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一、综合法与分析法
综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由已知条件入手，根据已知的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来，这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果”的思维方法.
例1.如果三角形三个内角A，B，C满足条件sin2A+sin2B=5sin2C，求证：sinC≤.
证明：由正弦定理得：sinA=，sinB=，sinC=（其中R是△ABC外接圆半径，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的三条边），将其代入已知等式sin2A+sin2B=5sin2C得，a2+b2=5c2，再由余弦定理：c2=a2+b2-2ab·cosC得，2ab·cosc=4c2，所以，cosC=另一方面，因为2ab≤a2+b2=5c2，所以，cosC=≥=，从而，1-cos2C≤，即sin2C≤，|sinC|≤；又因为C为△ABC的内角，所以sinC>0，故得sinC≤.
这个题的证明方法，用的就是综合法，从已知条件入手，结合相关定理得出最后的结论.
例2.已知a是不小于4的数，求证：
.
证明： 要使成立，因为a是不小于4的数，即a-1>a-2>a-3>a-4≥0，，
故只须不等式成立，
即>2+成立，
只须：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，
只须（2a-7）2>（2）2即1>0即可，
而1>0，显然成立，注意到以上各步骤均可逆（每一步都是前一步的充分条件），因此原不等式成立.
这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下，逐步推导出1>0这样一个真命题，而且以上推导过程可逆.正是因为过程可逆，才保证了在1>0及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.如果我们在用分析法推导的过程中，过程不可逆那么，分析法是失效的.比如，由a>b，c>d可以推得a+c>b+d，反之则不然，这个过程就不是可逆的。
二、反证法与同一法：
反证法是一种间接证明命题的方法，它是通过证明反命题为假（即先否定结论，通过结论的否定，推出与已知条件或定理、公理、公式相矛盾的结果），从而间接证明了原命题的正确性.
例3. 如图1所示，已知平面 、 交于直线a，直线b在 内与直线a相交于A点，直线c在 内与直线a平行. 求证：b、c为异面直线.
证明：假设b、c不是异面直线，则或者b∥c，或者b、c 相交于一点.
如果b∥c，则因为a∥c，所以b∥a，这与已知条件“直线b在 内与直线a相交于A点”相矛盾；
如果bIc=P（b、c 相交于一点），则因为c ，b ，所以P∈ ，且P∈ ，从而P∈a= I ，故直线a、c相交于P点，这又与已知条件“直线c在 内与直线a平行” 相矛盾.
以上矛盾说明b、c必为异面直线.
这个题的证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否定结论，推出矛盾，从而达到间接证明命题为真的效果的。
例4. 试证明三角形的三条中线相交于一点.
已知：在△ABC中，AD，BE，CF是它的三条中线（如图 2所示），
求证：AD，BE，CF三线共点
证明：设△ABC中，BC、AC边的中线AD，BE相交于一点G，连结CG并延长与AB相交于F1点，
因为DE是△ABC的中位线，从而DE∥AB，设DE与CF1相交于M点，于是有
==，即= ；………（1）
==，即=；………（2）
由（1）式和（2）式得：=，所以AF1=BF1 ， CF1是AB边的中线；因为AB边的中线只有一条，所以CF1和CF是同一条中线，故三角形的三条中线相交于一点，证毕。
该题的证明方法就是同一法。
三、归纳法与合情推理
归纳法是从特殊到一般的一种推理方法，它有别于演绎法（一种由一般到特殊的推理方法），是合情推理的一种方法.它又分为不完全归纳法，和完全归纳法，其中数学归纳法是一种最常用的方法.
例5. 试写出数列：，，，，，∧∧的一个通项公式.
解：观察这个数列的前5项，发现分母逐渐增大，且是连续的自然数，而分子始终围绕在分母的前后进行变化，尝试着将各项拆分发现有以下规律：
a1==1-=1+（-1）1
a2==1+=1+（-1）2，
a3==1-=1+（-1）3，
a4==1+=1+（-1）4，
a5==1-=1+（-1）5∧∧，
故猜想这个数列的第n项an=1+（-1）n，显然经过验证，前5项均满足这个公式.
由于这个数列只给出了前5项，且经过验证，都符合这个通项公式.即便没有对数列的每一项都做出分解分析（也不可能全部进行分析），只是分析了前5项反映出来的规律，我们仍然认为这个结论是合理的.这个结论就是运用不完全归纳法得出来的.
例6. 已知a1=p，an=pan-1，b1=q，bn=qan-1+rbn-1（n≥2），其中p，q，r均为非零常数，且p≠r，求数列{bn}的通项公式.
