论文部分内容阅读
摘 要：本文利用广义双曲分布（Generalized Hyperbolic，GH）来刻画沪深300ETF收益率尖峰、偏态、厚尾的特征，弥补了正态分布的不足。并利用GARCH过程描述其时变波动率的特征，两者结合建立了基于广义双曲分布的GARCH模型（GARCH-GH）为沪深300ETF期权定价。经测度转换至等价鞅测度下，用蒙特卡洛方法模拟出样本路径来为沪深300ETF欧式看涨期权定价。结果显示，从平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）以及平均绝对百分比误差（MAPE）三个指标来看GARCH-GH模型比AHBS模型、B-S模型的定价误差更小。
关键词：广义双曲分布 GARCH模型 蒙特卡洛模拟 沪深300ETF期权
一、引言
2019年12月13日，沪深交易所上市沪深300ETF期权，其涵盖更多A股标的，完善了多层次市场体系。新期权的推出是国内资本市场供给侧结构性改革的新成果，是全面深化资本市场改革的重要措施，对进一步完善多层次资本市场产品体系，吸引长期资金入市，深化资本市场对外开放非常有利。并且能够与上证50ETF期权发挥协同作用，使得风险管理体系更加完整。新期权品种的上市标志着我国衍生品市场走向更加成熟和完善。同时，期权定价问题自始至终都是期权研究领域的关注重点。通过利用合理有效的理论模型对沪深300ETF期权进行研究，不仅能够避免出现盲目投资、投机行为，还可以为监管机构监控市场风险提供有效信息。
Black和Scholes（1973）假设标的资产价格服从几何布朗运动，波动率和无风险利率为常数值，并用无风险利率进行贴现，推导出B-S模型。但是学者们利用B-S模型进行实证分析时发现波动率并不满足常数这一假设，而是会出现微笑、偏斜的现象。同时标的资产收益率也不符合正态分布，而是呈现尖峰、偏态、厚尾的特征。Dupire（1994）假设标的资产收益波动率为资产价格和剩余期限的确定性函数，放松了波動率为常数的假设，并提出确定性波动率函数（Deterministic Volatility Function，DVF）期权定价模型。在此基础上，Dumas，Fleming和Whaley（1998）将DVF运用到B-S模型中，构建了AHBS模型。此外Kim I.J.和Kim S.（2004）又对AHBS模型做了改变，他们以期权的在值程度作为波动率函数的变量。Duan（1995）用GARCH过程来描述波动率时变的特点，在正态分布假设下，来为期权定价。但是，正态分布难以捕捉标的资产对数收益率的尖峰、偏态、厚尾的特征。
Jensen和Lunde（2001）基于正态逆高斯分布（NIG）建立了期权定价模型来进行实证分析，且正态逆高斯分布是广义双曲分布（GH）的一个特殊情况。Chorro、Guégan和Ielpo（2012）基于广义双曲分布建立了GARCH-GH模型，广义双曲分布可以更好地捕捉标的资产收益率的特征，并通过CAC40指数期权和S&P500指数期权进行实证分析。郝梦和杜子平（2017）基于GARCH-GH模型对上证50ETF期权进行实证研究，结果表明要比GARCH-Gaussian模型与B-S模型更接近期权实际价格。杨晓辉和王裕彬（2019）以上证50ETF为标的，利用GARCH模型对其进行历史波动率研究，结果表明隐含波动率数值相较于历史波动率研判结果更准确。宫文秀和许作良（2020）在波动率满足GARCH模型下，建立三叉树模型，结果表明基于GARCH模型的三叉树定价方法是有效的，且计算稳定。
本文的主要研究是比较各个模型对沪深300ETF期权的定价效果。通过文献整理选择B-S模型、AHBS模型和GARCH-GH模型作为本文的理论定价模型。其原因是这三个模型对标的资产收益率的波动率假设逐渐放松，且从正态分布到广义双曲分布对标的资产收益率特征的捕捉逐渐增强，能够起到比较好的对比效果。结果表明，相较于B-S模型与AHBS模型，GARCH-GH模型的结果更接近其实际价格。
中国证券期货2021年6月
第2期基于广义双曲分布的沪深300ETF期权定价实证研究
二、定价模型
（一）广义双曲分布
广义双曲分布因其密度函数的对数函数是双曲线形状而得名，并且可以较好地描述标的资产收益率呈现出的尖峰、偏态、厚尾特征。
对于（λ，α，β，δ，μ）∈
5且δ>0，α>β>0，一维广义双曲分布GH（λ，α，β，δ，μ）密度函数（density function）为
dGH（x，λ，α，β，δ，μ）=（α2-β2/δ）λ2πKλ（δα2-β2）×eβ（x-μ）Kλ-1/2（αδ2+（x-μ）2）（δ2+（x-μ）2/α）1/2-λ（1）
其中，Kλ表示指标值为λ的一个修正三阶贝塞尔函数，δ为尺度参数，μ为位置参数，α和β分别表示峰度和偏度;当λ=-1/2时，为正态逆高斯分布（NIG），当λ=1时，为双曲线分布（HYP）。广义双曲分布的矩生成函数（moment generating function）的具体形式为
GGH（u）=eμuα2-β2α2-（β+u）2λ/2×Kλ[δα2-（β+u）2]Kλ（δα2-β2），β+u<α（2）
并且，该分布族经过仿射变换后是稳定的，即广义双曲分布的各个参数不因随机变量x的仿射变化而改变，这一点非常重要，因为在GARCH模型的设定下，由此可以推导出对数收益率的条件分布。 （二）GARCH过程
