龄公式为：
其中表示t年满i岁但不到i+1年岁的人口总数。
假设t年人口平均寿命公式为：
其中表示年龄死亡率函数。由于死亡率一段时间变化不大，故看为常量。
得出老龄化指数为
3.当人口老龄化程度加剧的时候，劳动力人口比重下降，对社会经济稳定造成了一定的影响，预测未来劳动力比重对延迟退休政策有很大的帮助。
劳动力供求关系数学模型：第t年份劳动力人口数为Y（t）；第t年份人口总数为X（t）。
劳动力人口数与人口总数之比：.
经计算后可以得出我国劳动人口数与人口总数比值的不饱和年份与饱和年份，劳动力供求在第50年份会出现缺口，在2015年的时候，缺口就已经存在。
四、结论
1.通过模型的求解发现，2009-2017年期间，劳动力丰富，处于中国人口红利期，正常就业对社会有益，若延长退休年龄丰富发的劳动力资源变成社会负担。所以这一阶段的主要任务是抑制提前退休。可采取如下措施：
首先，约束和激励机制，严格执行领取养老金的政策，缴费累计不满15年的人员，不给基础养老金，同时一次性支付个人账户储蓄额，并终止基本养老保险关系。而满足规定并延长工作时间和延长缴费时间的人员，应增加领取养老金的数额。其次，对下岗职工和长期失业人员，国家应采取一些措施，促进其再就业，以免过早领取养老金。经计算后可以得出我国劳动人口数与人口总数比值的不饱和年份与饱和年份，劳动力供求在第50年份会出现缺口，在2015年的时候，缺口就已经存在。
到2017年以后青少年和适龄的劳动力人口逐年下降，就业压力得到缓解时，赡养率逐渐上升，养老金平衡的压力大于了就业压力，此时应适当的延长退休年龄。2010―2020年逐步延长女工人的退休年龄，每年延长6个月，10年延长5岁，使女性的退休年龄统一为55岁。
2.2030年，我国人口到达峰值，故2020―2030年女性职工的退休年龄延长至60岁，每年延长6个月，10年延长5岁，男女退休年龄一致。所以从养老金的角度考虑，男性退休年龄推迟为65岁，女性退休年龄推迟为60岁时，情况更加合理。
3.到2050年，中国人口的平均预期寿命可以达到85岁，延长退休年龄的空间较大，故2030―2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。
参考文献
[1]关于延迟退休年龄问题的数学建模，https：//wenku.baidu.com/vi ew/5cda7144f111f18583d05ad3.html？from=search，2015年
[2]《运筹学》，北京，清华大学出版社，2012年。
[3]姜启源，《数学模型》，北京，高等教育出版社，2010年。
基金项目：四川文理学院2017年大学生科学研究项目《渐进式延迟退休问题的数学模型研究》（项目编号：X2017Z022）。
作者简介
甘浩耕（1997—），男，四川成都人，现四川文理学院数学学院2016级1班学生。
（作者单位：四川文理学院数学学院）
关键词：延迟退休；渐进式；退休年龄
一、引言
（一）研究背景
1.我国的人口老龄化和养老金收支平衡压力大
随着我国人口老龄化进程不断加深以及社会经济的改革升级，中国的养老保险制度所面临的问题也日益严重。我国目前的法定退休年龄是在新中国成立初期确定的，当时的人均寿命只有40岁左右（基于当时的社会背景统计）。60多年来，我国经济社会发展，人口数量，结构和预期寿命都发生着巨大的变化，有必要对退休年龄做出一定的调整。
2.劳动力供给总量逐步减少
随着人受教育程度不断提高，平均受教育年限增加，将使得工作年限不断缩短，在目前劳动力人口减少且老龄化的情况下，限制劳动年龄将抑制老年劳动力的工作意愿，并损害继续工作的老年人的劳动权益。中国退休年龄偏低，因为在这个年龄段中，大多數劳动者依然身体比较健康，精力比较充沛，这种年龄退休造成了中国人力资源的浪费，退休年龄推迟可以延迟劳动力供给的下降。
（二）研究目的
通过研究人均寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况和国民受教育情况，这四个指标对延迟退休的影响，研究几种群体较合理的延迟退休年龄，定量分析渐进式延迟退休政策实施可能带来的影响。
（三）研究意义
人口老龄化问题愈来愈严重，通过研究渐进式延迟退休问题，综合分析我国劳动力供给和老龄化程度等经济社会发展因素，既能确保政策调整前后平稳过渡，也不会对就业状况造成太大的影响。从养老基金方面来看，渐进式延迟退休可以使中国养老统筹基金增加，减少支出，降低国家养老金支出压力。延长退休年龄，可以降低养老保险支付压力，为国家创造更多利益，协调人口结构转变，促进人力资源的积累和充分利用，增强经济竞争力。
二、实验假设
