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摘要：受保持矩阵一些性质的函数的启发，研究了特征不为2的域上矩阵空间的函数保持问题。主要运用线性代数的知识，从寻求新的不变量角度出发，通过寻求特殊的对合矩阵，刻画了特征不为2的域上全矩阵空间及上三角矩阵空间的保持对合矩阵的函数。
关键词：保持；对合矩阵；上三角矩阵；函数
中图分类号：O153.3 MSC（2010）主题分类：16S50文献标志码：A
关于保持问题的研究，许多学者做了大量的工作，取得了丰富的成果，文献[1]研究了全矩阵空间上的保幂等的函数的形式，文献[2]研究了域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数，但关于保对合的函数的文章至今还没有，文献[3]及文献[4]从不同矩阵空间上研究了保幂等的加法映射，文献[5]研究了保逆的线性算子，文献[6]从交换整环上研究保持问题，有关这一领域的研究资料可参看文献[7]-文献[14]。文献[15]给出了幂等矩阵与对合矩阵的关系，然而利用文献[1]及文献[2]所给出的幂等矩阵，再利用文献[15]所得到的对合矩阵，却得不到函数的形式，本文重新选取特殊的对合矩阵，得到域上全矩阵空间及上三角矩阵空间的保持对合的函数的形式。
1符号及基本概念
设F是特征不为2的域，F*表示F＼{0}，Mn（F）为F上所有n阶矩阵的全体，Tn（F）为F上所有n阶上三角矩阵的全体，Af=f（aij）。
定义1[15]称A是对合矩阵，如果A满足A2=In。
定义2[14]称函数f：F→F是域上全矩阵空间的保持对合的函数，如果f满足
A2=In（Af）2=InA∈Mn（F）；
称函数f：F→F是域上上三角矩阵空间的保持对合的函数，如果f满足
A2=In（Af）2=In，A∈Tn（F）。
定义3[15]称f：F→F是同态，如果f满足f（a+b）=f（a）+f（b），f（ab）=f（a）f（b）。
2全矩阵空间上保持对合的函数
定理1函数f是Mn（F）（n≥4）上保持对合的充要条件是f=±δ，其中δ是域F上的自同构。
证明充分性显然，下面证明必要性。
步骤一：证明f（0）=0，f（1）=±1。
由I2n=In，得（Ifn）2=In。通过计算得：
3上三角矩阵空间上保持对合的函数
定理2函数f是Tn（F）（n≥4）上的保持对合的充要条件是f=±δ，其中δ是域F上的自同构。
证明由于f是Tn（F）（n≥4）上的保持对合的函数，故对A∈Tn（F）Af∈Tn（F）f（0）=0。
参考文献/References：
[1]YAO Hongmei，SONG Xiaocui，WANG Guanghui.A note on functions preserving some properties of matrices[A].Proceeding of the Sixth International Conference of Matrices and Operators[C].[S.l.]：[s.n.]，2011：7780.
[2]樊玉环，王佩臣.域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数[J].河北科技大学学报，2013，34（3）：200203.
FAN Yuhuan，WANG Peichen.Function preserving idempotence of all upper triangular matrices over any field[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（3）：200203.
[3]张显，曹重光.域上上三角矩阵空间保幂等与立方幂等的加法单映射[J].数学杂志，2004，24（4）：416420.
ZHANG Xian，CAO Chongguang.Additive injective maps preserving idempotence and tripotence on the space of triangular matrices over fields [J].Journal of Mathematics，2004，24（4）：416420.
[4]佟鑫，曹重光.域上从对称矩阵空间到全矩阵空间保幂等的线性算子[J].黑龙江大学自然科学学报，2003，20（3）：2528.
TONG Xin，CAO Chongguang.Linear operators preserving idempotence from symmetric matrix spaces to all matrix spaces over a field[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2003，20（3）：2528.
[5]CAO Chongguang.Linear operators that preserve MP inverses of matrices[J].Northeast Mathematics Journal，1993，9（2）：255260.
[6]张显.交换整环上的上三角矩阵的保幂等的线性算子[J].新疆大学学报，1993，10（2）：2527.
ZHANG Xian.Linear operators preserving idempotent on the upper triangular matrix over commutative domain [J].Journal of Xinjiang University，1993，10（2）：2527. [7]CHAN G，LIM M，TAN K.Linear preservers on matrices[J].Linear Algebra Appl，1987，93：6772.
[8]LI C，PIERCE S.Linear preservers problems [J].Am Math Mon，2001，108（7）：591605.
[9]曹重光.实数域上有限可除代数矩阵空间保幂等的线性算子[J].数学杂志，1992，12（3）：349353.
CAO Chongguang.Linear operators preserving idempotent on the finite division algebra matrix space over the real number field [J].Journal of Mathematics，1992，12（3）：349353.
[10]CAO Chongguang，ZHANG Xian .Additive operators preserving idempotent matrices over field and applications [J].Lin Alg Appl，1996，248：327338.
[11]曹重光.某些环上矩阵模的保幂等的线性映射[J].黑龙江大学自然科学学报，1999，16（1）：14 .
CAO Chongguang.Linear maps preserving idempotent of matrix module over the some rings [J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，1999，16（1）：14.
[12]MARCUS M.All linear operators leaving the unitary group invariant [J].Duke Math J，1959，26（1）：155163.
[13]MARCUS M，WESTWICK R.Linear Maps on skew symmetric matrices： The invariance of elementary symmetric functions [J].Pacific J Math Mon，1960，10：917924.