解：因为an=pan-1，p≠0，所以=p，{an}是个等比数列，an=pn又因为b1=q，bn=qan-1+rbn-1得：
b2=qa1+rb1=qp+rq=q（p+r），
b3=qa3+rb2=q·p2+r·q2（p+r）=q（p2+pr+r2），
b4=qa4+rb3=q·p3+rq（p2+pr+r2）=q（p3+p2r+r3）， ，
………………
可以推断：
bn=q（pn-1+pn-2r+pn-3r2+∧∧+prn-2+rn-1）
=
现在用数学归纳法证明如下：
当n=1时，b1==q，推断成立；
假设当n=k时，推断成立，即bk=，那么，当n=k+1时，bk+1=qak+rbk=q·pk+r·=，即n=k+1时推断也成立，所以对一切自然数，都有bn=.
四、解析法与向量法
平面解析几何是数形结合的典范，它以坐标为纽带，将数与形紧密地联系在一起，并通过他们的相互转换达到解决问题的目的.因此人们又把这种通过建立坐标系，将几何的问题化为代数的问题来解决的方法叫解析法.
例7. 已知在△ABC中，D为BC边上任意一点（异于B、C ），且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：如图3所示，建立平面直角坐标系，B、C两点在x轴上，A点在y轴上，设A、B、C、D点的坐标分别为A（0，a），B（-b，0），C（c，0），D（d，0），于是|AB|=，|AD|=，|BD|=d+b，|DC|=c-d，因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，所以a2+b2=a2+d2+（d+b）（c-d），得b2-d2=（d+b）（c-d），又因为D为BC边上任意一点（异于B、C ），b≠-d，从而b-d=c-d，即b=c，|OB|=|OC|，△ABC是等腰三角形.
向量是数学中的重要概念之一 。由于向量具有几何形式和代数形式“双重身份” ，使它成为中学数学知识的一个交汇点 ，成为联系多项内容的媒介。特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时 ，向量工具有其独到之处。
参考文献：
[1]刘心华.向量法解平面解析几何题[J].中学数学教学，2002（3）.
[2]王学贤.浅析同一法[J].数学教学通讯，1984（3）.
[3]顾越岭.高中数学精讲[M].江苏教育出版社.
（作者单位：湖北襄阳职业技术学院公共课部）
综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由已知条件入手，根据已知的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来，这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果”的思维方法.
例1.如果三角形三个内角A，B，C满足条件sin2A+sin2B=5sin2C，求证：sinC≤.
证明：由正弦定理得：sinA=，sinB=，sinC=（其中R是△ABC外接圆半径，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的三条边），将其代入已知等式sin2A+sin2B=5sin2C得，a2+b2=5c2，再由余弦定理：c2=a2+b2-2ab·cosC得，2ab·cosc=4c2，所以，cosC=另一方面，因为2ab≤a2+b2=5c2，所以，cosC=≥=，从而，1-cos2C≤，即sin2C≤，|sinC|≤；又因为C为△ABC的内角，所以sinC>0，故得sinC≤.
这个题的证明方法，用的就是综合法，从已知条件入手，结合相关定理得出最后的结论.
例2.已知a是不小于4的数，求证：
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证明： 要使成立，因为a是不小于4的数，即a-1>a-2>a-3>a-4≥0，，
故只须不等式成立，
即>2+成立，
只须：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，
只须（2a-7）2>（2）2即1>0即可，
而1>0，显然成立，注意到以上各步骤均可逆（每一步都是前一步的充分条件），因此原不等式成立.
这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下，逐步推导出1>0这样一个真命题，而且以上推导过程可逆.正是因为过程可逆，才保证了在1>0及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.如果我们在用分析法推导的过程中，过程不可逆那么，分析法是失效的.比如，由a>b，c>d可以推得a+c>b+d，反之则不然，这个过程就不是可逆的。
二、反证法与同一法：
反证法是一种间接证明命题的方法，它是通过证明反命题为假（即先否定结论，通过结论的否定，推出与已知条件或定理、公理、公式相矛盾的结果），从而间接证明了原命题的正确性.
例3. 如图1所示，已知平面 、 交于直线a，直线b在 内与直线a相交于A点，直线c在 内与直线a平行. 求证：b、c为异面直线.
证明：假设b、c不是异面直线，则或者b∥c，或者b、c 相交于一点.
如果b∥c，则因为a∥c，所以b∥a，这与已知条件“直线b在 内与直线a相交于A点”相矛盾；
如果bIc=P（b、c 相交于一点），则因为c ，b ，所以P∈ ，且P∈ ，从而P∈a= I ，故直线a、c相交于P点，这又与已知条件“直线c在 内与直线a平行” 相矛盾.
