【摘 要】
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由一个自然数的平方所得到的数，我们叫它完全平方数。如１（１２）、４（２２）、９（３２）、１６（４２）……完全平方数有一个性质，就是它的约数个数是奇数。如９的约数有３个（１、３、９），１６的约数有５个（１、２、４、８、１６）。而其他自然数的约数个数却都是偶数，如１２的约数有６个（１、２、３、４、６、１２）。利用完全平方数的约数个数是奇数这一性质，可以巧妙地解决一些数学智力问题，如下题： 一条长廊里
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由一个自然数的平方所得到的数，我们叫它完全平方数。如１（１２）、４（２２）、９（３２）、１６（４２）……完全平方数有一个性质，就是它的约数个数是奇数。如９的约数有３个（１、３、９），１６的约数有５个（１、２、４、８、１６）。而其他自然数的约数个数却都是偶数，如１２的约数有６个（１、２、３、４、６、１２）。利用完全平方数的约数个数是奇数这一性质，可以巧妙地解决一些数学智力问题，如下题：
一条长廊里依次装有１００盏电灯，从头到尾编号１、２、３……９９、１００。每盏灯由一个拉线开关控制。开始，电灯全部关着。
有１００个学生从长廊穿过。第一个学生把号码凡是１的倍数的电灯开关拉一下；接着第二个学生把号码凡是２的倍数的电灯开关拉一下；第三个学生把号码凡是３的倍数的电灯开关拉一下……如此继续下去，最后第一百个学生把号码是１００的倍数的电灯开关拉一下。此时长廊里的电灯还有几盏亮着？
我们知道，灯亮着、关着与拉开关的次数有关。当拉的次数是奇数时，灯就亮着；当拉的次数是偶数时，灯就关着。因此，本题的问题就转化为１～１００这１００个自然数中，有几个数的约数个数是奇数。根据完全平方数的约数是奇数这个性质，可知在这１００盏灯中，１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００这１０盏灯还亮着。
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