GARCH过程可以捕捉时变波动率的特点，且能很好地刻画金融市场的收益率序列。Bollerslev（1986）推导出了广义自回归条件异方差过程，给出了GARCH（p，q）模型，若εt～GARCH（p，q）则
εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（3）
其中，（zt）t∈0，1，…，T是期望为0、方差为1的独立同分布的随机变量，各个参数α0>0，（αi）i∈1，2，…，q≥0，（βj）j∈1，2，…，p≥0，p≥0，q≥0以保证条件方差严格为正，且α1+…+αq+β1+…+βp<1确保平稳性。
运用GARCH过程对标的资产收益率残差的方差进行波动率建模，可以更好地描述标的资产收益率时间序列的异方差性问题，因此在金融研究领域得到广泛应用。本文运用GARCH过程来描述华泰柏瑞沪深300ETF日对数收益率的波动率。
（三）GARCH-GH模型
标的资产收益率存在一定的集聚现象，且其波动率是随机的并围绕均值上下波动，所以可以由GARCH过程来描述。
在实际概率测度下，标的资产的动态价格过程为（St）t∈0，1，…，T，则其对数收益率为
Yt=ln（StSt-1）=r+mt+htztεt，S0=s（4）
其中，r为无风险收益率是个常数，其随时间变化的超额收益mt取决于恒定的风险溢价λ0;在实证研究中mt的形式是固定的，本文保留其经典形式mt=λ0ht-12ht。接下来用GARCH过程来描述标的资产的方差，建立GARCH-GH模型为
Yt=ln（StSt-1）=r+λ0ht-12ht+htzt，εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（5）
所以在实际概率测度下，对于广义双曲分布，Yt在给定Ft-1[Et=σ（zu;0≤u≤t）]t∈0，1，…，T是实际概率测度下直到T时刻的信息集）条件下的分布服从
Yt～GH（λ，αht，βht，δht，r+mt+μht）（6）
构建GARCH-GH模型后，可以将模型分为均值方程式（4）和方差方程式（3）。对于均值方程其zt～GH（λ，α，β，δ，μ），准确地知道其密度函数方程式（1），采用经典最大似然估计来得出参数（λ，α，β，δ，μ），对于方差方程采用拟最大似然估计。
（四）Ad Hoc Black-Scholes模型
Ad Hoc Black-Scholes模型（AHBS）是在B-S模型的基础上假设标的资产收益率的波动率为资产价格和剩余期限的确定性函数，放松了波动率为常数的假设，其中，Kim I.J.和Kim S.改善了AHBS模型，以期权的在值程度作为波动率函数的变量，其波动率函数形式为
σAHBS=b0+b1（St/K）+b2（St/K）2（7）
其中σAHBS为标的资产价格为St、执行价格为K的期权的波动率。本文采用以上函数形式作为AHBS模型中的确定性波动率函数（DVF）。
将σAHBS代入至B-S模型的定价公式中，便可以得到AHBS模型欧式看涨期权的定价公式为
Ct=StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）
d1=ln（St/K）+（r+σ2AHBS/2）（T-t）σAHBST-t，d2=d1-σAHBST-t（8）
三、定價方法
（一）随机贴现因子
在等价鞅测度下，期权价格为标的资产的收益贴现到现在的期望值。需要将建立在实际概率测度下的模型，转化到等价鞅测度进行期权定价。若标的资产在T时刻下，给定FT条件下的收益为ΦT，则欧式期权在t时刻的价格为
Ct=E[ΦTe-r（T-t）Ft]（9）
或者等价于
Ct=E[ΦTMt，TFt]（10）
其中，Mt，T表示在给定FT条件下的随机贴现因子。一般来讲，市场通常是不完全的，因此鞅测度并不唯一。所以可以对随机贴现因子的形式施加一定程度的约束，选择一个特定的鞅测度来符合相应的经济风险标准。这样一来在唯一的风险中性概率测度下，可以使用蒙特卡洛模拟通过方程式（10）来对期权定价。
本文选取Chorro、Guegan和Ielpo给出的随机贴现因子Mt，t+1的形式，其为对数收益率的指数仿射函数：
t∈{0，…，T-1}
Mt，t+1=eθt+1Yt+1+ξt+1（11）
其中，Yt+1=ln（St+1/St），并且θt+1，ξt+1是给定Ft条件下的随机变量。因为广义双曲分布是稳定的，经过仿射变换后各个参数不因此而改变。
Gt（θt+1）=e-（r+ξt+1） Gt（θt+1+1）=e-ξt+1（12）
要计算（θt+1，ξt+1），Chorro、Guegan和Ielpo证明在符合式（12）时，存在唯一的风险中性概率测度，且同时证明了在基于广义双曲分布的GARCH模型下方程式（12）有解。其中Gt为Yt+1的条件矩生成函数，由方程式（2）可推导出在方程式（5）条件下Yt的条件矩生成函数：
GYtFt-1（u）=e（μht+r+mt）u（α2-β2α2-（β+uht）2）λ/2×Kλ（δα2-（β+uht）2）Kλ（δα2-β2）（13）
则由方程式（12）得出的解为（θqt+1，ξqt+1），所以随机贴现因子为Mt，t+1=eθ q t+1Yt+1+ξqt+1，由此就可以得到在等价鞅测度下的对数收益率分布。
（二）测度转换
经随机贴现因子贴现后，可将实际概率测度转化为等价鞅测度。在等价鞅测度下，对于广义双曲分布，Yt在给定Ft-1条件下的分布服从：
Yt～GH（λ，αht，βht+θqt，δht，r+mt+μht）（14）
