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【摘要】本文从《圆的认识》的一个教学片段出发，分析了执教老师在教学上存在的一些问题并提出了相应的解决方案。
【关键词】小学数学 圆的认识
无穷多
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）12A-0089-02
《圆的认识》一课的学习目标是了解圆是轴对称图形、理解同一圆内直径和半径的关系、体会圆的对称性，其中一个重要的知识点就是让学生理解“圆有无穷多条半径”这一真命题。但是笔者发现，很多教师在引导学生理解“无穷”的意义时，教学设计并不是很合理，甚至暴露出授课教师自己对“从有限到无穷的过渡”理解得并不是很透彻。下面以一个具体的教学片段来说明：
（教师让学生通过操作活动体验“圆有无穷多条半径”，要求学生在各自所画的圆中画半径。由于出现了一个小意外，教师离开教室一段时间处理意外，预设的操作活动的时间被延长了许多）
师：下面请同学们来展示一下自己的成果，你画了多少条半径？谁先来？
生1：我画了55条。
生2：我画了73条。
生3：我觉得应该能画无数条！
生4：老师，我把整个圆画满了，再也画不下了！
生5：老师，那位同学肯定是圆画得太小了，只要把圆画大一点，就还可以接着画出很多条半径！
生6：有限的周长上能画出无限多的点么？
生7：老师，只要把铅笔削得尖一点，就能画无数条了！
生8：我反对，铅笔削得再尖，圆画得再大，只要不停地画下去，最后肯定会画满的！
……
师：同学们说的都很好，下面老师将一一解答同学们的疑问。事实上，……
课后，笔者在与授课教师交流的过程中提出疑问：您认为课堂上出现了学生对“圆有多少条半径”的争议较大的原因是什么？执教老师解释：因为操作活动的时间没控制好，才出现了这样的情况。真的如此吗？
通过分析，笔者认为本课教学主要存在以下几个问题。
（一）教师对“存在”及“无穷多”的理解不透彻。如果要完全解释清楚“圆有无穷多条半径”这个问题，靠画是不行的，其主要原因是“存在不能代表无限”——就算画出一个圆的1万条、10万条半径，也只能说明圆是存在有半径的，并不能说明圆有无穷多条半径。那么什么叫做“无限”呢？说得通俗一点，“要多少就有多少”才算是“无穷多”。
（二）教师对存在性和构造性区分不清。就本课内容来说，“圆有无穷多条半径”说明圆存在无穷多条半径；而“能画无数条圆的半径”说明能构造出无穷多条半径。存在未必就能构造出来，教师在本课操作活动中让学生去尽可能多地构造圆的半径是不合理的。教师在平时应注意避免出现此类错误。
（三）教学方式有误，现实不一定等于数学。数学中的一些对象，譬如，数学中的线（包括直线、射线、线段）和现实生活中的线是不相同的。生活中的线是有宽度的，譬如削尖的铅笔画的线比较细，而水笔画的线就比较粗。数学中的线是没有宽度的，且数学中的线是由现实中的线抽象而成的，现实中找不到数学中的线。“圆的半径有无数条”中的半径指的是数学中的线，用笔画出的半径是现实中的线，两者不是一回事。所以，“圆有无穷多条半径”不能实证和感知，只能想象。
数学中有的无限是很容易想象的，比如，自然数是无限的，可以从0开始一直加上“1”，自然数是“要多少有多少”。问题在于，“圆有无穷多条半径”就有点难办了，我们何以确信结论是可靠的？或者说，当我不容易想象的时候怎么办？“圆上有无穷多个点”“圆有无穷多条半径”，有没有更科学的叙述？
基于“部分都能与自然数‘一样多’，它就是无穷多”的认识。我们提出下面两种教学方案，可以完全解释清楚“圆有无穷多条半径”。
方案一：
源于“一生二，二生三……”思想，我们进行如下构造：如图1，构造圆弧A1A2的中点A3，点A3不同于点A1和点A2，接着用同样的方法构造出圆弧A2A3的中点A4，圆弧A3A4的中点A5，……一直构造下去，需要多少个点就能构造出多少点。
这些点可以跟自然数建立起一一对应：A1，A2，A3，A4，A5，A6……因此，任何一段圆弧A1A2上都有无穷多个点。这些点与圆心的连线，就是圆的半径，于是可以得到无穷多条圆的半径：OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，OA6……
