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以直线为载体求解点的坐标、线段的长度等的规律探究题，需充分发挥数形结合思想，从图形结构的形成过程分析，从问题的简单情形或特殊情况入手，探究发现、归纳猜想，方能用代数式描述出其中隐含的数学规律.
一、点的坐标规律
例1（2020·湖北·天门）如图1，已知直线a：y = x，直线b：y [=-12]x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，……按此作法进行下去，则点P2 020的横坐标为 .
解析：观察图象可知，当k = 4n + 1（n = 0，1，2…）时，[Pk]在第一象限且横坐标为正;当k = 4n + 2时，[Pk]在第二象限且横坐标为负;当k = 4n + 3时，[Pk]在第三象限且横坐标为负;当k = 4n时，[Pk]在第四象限且横坐标为正. 由2020 ÷ 4 = 505，可知点P2020的横坐标为正.
∵点P（1，0），PP1[?]y轴且P1在直线y = x上，∴P1（1，1）.
∵P1P2[?]x轴，∴P2的纵坐标与P1的纵坐标相等且为1.
∵P2在直线y [=-12]x上，∴1[=-12]x，∴x = - 2，
∴P2（ - 2，1），即P2的横坐标为 - 21.
同理，P3的横坐标为 - 21，
P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，
P6的横坐标为 - 23，P7的横坐标为 - 23，
P8的橫坐标为24，……
由此猜想：当n为偶数时，Pn的横坐标为[（-1）12n][212n]，
∴P2020的横坐标为21010. 故应填21010.
二、线段的长度规律
例2（2020·辽宁·锦州）如图2，过直线l：y [=3x]上的点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2;过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3;……按照此方法继续下去，若OB1 = 1，则线段AnAn - 1的长为 . （结果用含正整数n的代数式表示）
解析：由直线l：y [=3]x，可求得直线l与x轴的夹角为60°.
∵OB1 = 1，A1B1⊥l，∴OA1[=12]OB1[=12]，
∴OA2 = 2OB1 = 2，∴A2A1 = 2 [- 12=32] = 3 × 2 -1.
∵OA2 = 2， ∴OB2 = 2OA2 = 4，∴OA3 = 2OB2 = 8，
∴A3A2 = 8 - 2 = 6 = 3 × 21，∴OB3 = 2OA3 = 16，
∴OA4 = 2OB3 = 32，∴A4A3 = OA4 - OA3 = 32 - 8 = 24 = 3 × 23，…
由此猜想AnAn - 1 = 3 × 22n - 5.
三、直线与坐标轴围成三角形的面积规律
例3（2020·四川·达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y = kx + k + 1与直线l2：y = （k + 1）x + k + 2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ;记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1 = ，S1 + S2 + S3 + … + S100的值为 .
解析：将直线l1和直线l2的解析式分别变形可得：
y = kx + k + 1 = k（x + 1） + 1，y = （k + 1）x + k + 2 = k（x + 1） + （x + 1） + 1 = （k + 1）（x + 1） + 1，
当x = - 1时，y = 1，所以无论k取何值，直线l1与l2都经过定点（ - 1，1）.
∵直线l1：y = kx + k + 1与x轴的交点为A [-k+1k，0]，
直线l2：y = （k + 1）x + k + 2与x轴的交点为B [-k+2k+1，0]，
∴以线段AB为底、定点（- 1，1）的纵坐标为高，Sk[ =12×-k+2k+1+k+1k ] × 1 [=12k（k+1）]，
∵k为正整数，∴当k = 1时，S1 [=12×11×2=14];
∴S1 + S2 + S3 + … + S100 = [12] [×] [11×2+12×3+…+1100×101]
[=12 × ][1-12+12-13+…+1100-1101][ =50101].
故应填：（ - 1，1），[12k（k+1）]，[50101].
（2020·辽宁·鞍山）如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y [=33]x（x ≥ 0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（ ）.
A. 22021[3] B. 22020[3] C. 22019[3] D. 22018[3]
答案：D
一、点的坐标规律
例1（2020·湖北·天门）如图1，已知直线a：y = x，直线b：y [=-12]x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，……按此作法进行下去，则点P2 020的横坐标为 .
解析：观察图象可知，当k = 4n + 1（n = 0，1，2…）时，[Pk]在第一象限且横坐标为正;当k = 4n + 2时，[Pk]在第二象限且横坐标为负;当k = 4n + 3时，[Pk]在第三象限且横坐标为负;当k = 4n时，[Pk]在第四象限且横坐标为正. 由2020 ÷ 4 = 505，可知点P2020的横坐标为正.
∵点P（1，0），PP1[?]y轴且P1在直线y = x上，∴P1（1，1）.
∵P1P2[?]x轴，∴P2的纵坐标与P1的纵坐标相等且为1.
∵P2在直线y [=-12]x上，∴1[=-12]x，∴x = - 2，
∴P2（ - 2，1），即P2的横坐标为 - 21.
同理，P3的横坐标为 - 21，
P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，
P6的横坐标为 - 23，P7的横坐标为 - 23，
P8的橫坐标为24，……
由此猜想：当n为偶数时，Pn的横坐标为[（-1）12n][212n]，
∴P2020的横坐标为21010. 故应填21010.
二、线段的长度规律
例2（2020·辽宁·锦州）如图2，过直线l：y [=3x]上的点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2;过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3;……按照此方法继续下去，若OB1 = 1，则线段AnAn - 1的长为 . （结果用含正整数n的代数式表示）
解析：由直线l：y [=3]x，可求得直线l与x轴的夹角为60°.
∵OB1 = 1，A1B1⊥l，∴OA1[=12]OB1[=12]，
∴OA2 = 2OB1 = 2，∴A2A1 = 2 [- 12=32] = 3 × 2 -1.
∵OA2 = 2， ∴OB2 = 2OA2 = 4，∴OA3 = 2OB2 = 8，
∴A3A2 = 8 - 2 = 6 = 3 × 21，∴OB3 = 2OA3 = 16，
∴OA4 = 2OB3 = 32，∴A4A3 = OA4 - OA3 = 32 - 8 = 24 = 3 × 23，…
由此猜想AnAn - 1 = 3 × 22n - 5.
三、直线与坐标轴围成三角形的面积规律
例3（2020·四川·达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y = kx + k + 1与直线l2：y = （k + 1）x + k + 2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ;记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1 = ，S1 + S2 + S3 + … + S100的值为 .
解析：将直线l1和直线l2的解析式分别变形可得：
y = kx + k + 1 = k（x + 1） + 1，y = （k + 1）x + k + 2 = k（x + 1） + （x + 1） + 1 = （k + 1）（x + 1） + 1，
当x = - 1时，y = 1，所以无论k取何值，直线l1与l2都经过定点（ - 1，1）.
∵直线l1：y = kx + k + 1与x轴的交点为A [-k+1k，0]，
直线l2：y = （k + 1）x + k + 2与x轴的交点为B [-k+2k+1，0]，
∴以线段AB为底、定点（- 1，1）的纵坐标为高，Sk[ =12×-k+2k+1+k+1k ] × 1 [=12k（k+1）]，
∵k为正整数，∴当k = 1时，S1 [=12×11×2=14];
∴S1 + S2 + S3 + … + S100 = [12] [×] [11×2+12×3+…+1100×101]
[=12 × ][1-12+12-13+…+1100-1101][ =50101].
故应填：（ - 1，1），[12k（k+1）]，[50101].
（2020·辽宁·鞍山）如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y [=33]x（x ≥ 0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（ ）.
A. 22021[3] B. 22020[3] C. 22019[3] D. 22018[3]
答案：D