则由方程式（5）可得zt～GH（λ，α，β+htθqt，δ，μ）。在测度转换过程中，因为广义双曲分布是稳定的，所以可以通过蒙特卡洛模拟的方法来估计沪深300ETF期权的价格。
四、实证分析
（一）蒙特卡洛模拟步骤设计
GARCH-GH模型构建完成后，运用蒙特卡洛模拟的方法来模拟标的资产的样本路径为期权定价，具体步骤如下。
①选择华泰柏瑞沪深300ETF日收盘价并以此计算日对数收益率。
②以步骤①计算的收益率作为样本，来估计方程式（5）中均值方程和方差方程中的参数。在估计过程中也会产生t+1时刻的条件方差，即ht+1。
③在等价鞅测度下，从t时刻的下一期t+1开始模拟样本路径。
i从步骤②产生的条件方差ht+1开始;
ii通过式（12）求解（θqt+1，ξqt+1）;
iii产生服从GH（λ，α，β+ht+1θqt+1，δ，μ）分布的zt+1;
iv由方程式（5）计算出对数收益率Yt+1与t+2时刻的条件方差ht+2;
v返回至步骤i，用t+1代替t，直到t=T-1，T是期权的到期日。
在等价鞅测度下，模拟出标的资产收益率路径（Yk）k∈t+1，t+2，…，T，在T时刻标的资产价格为ST=St∏Tk=t+1eYk。
④最终，模拟出N条标的资产收益率路径来计算T时刻标的资产价格。ST，i表示第i条样本路径下T时刻标的资产价格，然后用蒙特卡洛模拟的方法，用N条样本路径的均值作为估计的执行价格为K的欧式看涨期权价格：
C^（t，T，K）=e-r（T-t）1N∑Ni=1max{ST，i-K}+（15）
（二）数据选取与描述性统计分析
本文将上海证券交易所交易的沪深300ETF欧式看涨期权（以华泰柏瑞沪深300ETF为标的）作为实证研究对象。本文首先选取华泰柏瑞沪深300ETF自2012年5月28日上市以来至2020年10月29日的每日收盘价数据，并由此计算每日对数收益率，然后进行统计性描述，数据来源于Wind金融终端。沪深300ETF对数收益率波动情况如图1所示。
从图1得知，标的资产华泰柏瑞沪深300ETF的对数收益率序列存在集聚现象，选取GARCH（1，1）过程来对波动率建模，它的实际应用是GARCH众多模型中最普遍的，可以准确捕捉标的资产时变波动率的特征。华泰柏瑞沪深300ETF的对数收益率的描述性统计如表1所示。
从表1得知，标的资产收益率同时出现偏态、尖峰、厚尾等特征，而且JB统计量过大。这些情况表明该标的資产对数收益率序列显著拒绝服从正态分布，正态分布并不足以描述其特征，所以需要寻找更符合数据特征的分布，而广义双曲分布的优势就会就此凸显出来。不同分布下对标的资产对数收益率的拟合如图2所示。
如图2所示，分别用样本经验分布、广义双曲分布、正态分布对华泰柏瑞沪深300ETF日对数收益率进行拟合，可以直接观察到，正态分布对于华泰柏瑞沪深300ETF样本的拟合较差，难以符合标的资产收益率尖峰、偏态、厚尾的特征，而广义双曲分布的拟合曲线近似于样本经验分布，其表现较为良好，可以捕捉标的资产收益率的各种特征。
（三）实证结果
为了对沪深300ETF期权进行定价，本文对比B-S模型、AHBS模型、GARCH（1，1）-GH模型的定价效果，首先要估计各个模型的参数，各模型的参数估计如表2所示。
模型参数估计
B-Sσ=0.25627
AHBSb0=-0.17463 b1=0.55581 b2=-0.17463
模型参数估计
GARCH（1，1）-GH
GH分布λ=0.71877 α=0.41049 β=0.03829 δ=0.99853 μ=-0.04257
GARCH（1，1）模型λ0=0.01873 α0=0.02085 α1=0.06726 β1=0.92484 期权样本选取上海证券交易所交易的沪深300ETF期权（以华泰柏瑞沪深300ETF为标的）2020年11月到期（距到期期限T-t=27天）、2020年12月到期（距到期期限T-t=55天）、2021年3月到期（距到期期限T-t=146天）、2021年6月到期（距到期期限T-t=237天）的欧式看涨期权来进行定价分析，比较不同模型的定价效果，数据来源于Wind金融終端，t时刻为2020年10月29日。无风险利率设定为当日一年期国债即期利率，且已将无风险利率转化为连续复利形式，数据来源于中国债券信息网。
接下来本文将把样本沪深300ETF欧式看涨期权数据按照在值程度大小划分为≤0.95，0.95～1.01，1.01～1.07，1.07～1.13，>1.13五档，其中区间为左开右闭形式。期权的在值程度是指标的资产价格与期权执行价格的比值，即S/K。其中S为标的资产价格，K为期权执行价格。一般看涨期权可根据在值程度>1，=1，<1分为实值期权、平值期权与虚值期权。
并同时选取三个指标：平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）以及平均绝对百分比误差（MAPE），来对样本进行更为细致的比较，这三个指标的计算公式如下所示：
MAE=1N∑Ni=1Ci-C^i，MSE=1N∑Ni=1（Ci-C^i）2，MAPE=1N∑Ni=1Ci-C^iCi（16）
其中，Ci为第i个执行价格的沪深300ETF期权的实际价格，C^i为在GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型估计下的理论价格。如表3所示，分别给出了各个模型为不同在值程度的期权定价的MAE、MSE、MAPE误差结果。
从横向角度来看，结合MAPE指标可以观察到，随着在值程度的增大，GARCH-GH模型的误差越来越小，效果越来越稳定。而另外两个模型的拟合效果则会出现一定程度的波动。