这样的教学方式，渗透了无穷思想和对应的思想，不仅科学，而且有助于培养学生的思维能力。
方案二：
有些道理与其教师说给学生听，不如让学生说给学生听。在课堂上，学生自己的解释优先于教师的说明。当然，这个问题怎么解释，自然还可以有不同的方法：
比如，学生自己就会说画好一条半径然后旋转1°，0.1°，0.01°，0.001°，0.0001°，0.00001°，0.000001°……就得到与自然数“一样多”的半径。这比起方案一中的方法，学生更容易理解。
方案三：
对学生的观点之一：只要把圓画大一点，就还可以接着画出很多条半径。它提示笔者又想到了下面的一种解释方法，但是，该解释比较复杂，对一般小学生来说，理解起来比较困难，但可以作为对优等生的教学素材，也许有聪明的学生能够理解呢，具体如下：
1.从最简单的等边三角形开始：可以看出，等边三角形中位线上的点和底边上的点的数量是一样多的；
2.等边三角形变成相应的扇形，短弧上的点和长弧上的点的数量也是一样多的，其中蕴含了化直为曲的思想；
3.六个这样的扇形不就是一个圆了吗？那么，对一组同心圆而言，尽管内圆和外圆周长不同，但显然圆周上的点的数量也是一样多的，其中蕴含了补缺为全的思想；
4.既然外圆上的点和内圆上的点的数量一样多，当我们在现实中因为画了100条圆的半径而无法再继续画出多的半径的时候，只要在这个圆外面画一个更大的同心圆，延长原来画的半径与大的圆的相交于大圆上，接着就可以继续连接圆心和大圆上的点画半径，且新画出的半径必经过原先的小圆，这就增加了原来的小圆的半径数量。这里让学生从眼见为实，渐渐过渡到无限，不再觉得数学那么抽象。
5.“是否真的能画出无限多的点”或者“是否真的能画出无穷多条半径”的追问转化成“能否画出（想象出）一个更大的同心圆”的问题。显然，后面这个问题直观多了。
其实，整个方案三最主要的是渗透了转化的思想，让学生在现实与想象之间穿梭，思维得到培养。
总的来说，教师对自己的教学内容应该有清晰的认识，在教学设计上要多多用心，平时注意自己的言语表达、注意积累授课素材，多阅读拓展自己的知识面，才能在课堂上游刃有余。
（责编 刘小瑗）
【关键词】小学数学 圆的认识
无穷多
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）12A-0089-02
《圆的认识》一课的学习目标是了解圆是轴对称图形、理解同一圆内直径和半径的关系、体会圆的对称性，其中一个重要的知识点就是让学生理解“圆有无穷多条半径”这一真命题。但是笔者发现，很多教师在引导学生理解“无穷”的意义时，教学设计并不是很合理，甚至暴露出授课教师自己对“从有限到无穷的过渡”理解得并不是很透彻。下面以一个具体的教学片段来说明：
（教师让学生通过操作活动体验“圆有无穷多条半径”，要求学生在各自所画的圆中画半径。由于出现了一个小意外，教师离开教室一段时间处理意外，预设的操作活动的时间被延长了许多）
师：下面请同学们来展示一下自己的成果，你画了多少条半径？谁先来？
生1：我画了55条。
生2：我画了73条。
生3：我觉得应该能画无数条！
生4：老师，我把整个圆画满了，再也画不下了！
生5：老师，那位同学肯定是圆画得太小了，只要把圆画大一点，就还可以接着画出很多条半径！
生6：有限的周长上能画出无限多的点么？
生7：老师，只要把铅笔削得尖一点，就能画无数条了！
生8：我反对，铅笔削得再尖，圆画得再大，只要不停地画下去，最后肯定会画满的！
……
师：同学们说的都很好，下面老师将一一解答同学们的疑问。事实上，……
课后，笔者在与授课教师交流的过程中提出疑问：您认为课堂上出现了学生对“圆有多少条半径”的争议较大的原因是什么？执教老师解释：因为操作活动的时间没控制好，才出现了这样的情况。真的如此吗？
通过分析，笔者认为本课教学主要存在以下几个问题。
（一）教师对“存在”及“无穷多”的理解不透彻。如果要完全解释清楚“圆有无穷多条半径”这个问题，靠画是不行的，其主要原因是“存在不能代表无限”——就算画出一个圆的1万条、10万条半径，也只能说明圆是存在有半径的，并不能说明圆有无穷多条半径。那么什么叫做“无限”呢？说得通俗一点，“要多少就有多少”才算是“无穷多”。