1.死亡率和出生率在一定时间内保持不变。
2.考虑的年限内不存在大型的疾病，（即不出现大规模的人口死亡）。
3.考虑年限内，劳动力类型变化改变不大。
三、实验模型的建立及求解
1.随着国家社会的大力发展，人民的生活水平、医疗水平、社会福利等方面得到显著的提高，但是随之而来的人口老龄化问题，带来了国家养老金负担增加、市场劳动力供给与需求出现严重不平衡等一系列问题。为了解决此类问题，推出了渐进式延迟退休的方案。此方案可以有效缓解我国当前乃至以后由人口老龄化带来的压力，调节市场劳动力供给与需求达到均衡。影响渐进式退休方案的主要因素有人均预期寿命、市场劳动力的供求状况、人口老龄化程度、养老金收支平衡。得出合理可行的具体方案，才能有效解决人口老龄化带来的问题。
假设某职工工作年限为m年且年龄达到人均寿命，则他在m年缴纳的养老金为
（c为职工所缴养老金在工资所占比例）
同时假设他退休十年后没有达到人均寿命年限，则他退休后领到的养老金为：
（d为职工所领养老金占前一年社会平均工资的比例）
得到如下的模型：
求出Q的大小及正负，根据男女比列1.05：1得出了：
当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时，Q=15872.83>0；
当男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时，Q=-7525.64<0。
所以从养老金的角度考虑，男性退休年龄推迟为65岁，女性退休年龄推迟为60岁时，情况更加合理。
2.人口老龄化越来越严重，建立一个未来人口老龄化的模型，预测未来人口老龄化程度，定量分析其对延迟退休政策带来的影响。
假设t年人口的平均年龄公式为：
其中表示t年满i岁但不到i+1年岁的人口总数。
假设t年人口平均寿命公式为：
其中表示年龄死亡率函数。由于死亡率一段时间变化不大，故看为常量。
得出老龄化指数为
3.当人口老龄化程度加剧的时候，劳动力人口比重下降，对社会经济稳定造成了一定的影响，预测未来劳动力比重对延迟退休政策有很大的帮助。
劳动力供求关系数学模型：第t年份劳动力人口数为Y（t）；第t年份人口总数为X（t）。
劳动力人口数与人口总数之比：.
经计算后可以得出我国劳动人口数与人口总数比值的不饱和年份与饱和年份，劳动力供求在第50年份会出现缺口，在2015年的时候，缺口就已经存在。
四、结论
1.通过模型的求解发现，2009-2017年期间，劳动力丰富，处于中国人口红利期，正常就业对社会有益，若延长退休年龄丰富发的劳动力资源变成社会负担。所以这一阶段的主要任务是抑制提前退休。可采取如下措施：
首先，约束和激励机制，严格执行领取养老金的政策，缴费累计不满15年的人员，不给基础养老金，同时一次性支付个人账户储蓄额，并终止基本养老保险关系。而满足规定并延长工作时间和延长缴费时间的人员，应增加领取养老金的数额。其次，对下岗职工和长期失业人员，国家应采取一些措施，促进其再就业，以免过早领取养老金。经计算后可以得出我国劳动人口数与人口总数比值的不饱和年份与饱和年份，劳动力供求在第50年份会出现缺口，在2015年的时候，缺口就已经存在。
到2017年以后青少年和适龄的劳动力人口逐年下降，就业压力得到缓解时，赡养率逐渐上升，养老金平衡的压力大于了就业压力，此时应适当的延长退休年龄。2010―2020年逐步延长女工人的退休年龄，每年延长6个月，10年延长5岁，使女性的退休年龄统一为55岁。
2.2030年，我国人口到达峰值，故2020―2030年女性职工的退休年龄延长至60岁，每年延长6个月，10年延长5岁，男女退休年龄一致。所以从养老金的角度考虑，男性退休年龄推迟为65岁，女性退休年龄推迟为60岁时，情况更加合理。
3.到2050年，中国人口的平均预期寿命可以达到85岁，延长退休年龄的空间较大，故2030―2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。
参考文献
[1]关于延迟退休年龄问题的数学建模，https：//wenku.baidu.com/vi ew/5cda7144f111f18583d05ad3.html？from=search，2015年
[2]《运筹学》，北京，清华大学出版社，2012年。
[3]姜启源，《数学模型》，北京，高等教育出版社，2010年。
基金项目：四川文理学院2017年大学生科学研究项目《渐进式延迟退休问题的数学模型研究》（项目编号：X2017Z022）。
作者简介
甘浩耕（1997—），男，四川成都人，现四川文理学院数学学院2016级1班学生。
（作者单位：四川文理学院数学学院）