从纵向角度来看，当在值程度介于0.95～1.01与1.01～1.07时，三个指标都表明，其结果表现最好的是AHBS模型，其次才是GARCH-GH模型，在值程度接近1的期权称为平值期权，其特点是，它们的行权价格与标的资产当天收盘价接近。结果说明GARCH-GH模型在对于平值期权的定价效果较差，其拟合误差较大。当在值程度处于其他区间时，从三个指标来看，GARCH-GH模型的表现最为优秀，其次为AHBS模型。
最后对于全样本的拟合效果，从MAE、MSE、MAPE三个指标来看，都表明GARCH-GH模型拟合的总体误差最小，效果最优，其次是AHBS模型与B-S模型。
接下来为了更加直观地展现各个模型对不同到期期限的沪深300ETF期权所定出的期权价值C与执行价格K之间的关系，把GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型的定价结果与沪深300ETF期权实际市场价格进行对比。结果如图3所示。
从各个模型得出的定价结果来看，沪深300ETF期权的实际市场价格与GARCH-GH模型的结果最为贴近，其相差的距离最小，且随着期权在值程度的增加，GARCH-GH模型的优势更加明显。所以GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型更接近沪深300ETF期权的实际市场价格。
五、结论
期权定价一直是期权研究领域的热点，首先本文通过文献梳理，选择了B-S模型、AHBS模型以及GARCH-GH模型作为文章的理论模型。这三个模型对标的资产的波动率假设逐渐放宽，且从正态分布到广义双曲分布对标的资产收益率特征的捕捉逐渐增强，能起到较好的对比效果。
接下来本文选用广义双曲分布来捕捉沪深300ETF收益率尖峰、偏态、厚尾的特点，结合GARCH过程描述其时变波动的特征，建立GARCH-GH模型为沪深300ETF期权定价。在等价鞅测度下，利用蒙特卡洛方法模拟出样本路径来估计沪深300ETF欧式看涨期权价格。通过对沪深300ETF期权的定价研究，本文希望能够找到较为准确的定价理论模型，从而为投资者制定投资策略以及为监管者监督市场风险提供价格指标。
经过实证研究，选取四种不同到期期限的沪深300ETF欧式看涨期权作为样本，结果表明，三个模型对实值期权、平值期权以及虚值期权的拟合效果都比较好，但是GARCH-GH模型的效果最优，而B-S模型效果最差。此外GARCH-GH模型对平值期权的定价效果较差，对于这类期权，AHBS模型的表现最好。总体来看，GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型，得到的结果更接近于沪深300ETF期权的实际价格。
同时，本文只是使用对波动率与正态性假设进行了改进的定价模型来对沪深300ETF期权进行研究。在未来的研究重点是，还可以将标的资产收益率中的跳跃情况考虑进期权定价模型，或是用Lévy过程描述资产价格运动的模型来进行更深入的研究。
参考文献
[1]BOLLERSLEV T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，31（3）：307-327.
[2]BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-654. [3]DUPIRE B.Pricing with a smile[J].Risk，1994，7（1）：18-20.
[4]DUMAS B，FLEMING J，WHALEY R E.Implied volatility functions：Empirical tests[J].The Journal of Finance，1998，53（6）：2059-2106.
[5]KIM I J，KIM S.Empirical comparison of alternative stochastic volatility option pricing models：Evidence from Korean KOSPI 200 index options market[J].Pacific-Basin Finance Journal，2004，12（2）：117-142.
[6]DUAN J C.The GARCH option pricing model[J].Mathematical Finance，1995，5（1）：13-32.
[7]JENSEN M B，LUNDE A.The NIG-S&ARCH model：a fat-tailed，stochastic，and autoregressive conditional heteroskedastic volatility model[J].Econometrics Journal，2001，4（2）：319-342.
[8]CHORRO C，GUGAN D，IELPO F.Option pricing for garch-type models with generalized hyperbolic innovations[J].Quantitative Finance，2012，12（7）：1079-1094.
[9]郝梦，杜子平.基于GARCH-GH模型的上证50ETF期权定价研究[J].数学的实践与认识，2017，47（5）：289-296.
