摘要：实现函数与方程的互相转化、接轨，以达到解决问题的目的。在高中数学的许多题中都有函数与方程思想的应用和体现，
　　关键词：函数 方程 思想方法
　　【中图分类号】G424 【文献标识码】A 【文章编号】
　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。在高中数学的许多题中都有函数与方程思想的应用和体现，现就几个典型的立体加以赘述：
　　例1、 设不等式2x-1>m（x-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
　　【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式（x-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]上恒成立的问题。对此的研究，设f（m）=（x-1）m-（2x-1），则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在[-2，2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
　　【解】问题可变成关于m的一次不等式：（x-1）m-（2x-1）<0在[-2，2] 恒成立，设f（m）=（x-1）m-（2x-1），
　　则
　　解得x∈（，）
　　【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x-1>m（x-1）的解集是[-2，2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m（x-1）在[-2，2]上恒成立时求m的范围。
　　一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
　　例2、设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a=12，S>0，S<0 。
　　①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。
　　【分析】 ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
　　【解】① 由a=a+2d=12，得到a=12-2d，所以
　　S=12a+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，
　　S=13a+78d=13（12-2d）+78d=156+52d<0。
　　解得：-　　② S=na+n（n1-1）d=n（12-2d）+n（n-1）d
　　=[n-（5-）]-[（5-）]
　　因为d<0，故[n-（5-）]最小时，S最大。由-　　【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
　　例3、 设f（x）=lg，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围。
　　【分析】当x∈（-∞，1]时f（x）=lg有意义的函数问题，转化为1+2+4a>0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题。
　　【解】 由题设可知，不等式1+2+4a>0在x∈（-∞，1]上恒成立，
　　即：（）+（）+a>0在x∈（-∞，1]上恒成立。
　　设t=（）， 则t≥， 又设g（t）=t+t+a，其对称轴为t=-
　　∴ t+t+a=0在[，+∞）上无实根， 即 g（）=（）++a>0，得a>-
　　所以a的取值范围是a>-。
　　【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
　　在解决不等式（）+（）+a>0在x∈（-∞，1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t=（）， t≥，则有a=-t-t∈（-∞，-]，所以a的取值范围是a>-。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。