以上矛盾说明b、c必为异面直线.
这个题的证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否定结论，推出矛盾，从而达到间接证明命题为真的效果的。
例4. 试证明三角形的三条中线相交于一点.
已知：在△ABC中，AD，BE，CF是它的三条中线（如图 2所示），
求证：AD，BE，CF三线共点
证明：设△ABC中，BC、AC边的中线AD，BE相交于一点G，连结CG并延长与AB相交于F1点，
因为DE是△ABC的中位线，从而DE∥AB，设DE与CF1相交于M点，于是有
==，即= ；………（1）
==，即=；………（2）
由（1）式和（2）式得：=，所以AF1=BF1 ， CF1是AB边的中线；因为AB边的中线只有一条，所以CF1和CF是同一条中线，故三角形的三条中线相交于一点，证毕。
该题的证明方法就是同一法。
三、归纳法与合情推理
归纳法是从特殊到一般的一种推理方法，它有别于演绎法（一种由一般到特殊的推理方法），是合情推理的一种方法.它又分为不完全归纳法，和完全归纳法，其中数学归纳法是一种最常用的方法.
例5. 试写出数列：，，，，，∧∧的一个通项公式.
解：观察这个数列的前5项，发现分母逐渐增大，且是连续的自然数，而分子始终围绕在分母的前后进行变化，尝试着将各项拆分发现有以下规律：
a1==1-=1+（-1）1
a2==1+=1+（-1）2，
a3==1-=1+（-1）3，
a4==1+=1+（-1）4，
a5==1-=1+（-1）5∧∧，
故猜想这个数列的第n项an=1+（-1）n，显然经过验证，前5项均满足这个公式.
由于这个数列只给出了前5项，且经过验证，都符合这个通项公式.即便没有对数列的每一项都做出分解分析（也不可能全部进行分析），只是分析了前5项反映出来的规律，我们仍然认为这个结论是合理的.这个结论就是运用不完全归纳法得出来的.
例6. 已知a1=p，an=pan-1，b1=q，bn=qan-1+rbn-1（n≥2），其中p，q，r均为非零常数，且p≠r，求数列{bn}的通项公式.
解：因为an=pan-1，p≠0，所以=p，{an}是个等比数列，an=pn又因为b1=q，bn=qan-1+rbn-1得：
b2=qa1+rb1=qp+rq=q（p+r），
b3=qa3+rb2=q·p2+r·q2（p+r）=q（p2+pr+r2），
b4=qa4+rb3=q·p3+rq（p2+pr+r2）=q（p3+p2r+r3）， ，
………………
可以推断：
bn=q（pn-1+pn-2r+pn-3r2+∧∧+prn-2+rn-1）
=
现在用数学归纳法证明如下：
当n=1时，b1==q，推断成立；
假设当n=k时，推断成立，即bk=，那么，当n=k+1时，bk+1=qak+rbk=q·pk+r·=，即n=k+1时推断也成立，所以对一切自然数，都有bn=.
四、解析法与向量法
平面解析几何是数形结合的典范，它以坐标为纽带，将数与形紧密地联系在一起，并通过他们的相互转换达到解决问题的目的.因此人们又把这种通过建立坐标系，将几何的问题化为代数的问题来解决的方法叫解析法.
例7. 已知在△ABC中，D为BC边上任意一点（异于B、C ），且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：如图3所示，建立平面直角坐标系，B、C两点在x轴上，A点在y轴上，设A、B、C、D点的坐标分别为A（0，a），B（-b，0），C（c，0），D（d，0），于是|AB|=，|AD|=，|BD|=d+b，|DC|=c-d，因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，所以a2+b2=a2+d2+（d+b）（c-d），得b2-d2=（d+b）（c-d），又因为D为BC边上任意一点（异于B、C ），b≠-d，从而b-d=c-d，即b=c，|OB|=|OC|，△ABC是等腰三角形.
向量是数学中的重要概念之一 。由于向量具有几何形式和代数形式“双重身份” ，使它成为中学数学知识的一个交汇点 ，成为联系多项内容的媒介。特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时 ，向量工具有其独到之处。
参考文献：
[1]刘心华.向量法解平面解析几何题[J].中学数学教学，2002（3）.
[2]王学贤.浅析同一法[J].数学教学通讯，1984（3）.
[3]顾越岭.高中数学精讲[M].江苏教育出版社.
（作者单位：湖北襄阳职业技术学院公共课部）