[10]杨晓辉，王裕彬.基于GARCH模型的波动率与隐含波动率的實证分析——以上证50ETF期权为例[J].金融理论与实践，2019（5）：80-85.
[11]宫文秀，许作良.基于GARCH模型的三叉树期权定价方法[J].数学的实践与认识，2020，v.50（7）：106-114.
关键词：广义双曲分布 GARCH模型 蒙特卡洛模拟 沪深300ETF期权
一、引言
2019年12月13日，沪深交易所上市沪深300ETF期权，其涵盖更多A股标的，完善了多层次市场体系。新期权的推出是国内资本市场供给侧结构性改革的新成果，是全面深化资本市场改革的重要措施，对进一步完善多层次资本市场产品体系，吸引长期资金入市，深化资本市场对外开放非常有利。并且能够与上证50ETF期权发挥协同作用，使得风险管理体系更加完整。新期权品种的上市标志着我国衍生品市场走向更加成熟和完善。同时，期权定价问题自始至终都是期权研究领域的关注重点。通过利用合理有效的理论模型对沪深300ETF期权进行研究，不仅能够避免出现盲目投资、投机行为，还可以为监管机构监控市场风险提供有效信息。
Black和Scholes（1973）假设标的资产价格服从几何布朗运动，波动率和无风险利率为常数值，并用无风险利率进行贴现，推导出B-S模型。但是学者们利用B-S模型进行实证分析时发现波动率并不满足常数这一假设，而是会出现微笑、偏斜的现象。同时标的资产收益率也不符合正态分布，而是呈现尖峰、偏态、厚尾的特征。Dupire（1994）假设标的资产收益波动率为资产价格和剩余期限的确定性函数，放松了波動率为常数的假设，并提出确定性波动率函数（Deterministic Volatility Function，DVF）期权定价模型。在此基础上，Dumas，Fleming和Whaley（1998）将DVF运用到B-S模型中，构建了AHBS模型。此外Kim I.J.和Kim S.（2004）又对AHBS模型做了改变，他们以期权的在值程度作为波动率函数的变量。Duan（1995）用GARCH过程来描述波动率时变的特点，在正态分布假设下，来为期权定价。但是，正态分布难以捕捉标的资产对数收益率的尖峰、偏态、厚尾的特征。
Jensen和Lunde（2001）基于正态逆高斯分布（NIG）建立了期权定价模型来进行实证分析，且正态逆高斯分布是广义双曲分布（GH）的一个特殊情况。Chorro、Guégan和Ielpo（2012）基于广义双曲分布建立了GARCH-GH模型，广义双曲分布可以更好地捕捉标的资产收益率的特征，并通过CAC40指数期权和S&P500指数期权进行实证分析。郝梦和杜子平（2017）基于GARCH-GH模型对上证50ETF期权进行实证研究，结果表明要比GARCH-Gaussian模型与B-S模型更接近期权实际价格。杨晓辉和王裕彬（2019）以上证50ETF为标的，利用GARCH模型对其进行历史波动率研究，结果表明隐含波动率数值相较于历史波动率研判结果更准确。宫文秀和许作良（2020）在波动率满足GARCH模型下，建立三叉树模型，结果表明基于GARCH模型的三叉树定价方法是有效的，且计算稳定。
本文的主要研究是比较各个模型对沪深300ETF期权的定价效果。通过文献整理选择B-S模型、AHBS模型和GARCH-GH模型作为本文的理论定价模型。其原因是这三个模型对标的资产收益率的波动率假设逐渐放松，且从正态分布到广义双曲分布对标的资产收益率特征的捕捉逐渐增强，能够起到比较好的对比效果。结果表明，相较于B-S模型与AHBS模型，GARCH-GH模型的结果更接近其实际价格。
中国证券期货2021年6月
第2期基于广义双曲分布的沪深300ETF期权定价实证研究
二、定价模型
（一）广义双曲分布
广义双曲分布因其密度函数的对数函数是双曲线形状而得名，并且可以较好地描述标的资产收益率呈现出的尖峰、偏态、厚尾特征。
对于（λ，α，β，δ，μ）∈
5且δ>0，α>β>0，一维广义双曲分布GH（λ，α，β，δ，μ）密度函数（density function）为
dGH（x，λ，α，β，δ，μ）=（α2-β2/δ）λ2πKλ（δα2-β2）×eβ（x-μ）Kλ-1/2（αδ2+（x-μ）2）（δ2+（x-μ）2/α）1/2-λ（1）
其中，Kλ表示指标值为λ的一个修正三阶贝塞尔函数，δ为尺度参数，μ为位置参数，α和β分别表示峰度和偏度;当λ=-1/2时，为正态逆高斯分布（NIG），当λ=1时，为双曲线分布（HYP）。广义双曲分布的矩生成函数（moment generating function）的具体形式为
GGH（u）=eμuα2-β2α2-（β+u）2λ/2×Kλ[δα2-（β+u）2]Kλ（δα2-β2），β+u<α（2）
并且，该分布族经过仿射变换后是稳定的，即广义双曲分布的各个参数不因随机变量x的仿射变化而改变，这一点非常重要，因为在GARCH模型的设定下，由此可以推导出对数收益率的条件分布。 （二）GARCH过程
GARCH过程可以捕捉时变波动率的特点，且能很好地刻画金融市场的收益率序列。Bollerslev（1986）推导出了广义自回归条件异方差过程，给出了GARCH（p，q）模型，若εt～GARCH（p，q）则
εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（3）
