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摘 要:本文针对高中数学选择题的特点,介绍了常用的几种解题方法,从而培养学生观察、分析、比较,以及选择简捷运算方法的能力,进而使学生真正做到解题的准确和快速。
关键词:高中数学 选择题 常用解法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0114-01
高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。解答选择题的基本原则应是小题不能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。求解选择题的方法是以直接思路肯定为主,间接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。此外,还应注意选择题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快速求解。下面介绍解答数学选择题时常用的几种方法。
一 直接法
从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择的一种方法。运用此方法解题需要扎实的数学基础。
例1.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,则 a2=b(b+c)是A=2B的( )
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而充分条件 (D)既不充分又不必要条件
【解析】设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a2=b(b+c),则sin2A=sinB(sinB+sinC),则=+sinBsinC
∴sinB(sinB+sinC)=sinBsinC,sin(B+A)sin(A-B)=sinBsinC
又sin(B+A)=sinC ∴sin(A-B)=sinB ∴A-B=B,A=2B
若△ABC中,A=2B,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到a2=b(b+c),所以a2=b(b+c)是A=2B的充要条件,选A。
二 特例法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取得越简单、越特殊越好。特例法包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。
1.特殊值法
例2.若0 A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.
【解析】令a1=,a2=,b1=,b2=然后代入要比较大小的几个式子中计算即可,答案为A。
2.特殊函数法
例3.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 ()
A. 增函数且最小值为-5B. 减函数且最小值是-5
C. 增函数且最大值为-5D. 减函数且最大值是-5
【解析】构造特殊函数f(x)=x,显然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最大值为f(-3)=-5,故选C。
3.特殊数列法
例4. 已知等差数列{an}满足a1+a2+•••+a101=0,则有()
A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0D.a51=51
【解析】取满足题意的特殊数列an=0,则a3+a99=0,故选C。
4.特殊方程法
例5.曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0)的渐近线夹角为α,离心率为e,则cos等于( )
A.eB.e2 C. D.
【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为-y2=1,易得离心率e=,cos=,故选C。
5.特殊位置法
例6.過y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线与P、Q两点,若PF与FQ的长分别是p、q,则+ ( )
A、2aB、 C、4a D、
【解析】此抛物线开口向上,过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q,当k变化时PF与FQ的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管PF与FQ长度不定,但其倒数和应为定值,所以可以针对直线的某一特定位置进行求解,而不失一般性。
考虑直线PF与PQ⊥OF时,|PQ|=|FQ|=,所以+=2a+2a=4a,故选C。
三 图解法
利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
例7.函数f(x)=的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】考察问题的几何意义:
令y=,k=,
则直线AP与半圆y=
有公共点(如图所示),
∴f(x)max=kPA=tan300=,故选B。
【点评】图解法(数形结合法)它体现了数形结合的思想,它是将函数、方程、不等式、甚至某些)式子,以图形表示后,再设法解决的基本方法。其思维形象直观、生动活泼,图解法要求我们不但能由“数”到“形”,而且还必须自觉地将“形”转化到“数”。
四 代入验证法
将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择项的一种方法。
例8.函数y=(sin2x+)图象中的一条对称轴的方程是( )
(A)x=-(B)x=-(C) x=(D)x=
【解析】把选择项逐次代入,当x=-时,y=-1,可见x=-是对称轴,又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”,故选A。
或直接法:∵函数y=(sin2x+)的图象的对称轴方程为2x+=kπ+(k∈Z),则x=-π,当k=1时,x=-,故选A。
【点评】代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
五 筛选法
充分利用数学选择题是单选题的特征,从选择项入手,根据题设条件与各选择项之间的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
例9.给定四条曲线:①x2+y2=1,②+=1,③x2+=1,④+y2=1其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④D. ①③④
【解析】分析选择项可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中,②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线 +=1是相交的,因为直线上的点(,0)在椭圆内,对照选项,应选D。
六 分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。 分析法主要包括:特征分析法、逻辑分析法、直觉分析法等。
例10.甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为()
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
【解析】先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为[C120.6×0.4]×0.6=0.288,所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648,选D。
现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2人获胜的概率之和为1,而甲获胜的概率比乙大,应该超过0.5,只有选D。
七 估算法
所谓估算法就是一种粗略的计算方法,利用“式”的放大或缩小,或“变量”的极端情况(如“端点”、“相等”、“极值点”和“极限状态”),对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。
例11.已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是600,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为()
A、12B、 24 C、6 D、18
【解析】先求出△ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;也可先求出△ABC的面积为12,之后求出顶点P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再用等体积法求得结果,但都不如用估值法:假设底面三角形三边长都是8,则面积为×82=16,这个面积当然比原来大了一点儿,再利用射影面积公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B。