（二）教师对存在性和构造性区分不清。就本课内容来说，“圆有无穷多条半径”说明圆存在无穷多条半径；而“能画无数条圆的半径”说明能构造出无穷多条半径。存在未必就能构造出来，教师在本课操作活动中让学生去尽可能多地构造圆的半径是不合理的。教师在平时应注意避免出现此类错误。
（三）教学方式有误，现实不一定等于数学。数学中的一些对象，譬如，数学中的线（包括直线、射线、线段）和现实生活中的线是不相同的。生活中的线是有宽度的，譬如削尖的铅笔画的线比较细，而水笔画的线就比较粗。数学中的线是没有宽度的，且数学中的线是由现实中的线抽象而成的，现实中找不到数学中的线。“圆的半径有无数条”中的半径指的是数学中的线，用笔画出的半径是现实中的线，两者不是一回事。所以，“圆有无穷多条半径”不能实证和感知，只能想象。
数学中有的无限是很容易想象的，比如，自然数是无限的，可以从0开始一直加上“1”，自然数是“要多少有多少”。问题在于，“圆有无穷多条半径”就有点难办了，我们何以确信结论是可靠的？或者说，当我不容易想象的时候怎么办？“圆上有无穷多个点”“圆有无穷多条半径”，有没有更科学的叙述？
基于“部分都能与自然数‘一样多’，它就是无穷多”的认识。我们提出下面两种教学方案，可以完全解释清楚“圆有无穷多条半径”。
方案一：
源于“一生二，二生三……”思想，我们进行如下构造：如图1，构造圆弧A1A2的中点A3，点A3不同于点A1和点A2，接着用同样的方法构造出圆弧A2A3的中点A4，圆弧A3A4的中点A5，……一直构造下去，需要多少个点就能构造出多少点。
这些点可以跟自然数建立起一一对应：A1，A2，A3，A4，A5，A6……因此，任何一段圆弧A1A2上都有无穷多个点。这些点与圆心的连线，就是圆的半径，于是可以得到无穷多条圆的半径：OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，OA6……
这样的教学方式，渗透了无穷思想和对应的思想，不仅科学，而且有助于培养学生的思维能力。
方案二：
有些道理与其教师说给学生听，不如让学生说给学生听。在课堂上，学生自己的解释优先于教师的说明。当然，这个问题怎么解释，自然还可以有不同的方法：
比如，学生自己就会说画好一条半径然后旋转1°，0.1°，0.01°，0.001°，0.0001°，0.00001°，0.000001°……就得到与自然数“一样多”的半径。这比起方案一中的方法，学生更容易理解。
方案三：
对学生的观点之一：只要把圓画大一点，就还可以接着画出很多条半径。它提示笔者又想到了下面的一种解释方法，但是，该解释比较复杂，对一般小学生来说，理解起来比较困难，但可以作为对优等生的教学素材，也许有聪明的学生能够理解呢，具体如下：
1.从最简单的等边三角形开始：可以看出，等边三角形中位线上的点和底边上的点的数量是一样多的；
2.等边三角形变成相应的扇形，短弧上的点和长弧上的点的数量也是一样多的，其中蕴含了化直为曲的思想；
3.六个这样的扇形不就是一个圆了吗？那么，对一组同心圆而言，尽管内圆和外圆周长不同，但显然圆周上的点的数量也是一样多的，其中蕴含了补缺为全的思想；
4.既然外圆上的点和内圆上的点的数量一样多，当我们在现实中因为画了100条圆的半径而无法再继续画出多的半径的时候，只要在这个圆外面画一个更大的同心圆，延长原来画的半径与大的圆的相交于大圆上，接着就可以继续连接圆心和大圆上的点画半径，且新画出的半径必经过原先的小圆，这就增加了原来的小圆的半径数量。这里让学生从眼见为实，渐渐过渡到无限，不再觉得数学那么抽象。
5.“是否真的能画出无限多的点”或者“是否真的能画出无穷多条半径”的追问转化成“能否画出（想象出）一个更大的同心圆”的问题。显然，后面这个问题直观多了。
其实，整个方案三最主要的是渗透了转化的思想，让学生在现实与想象之间穿梭，思维得到培养。
总的来说，教师对自己的教学内容应该有清晰的认识，在教学设计上要多多用心，平时注意自己的言语表达、注意积累授课素材，多阅读拓展自己的知识面，才能在课堂上游刃有余。
（责编 刘小瑗）