[14]侯晋川，崔建莲.算子代数上线性映射引论[M].北京：科学出版社，2002.
HOU Jinchuan，CUI Jianlian.Introduction to linear maps on the operator algebras[M].Beijing： Science Press，2002.
[15]张显，曹重光.保不变量的矩阵加群同态[M].哈尔滨：哈尔滨出版社，2001.
ZHANG Xian，CAO Chongguang.Additive Operators Preserving Invariants[M].Harbin： Harbin Press，2001.
[16]华罗庚，万哲先.典型群[M].上海：上海科技出版社，1962.
关键词：保持；对合矩阵；上三角矩阵；函数
中图分类号：O153.3 MSC（2010）主题分类：16S50文献标志码：A
关于保持问题的研究，许多学者做了大量的工作，取得了丰富的成果，文献[1]研究了全矩阵空间上的保幂等的函数的形式，文献[2]研究了域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数，但关于保对合的函数的文章至今还没有，文献[3]及文献[4]从不同矩阵空间上研究了保幂等的加法映射，文献[5]研究了保逆的线性算子，文献[6]从交换整环上研究保持问题，有关这一领域的研究资料可参看文献[7]-文献[14]。文献[15]给出了幂等矩阵与对合矩阵的关系，然而利用文献[1]及文献[2]所给出的幂等矩阵，再利用文献[15]所得到的对合矩阵，却得不到函数的形式，本文重新选取特殊的对合矩阵，得到域上全矩阵空间及上三角矩阵空间的保持对合的函数的形式。
1符号及基本概念
设F是特征不为2的域，F*表示F＼{0}，Mn（F）为F上所有n阶矩阵的全体，Tn（F）为F上所有n阶上三角矩阵的全体，Af=f（aij）。
定义1[15]称A是对合矩阵，如果A满足A2=In。
定义2[14]称函数f：F→F是域上全矩阵空间的保持对合的函数，如果f满足
A2=In（Af）2=InA∈Mn（F）；
称函数f：F→F是域上上三角矩阵空间的保持对合的函数，如果f满足
A2=In（Af）2=In，A∈Tn（F）。
定义3[15]称f：F→F是同态，如果f满足f（a+b）=f（a）+f（b），f（ab）=f（a）f（b）。
2全矩阵空间上保持对合的函数
定理1函数f是Mn（F）（n≥4）上保持对合的充要条件是f=±δ，其中δ是域F上的自同构。
证明充分性显然，下面证明必要性。
步骤一：证明f（0）=0，f（1）=±1。
由I2n=In，得（Ifn）2=In。通过计算得：
3上三角矩阵空间上保持对合的函数
定理2函数f是Tn（F）（n≥4）上的保持对合的充要条件是f=±δ，其中δ是域F上的自同构。
证明由于f是Tn（F）（n≥4）上的保持对合的函数，故对A∈Tn（F）Af∈Tn（F）f（0）=0。
参考文献/References：
[1]YAO Hongmei，SONG Xiaocui，WANG Guanghui.A note on functions preserving some properties of matrices[A].Proceeding of the Sixth International Conference of Matrices and Operators[C].[S.l.]：[s.n.]，2011：7780.
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[3]张显，曹重光.域上上三角矩阵空间保幂等与立方幂等的加法单映射[J].数学杂志，2004，24（4）：416420.
ZHANG Xian，CAO Chongguang.Additive injective maps preserving idempotence and tripotence on the space of triangular matrices over fields [J].Journal of Mathematics，2004，24（4）：416420.
[4]佟鑫，曹重光.域上从对称矩阵空间到全矩阵空间保幂等的线性算子[J].黑龙江大学自然科学学报，2003，20（3）：2528.
TONG Xin，CAO Chongguang.Linear operators preserving idempotence from symmetric matrix spaces to all matrix spaces over a field[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2003，20（3）：2528.
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[6]张显.交换整环上的上三角矩阵的保幂等的线性算子[J].新疆大学学报，1993，10（2）：2527.
ZHANG Xian.Linear operators preserving idempotent on the upper triangular matrix over commutative domain [J].Journal of Xinjiang University，1993，10（2）：2527. [7]CHAN G，LIM M，TAN K.Linear preservers on matrices[J].Linear Algebra Appl，1987，93：6772.
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CAO Chongguang.Linear operators preserving idempotent on the finite division algebra matrix space over the real number field [J].Journal of Mathematics，1992，12（3）：349353.
[10]CAO Chongguang，ZHANG Xian .Additive operators preserving idempotent matrices over field and applications [J].Lin Alg Appl，1996，248：327338.
[11]曹重光.某些环上矩阵模的保幂等的线性映射[J].黑龙江大学自然科学学报，1999，16（1）：14 .
CAO Chongguang.Linear maps preserving idempotent of matrix module over the some rings [J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，1999，16（1）：14.
[12]MARCUS M.All linear operators leaving the unitary group invariant [J].Duke Math J，1959，26（1）：155163.
[13]MARCUS M，WESTWICK R.Linear Maps on skew symmetric matrices： The invariance of elementary symmetric functions [J].Pacific J Math Mon，1960，10：917924.
[14]侯晋川，崔建莲.算子代数上线性映射引论[M].北京：科学出版社，2002.
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[15]张显，曹重光.保不变量的矩阵加群同态[M].哈尔滨：哈尔滨出版社，2001.
ZHANG Xian，CAO Chongguang.Additive Operators Preserving Invariants[M].Harbin： Harbin Press，2001.
[16]华罗庚，万哲先.典型群[M].上海：上海科技出版社，1962.