总之,从考试的角度来看,解答选择题只要选对就行,至于用什么“策略”,“手段”都是无关紧要的。但平时做题时要尽量弄清每一个选择项正确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速。
关键词:高中数学 选择题 常用解法
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0114-01
高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。解答选择题的基本原则应是小题不能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。求解选择题的方法是以直接思路肯定为主,间接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。此外,还应注意选择题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快速求解。下面介绍解答数学选择题时常用的几种方法。
一 直接法
从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择的一种方法。运用此方法解题需要扎实的数学基础。
例1.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,则 a2=b(b+c)是A=2B的( )
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而充分条件 (D)既不充分又不必要条件
【解析】设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a2=b(b+c),则sin2A=sinB(sinB+sinC),则=+sinBsinC
∴sinB(sinB+sinC)=sinBsinC,sin(B+A)sin(A-B)=sinBsinC
又sin(B+A)=sinC ∴sin(A-B)=sinB ∴A-B=B,A=2B
若△ABC中,A=2B,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到a2=b(b+c),所以a2=b(b+c)是A=2B的充要条件,选A。
二 特例法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取得越简单、越特殊越好。特例法包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。
1.特殊值法
例2.若0
【解析】令a1=,a2=,b1=,b2=然后代入要比较大小的几个式子中计算即可,答案为A。
2.特殊函数法
例3.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 ()
A. 增函数且最小值为-5B. 减函数且最小值是-5
C. 增函数且最大值为-5D. 减函数且最大值是-5
【解析】构造特殊函数f(x)=x,显然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最大值为f(-3)=-5,故选C。
3.特殊数列法
例4. 已知等差数列{an}满足a1+a2+•••+a101=0,则有()
A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0D.a51=51
【解析】取满足题意的特殊数列an=0,则a3+a99=0,故选C。
4.特殊方程法
例5.曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0)的渐近线夹角为α,离心率为e,则cos等于( )
A.eB.e2 C. D.
【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为-y2=1,易得离心率e=,cos=,故选C。
5.特殊位置法
例6.過y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线与P、Q两点,若PF与FQ的长分别是p、q,则+ ( )
A、2aB、 C、4a D、
【解析】此抛物线开口向上,过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q,当k变化时PF与FQ的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管PF与FQ长度不定,但其倒数和应为定值,所以可以针对直线的某一特定位置进行求解,而不失一般性。
考虑直线PF与PQ⊥OF时,|PQ|=|FQ|=,所以+=2a+2a=4a,故选C。
三 图解法
利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
例7.函数f(x)=的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】考察问题的几何意义:
令y=,k=,
则直线AP与半圆y=
有公共点(如图所示),
∴f(x)max=kPA=tan300=,故选B。
【点评】图解法(数形结合法)它体现了数形结合的思想,它是将函数、方程、不等式、甚至某些)式子,以图形表示后,再设法解决的基本方法。其思维形象直观、生动活泼,图解法要求我们不但能由“数”到“形”,而且还必须自觉地将“形”转化到“数”。
四 代入验证法
将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择项的一种方法。
例8.函数y=(sin2x+)图象中的一条对称轴的方程是( )
(A)x=-(B)x=-(C) x=(D)x=
【解析】把选择项逐次代入,当x=-时,y=-1,可见x=-是对称轴,又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”,故选A。
或直接法:∵函数y=(sin2x+)的图象的对称轴方程为2x+=kπ+(k∈Z),则x=-π,当k=1时,x=-,故选A。
【点评】代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
五 筛选法
充分利用数学选择题是单选题的特征,从选择项入手,根据题设条件与各选择项之间的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
例9.给定四条曲线:①x2+y2=1,②+=1,③x2+=1,④+y2=1其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④D. ①③④
【解析】分析选择项可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中,②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线 +=1是相交的,因为直线上的点(,0)在椭圆内,对照选项,应选D。
六 分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。 分析法主要包括:特征分析法、逻辑分析法、直觉分析法等。
例10.甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为()
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
【解析】先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为[C120.6×0.4]×0.6=0.288,所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648,选D。
现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2人获胜的概率之和为1,而甲获胜的概率比乙大,应该超过0.5,只有选D。
七 估算法
所谓估算法就是一种粗略的计算方法,利用“式”的放大或缩小,或“变量”的极端情况(如“端点”、“相等”、“极值点”和“极限状态”),对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。
例11.已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是600,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为()
A、12B、 24 C、6 D、18
【解析】先求出△ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;也可先求出△ABC的面积为12,之后求出顶点P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再用等体积法求得结果,但都不如用估值法:假设底面三角形三边长都是8,则面积为×82=16,这个面积当然比原来大了一点儿,再利用射影面积公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B。
总之,从考试的角度来看,解答选择题只要选对就行,至于用什么“策略”,“手段”都是无关紧要的。但平时做题时要尽量弄清每一个选择项正确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速。