其中，（zt）t∈0，1，…，T是期望为0、方差为1的独立同分布的随机变量，各个参数α0>0，（αi）i∈1，2，…，q≥0，（βj）j∈1，2，…，p≥0，p≥0，q≥0以保证条件方差严格为正，且α1+…+αq+β1+…+βp<1确保平稳性。
运用GARCH过程对标的资产收益率残差的方差进行波动率建模，可以更好地描述标的资产收益率时间序列的异方差性问题，因此在金融研究领域得到广泛应用。本文运用GARCH过程来描述华泰柏瑞沪深300ETF日对数收益率的波动率。
（三）GARCH-GH模型
标的资产收益率存在一定的集聚现象，且其波动率是随机的并围绕均值上下波动，所以可以由GARCH过程来描述。
在实际概率测度下，标的资产的动态价格过程为（St）t∈0，1，…，T，则其对数收益率为
Yt=ln（StSt-1）=r+mt+htztεt，S0=s（4）
其中，r为无风险收益率是个常数，其随时间变化的超额收益mt取决于恒定的风险溢价λ0;在实证研究中mt的形式是固定的，本文保留其经典形式mt=λ0ht-12ht。接下来用GARCH过程来描述标的资产的方差，建立GARCH-GH模型为
Yt=ln（StSt-1）=r+λ0ht-12ht+htzt，εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p（5）
所以在实际概率测度下，对于广义双曲分布，Yt在给定Ft-1[Et=σ（zu;0≤u≤t）]t∈0，1，…，T是实际概率测度下直到T时刻的信息集）条件下的分布服从
Yt～GH（λ，αht，βht，δht，r+mt+μht）（6）
构建GARCH-GH模型后，可以将模型分为均值方程式（4）和方差方程式（3）。对于均值方程其zt～GH（λ，α，β，δ，μ），准确地知道其密度函数方程式（1），采用经典最大似然估计来得出参数（λ，α，β，δ，μ），对于方差方程采用拟最大似然估计。
（四）Ad Hoc Black-Scholes模型
Ad Hoc Black-Scholes模型（AHBS）是在B-S模型的基础上假设标的资产收益率的波动率为资产价格和剩余期限的确定性函数，放松了波动率为常数的假设，其中，Kim I.J.和Kim S.改善了AHBS模型，以期权的在值程度作为波动率函数的变量，其波动率函数形式为
σAHBS=b0+b1（St/K）+b2（St/K）2（7）
其中σAHBS为标的资产价格为St、执行价格为K的期权的波动率。本文采用以上函数形式作为AHBS模型中的确定性波动率函数（DVF）。
将σAHBS代入至B-S模型的定价公式中，便可以得到AHBS模型欧式看涨期权的定价公式为
Ct=StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）
d1=ln（St/K）+（r+σ2AHBS/2）（T-t）σAHBST-t，d2=d1-σAHBST-t（8）
三、定價方法
（一）随机贴现因子
在等价鞅测度下，期权价格为标的资产的收益贴现到现在的期望值。需要将建立在实际概率测度下的模型，转化到等价鞅测度进行期权定价。若标的资产在T时刻下，给定FT条件下的收益为ΦT，则欧式期权在t时刻的价格为
Ct=E[ΦTe-r（T-t）Ft]（9）
或者等价于
Ct=E[ΦTMt，TFt]（10）
其中，Mt，T表示在给定FT条件下的随机贴现因子。一般来讲，市场通常是不完全的，因此鞅测度并不唯一。所以可以对随机贴现因子的形式施加一定程度的约束，选择一个特定的鞅测度来符合相应的经济风险标准。这样一来在唯一的风险中性概率测度下，可以使用蒙特卡洛模拟通过方程式（10）来对期权定价。
本文选取Chorro、Guegan和Ielpo给出的随机贴现因子Mt，t+1的形式，其为对数收益率的指数仿射函数：
t∈{0，…，T-1}
Mt，t+1=eθt+1Yt+1+ξt+1（11）
其中，Yt+1=ln（St+1/St），并且θt+1，ξt+1是给定Ft条件下的随机变量。因为广义双曲分布是稳定的，经过仿射变换后各个参数不因此而改变。
Gt（θt+1）=e-（r+ξt+1） Gt（θt+1+1）=e-ξt+1（12）
要计算（θt+1，ξt+1），Chorro、Guegan和Ielpo证明在符合式（12）时，存在唯一的风险中性概率测度，且同时证明了在基于广义双曲分布的GARCH模型下方程式（12）有解。其中Gt为Yt+1的条件矩生成函数，由方程式（2）可推导出在方程式（5）条件下Yt的条件矩生成函数：
GYtFt-1（u）=e（μht+r+mt）u（α2-β2α2-（β+uht）2）λ/2×Kλ（δα2-（β+uht）2）Kλ（δα2-β2）（13）
则由方程式（12）得出的解为（θqt+1，ξqt+1），所以随机贴现因子为Mt，t+1=eθ q t+1Yt+1+ξqt+1，由此就可以得到在等价鞅测度下的对数收益率分布。
（二）测度转换
经随机贴现因子贴现后，可将实际概率测度转化为等价鞅测度。在等价鞅测度下，对于广义双曲分布，Yt在给定Ft-1条件下的分布服从：
Yt～GH（λ，αht，βht+θqt，δht，r+mt+μht）（14）
则由方程式（5）可得zt～GH（λ，α，β+htθqt，δ，μ）。在测度转换过程中，因为广义双曲分布是稳定的，所以可以通过蒙特卡洛模拟的方法来估计沪深300ETF期权的价格。
四、实证分析
（一）蒙特卡洛模拟步骤设计
GARCH-GH模型构建完成后，运用蒙特卡洛模拟的方法来模拟标的资产的样本路径为期权定价，具体步骤如下。
①选择华泰柏瑞沪深300ETF日收盘价并以此计算日对数收益率。
②以步骤①计算的收益率作为样本，来估计方程式（5）中均值方程和方差方程中的参数。在估计过程中也会产生t+1时刻的条件方差，即ht+1。
③在等价鞅测度下，从t时刻的下一期t+1开始模拟样本路径。
i从步骤②产生的条件方差ht+1开始;
ii通过式（12）求解（θqt+1，ξqt+1）;
iii产生服从GH（λ，α，β+ht+1θqt+1，δ，μ）分布的zt+1;
iv由方程式（5）计算出对数收益率Yt+1与t+2时刻的条件方差ht+2;
v返回至步骤i，用t+1代替t，直到t=T-1，T是期权的到期日。
在等价鞅测度下，模拟出标的资产收益率路径（Yk）k∈t+1，t+2，…，T，在T时刻标的资产价格为ST=St∏Tk=t+1eYk。
④最终，模拟出N条标的资产收益率路径来计算T时刻标的资产价格。ST，i表示第i条样本路径下T时刻标的资产价格，然后用蒙特卡洛模拟的方法，用N条样本路径的均值作为估计的执行价格为K的欧式看涨期权价格：
C^（t，T，K）=e-r（T-t）1N∑Ni=1max{ST，i-K}+（15）
（二）数据选取与描述性统计分析
本文将上海证券交易所交易的沪深300ETF欧式看涨期权（以华泰柏瑞沪深300ETF为标的）作为实证研究对象。本文首先选取华泰柏瑞沪深300ETF自2012年5月28日上市以来至2020年10月29日的每日收盘价数据，并由此计算每日对数收益率，然后进行统计性描述，数据来源于Wind金融终端。沪深300ETF对数收益率波动情况如图1所示。
从图1得知，标的资产华泰柏瑞沪深300ETF的对数收益率序列存在集聚现象，选取GARCH（1，1）过程来对波动率建模，它的实际应用是GARCH众多模型中最普遍的，可以准确捕捉标的资产时变波动率的特征。华泰柏瑞沪深300ETF的对数收益率的描述性统计如表1所示。
从表1得知，标的资产收益率同时出现偏态、尖峰、厚尾等特征，而且JB统计量过大。这些情况表明该标的資产对数收益率序列显著拒绝服从正态分布，正态分布并不足以描述其特征，所以需要寻找更符合数据特征的分布，而广义双曲分布的优势就会就此凸显出来。不同分布下对标的资产对数收益率的拟合如图2所示。
如图2所示，分别用样本经验分布、广义双曲分布、正态分布对华泰柏瑞沪深300ETF日对数收益率进行拟合，可以直接观察到，正态分布对于华泰柏瑞沪深300ETF样本的拟合较差，难以符合标的资产收益率尖峰、偏态、厚尾的特征，而广义双曲分布的拟合曲线近似于样本经验分布，其表现较为良好，可以捕捉标的资产收益率的各种特征。
（三）实证结果
为了对沪深300ETF期权进行定价，本文对比B-S模型、AHBS模型、GARCH（1，1）-GH模型的定价效果，首先要估计各个模型的参数，各模型的参数估计如表2所示。
模型参数估计
B-Sσ=0.25627
AHBSb0=-0.17463 b1=0.55581 b2=-0.17463
模型参数估计
GARCH（1，1）-GH
GH分布λ=0.71877 α=0.41049 β=0.03829 δ=0.99853 μ=-0.04257
GARCH（1，1）模型λ0=0.01873 α0=0.02085 α1=0.06726 β1=0.92484 期权样本选取上海证券交易所交易的沪深300ETF期权（以华泰柏瑞沪深300ETF为标的）2020年11月到期（距到期期限T-t=27天）、2020年12月到期（距到期期限T-t=55天）、2021年3月到期（距到期期限T-t=146天）、2021年6月到期（距到期期限T-t=237天）的欧式看涨期权来进行定价分析，比较不同模型的定价效果，数据来源于Wind金融終端，t时刻为2020年10月29日。无风险利率设定为当日一年期国债即期利率，且已将无风险利率转化为连续复利形式，数据来源于中国债券信息网。
接下来本文将把样本沪深300ETF欧式看涨期权数据按照在值程度大小划分为≤0.95，0.95～1.01，1.01～1.07，1.07～1.13，>1.13五档，其中区间为左开右闭形式。期权的在值程度是指标的资产价格与期权执行价格的比值，即S/K。其中S为标的资产价格，K为期权执行价格。一般看涨期权可根据在值程度>1，=1，<1分为实值期权、平值期权与虚值期权。
并同时选取三个指标：平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）以及平均绝对百分比误差（MAPE），来对样本进行更为细致的比较，这三个指标的计算公式如下所示：
MAE=1N∑Ni=1Ci-C^i，MSE=1N∑Ni=1（Ci-C^i）2，MAPE=1N∑Ni=1Ci-C^iCi（16）
其中，Ci为第i个执行价格的沪深300ETF期权的实际价格，C^i为在GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型估计下的理论价格。如表3所示，分别给出了各个模型为不同在值程度的期权定价的MAE、MSE、MAPE误差结果。
从横向角度来看，结合MAPE指标可以观察到，随着在值程度的增大，GARCH-GH模型的误差越来越小，效果越来越稳定。而另外两个模型的拟合效果则会出现一定程度的波动。
从纵向角度来看，当在值程度介于0.95～1.01与1.01～1.07时，三个指标都表明，其结果表现最好的是AHBS模型，其次才是GARCH-GH模型，在值程度接近1的期权称为平值期权，其特点是，它们的行权价格与标的资产当天收盘价接近。结果说明GARCH-GH模型在对于平值期权的定价效果较差，其拟合误差较大。当在值程度处于其他区间时，从三个指标来看，GARCH-GH模型的表现最为优秀，其次为AHBS模型。
最后对于全样本的拟合效果，从MAE、MSE、MAPE三个指标来看，都表明GARCH-GH模型拟合的总体误差最小，效果最优，其次是AHBS模型与B-S模型。
接下来为了更加直观地展现各个模型对不同到期期限的沪深300ETF期权所定出的期权价值C与执行价格K之间的关系，把GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型的定价结果与沪深300ETF期权实际市场价格进行对比。结果如图3所示。
从各个模型得出的定价结果来看，沪深300ETF期权的实际市场价格与GARCH-GH模型的结果最为贴近，其相差的距离最小，且随着期权在值程度的增加，GARCH-GH模型的优势更加明显。所以GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型更接近沪深300ETF期权的实际市场价格。
五、结论
期权定价一直是期权研究领域的热点，首先本文通过文献梳理，选择了B-S模型、AHBS模型以及GARCH-GH模型作为文章的理论模型。这三个模型对标的资产的波动率假设逐渐放宽，且从正态分布到广义双曲分布对标的资产收益率特征的捕捉逐渐增强，能起到较好的对比效果。
接下来本文选用广义双曲分布来捕捉沪深300ETF收益率尖峰、偏态、厚尾的特点，结合GARCH过程描述其时变波动的特征，建立GARCH-GH模型为沪深300ETF期权定价。在等价鞅测度下，利用蒙特卡洛方法模拟出样本路径来估计沪深300ETF欧式看涨期权价格。通过对沪深300ETF期权的定价研究，本文希望能够找到较为准确的定价理论模型，从而为投资者制定投资策略以及为监管者监督市场风险提供价格指标。
经过实证研究，选取四种不同到期期限的沪深300ETF欧式看涨期权作为样本，结果表明，三个模型对实值期权、平值期权以及虚值期权的拟合效果都比较好，但是GARCH-GH模型的效果最优，而B-S模型效果最差。此外GARCH-GH模型对平值期权的定价效果较差，对于这类期权，AHBS模型的表现最好。总体来看，GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型，得到的结果更接近于沪深300ETF期权的实际价格。
同时，本文只是使用对波动率与正态性假设进行了改进的定价模型来对沪深300ETF期权进行研究。在未来的研究重点是，还可以将标的资产收益率中的跳跃情况考虑进期权定价模型，或是用Lévy过程描述资产价格运动的模型来进行更深入的研究。
参考文献
[1]BOLLERSLEV T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，31（3）：307-327.
[2]BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-654. [3]DUPIRE B.Pricing with a smile[J].Risk，1994，7（1）：18-20.
[4]DUMAS B，FLEMING J，WHALEY R E.Implied volatility functions：Empirical tests[J].The Journal of Finance，1998，53（6）：2059-2106.
[5]KIM I J，KIM S.Empirical comparison of alternative stochastic volatility option pricing models：Evidence from Korean KOSPI 200 index options market[J].Pacific-Basin Finance Journal，2004，12（2）：117-142.
[6]DUAN J C.The GARCH option pricing model[J].Mathematical Finance，1995，5（1）：13-32.
[7]JENSEN M B，LUNDE A.The NIG-S&ARCH model：a fat-tailed，stochastic，and autoregressive conditional heteroskedastic volatility model[J].Econometrics Journal，2001，4（2）：319-342.
[8]CHORRO C，GUGAN D，IELPO F.Option pricing for garch-type models with generalized hyperbolic innovations[J].Quantitative Finance，2012，12（7）：1079-1094.
[9]郝梦，杜子平.基于GARCH-GH模型的上证50ETF期权定价研究[J].数学的实践与认识，2017，47（5）：289-296.
[10]杨晓辉，王裕彬.基于GARCH模型的波动率与隐含波动率的實证分析——以上证50ETF期权为例[J].金融理论与实践，2019（5）：80-85.
[11]宫文秀，许作良.基于GARCH模型的三叉树期权定价方法[J].数学的实践与认识，2020，v.50（7）：106-114.