论文部分内容阅读
【摘要】 本文阐述了选择数学课本习题作为"母题",进行典型的问题链设计，即设计一题多变, 一题多解的数学问题，从而激活数学习题课、学生自主参与学习，提高数学教学质量的目的。這样符合学生的"最近发展区"原理：既不增加学生的学习负担，又不搞题海战术，还能充分发挥教材的自身特点起到举一反三、触类旁通的作用，同时还能启发学生思维，提高学生分析题和解题的能力，也有利于引导学生更好地掌握知识、技能，从而达到发散思维和培养学生创新性思维之目的。
【关键词】 问题 最近发展区 演变 反思
问题是数学的心脏，问题教学要给学生一定的思考时间，教师启发学生对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索，这样既加强了知识间的横向联系，又提高了学生思维能力和学习数学的兴趣，有利于培养他们的参与意识。
数学教学的主要途径是课堂教学，课堂是教师与学生、学生与学生、教材与学生相互作用的场所，在课堂上按知识的产生、发展的过程进行导入教学，让学生体验其过程，有利于探索性学习，使课程内容接近学生的“最近发展区”，也符合学生的心理，从而极大地调动学生思维的积极性，发挥其学习的主观能动性，唤起学生对数学的酷爱，让他们在迫切的需求下学习，使他们把数学学习成为自觉的学习活动，使学生真正成为课堂教学的主体。
下面仅结合本人的一个教学实例，就“选择典型的课本习题作为'母题'，精心设计问题链，从而以一代多，激活数学习题课”这一主题谈谈自己的浅见。
首先，要立足课本，寻找“母题”。人教版数学教材中的绝大多数例题、习题是数学的"精品"。因为它具有极强的典型性和研究性。但在自己的教学实践中，发现学生往往自认为课本上的知识过于浅显，不能满足他们的求知欲。于是在备课中，我们要认真钻研课标，研读分析课本例、习题，找出其本质的、有代表性知识点的例、习题做为“母题”。因为再复杂的数学问题，也是由简单的、基本的命题繁衍变化而来的。在中考章节复习到七年级下册§5.3平行线的性质时，我选择了课本中P26 6.选择题的⑵做为“母题”：如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°
因为对平行线的性质早已熟悉，学生们稍加思考就会想到利用题中两组平行线构造出两对互补的同旁内角。因此，大部分学生能找到答案为C。如果就此打住，学生们会觉得很容易，免不了会出现自满情绪，认为课本上的习题过于简单。紧接着，就应该要通过对学生认为过于简单的例、习题进行适当引申和拓展，再创造机会引导学生自主探究了。
其次，引申、拓展“母题”，精心设计问题。找准“母题”后，要充分挖掘这些“精品”的重要价值和充分挖掘它的潜在功能，这样无疑对学生数学素质的培养，解题能力的提高有极大的益处。使他们既体验了成功的喜悦，激发了学习数学的兴趣，更重要的是在自主学习和主动探究的实践过程中，获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用数学知识和技能解决实际问题的能力，培养学生的创造能力。从内容上看，教师设计的问题必须符合“最近发展区”理论，一定要把问题落在学生的“最近发展区”，这样做才最具有探索价值。
以下是我在教学实践中通过对该“母题”的引申和拓展，设计的一组问题链：演变1：如图上，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°
学生通过对比上题，可以立刻说出答案仍为C，这是因为他们很自然会想到补出辅助线CD∥AB，构造出"母题"的基本关系。这初步的拓展，难度不大，却让学生从中找准了基本图形和关系。
演变2：已知,如下图组,AB∥CD，⑴∠A+∠C=________ ⑵∠A+∠E+∠C=________
⑶∠A+∠E+∠F+∠C=________
⑷试探究:∠A+∠E+∠F+…+∠C=________（∠C为第n个角）
通过上两题，学生可顺利解出⑴⑵两问；再仿照演变1的形式“顺藤摸瓜”也能较顺利地完成⑶，完成⑷需要留一些等待的时间给学生，待部分学生找出规律后，可尝试引导学生共同交流完成，切不可“拔苗助长”。因为学生要真正掌握知识，培养能力，必须通过自身的实践，教学中要使学生从“做”中去体会，从“做”中去巩固，掌握知识，尽量少用说教式，结论式教学。“先做后说”、“师生共做”是新教材的具体方法，下面该轮到学生自己总结规律了：通过各“凸”点作出一系列平行线，利用"平行于同一直线的两直线平行"，构造出一串互补的同旁内角，可得到结论为：（n-1）180°
选择这一问题是为了培养学生的探究和合情推理性。探究是指学生围绕学习内容，学习目标，自己的猜测所进行的一切探索与研究活动。它是当代教育工作者较为推崇的一种学习方式。学生开始应是“尝试”着去探究，心理研究证明“尝试”能有效地激发学生的学习兴趣和求知欲；尝试能使学生形成敢于探索、敢于尝试的创新精神；而推理能力是一个人应具备的基本能力之一，无论是在日常的生活中还是在未来的职业中，每个人都应在思考、交流的过程只能够做到清晰、有条理、合乎逻辑。数学学科对学生推理能力的培养有着特殊的作用。《数学课程标准》对学生的推理能力做了明确的阐述，主要含义是能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、步步有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论和质疑。
演变3（变凸为凹）：已知：如图甲，AB∥CD，∠C=30°,∠A=57°,求∠APC.
学生利用上述结论，很容易想到（如图乙）利用作平行线，构造出两对内错角，从而使问题迎刃而解。两次演变，都用到了构造的方法，这再次说明数学教学大纲中“由复杂的几何图形分解出简单的、基本的图形，在其基本的图形中找出基本元素及其关系。”的指导意义。
《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的主动和富有个性的过程。“问题教学”问题的层次性、开放性、启发性就为不同的学生提供训练思维的情景和平台，精心设计一些不同的方式表达自己的想法，鼓励学生用多种方法解题一展现个人见解，让学生大胆地想、说、做，从疑惑到争论，在生生交流、师生交流中体会到解决问题是可以有不同的策略的，每一个人都应当有自己对问题的理解，不断取长补短，并在此基础形成自己解决问题的基本策略。学生在解决问题的过程中训练了自己的思维技巧，发散了思维，培养了思维品质，提高了思维能力，充分地发展了学生及个性。这便是我想到出演变4的初衷。
演变4：已知如图1,∠BAE=45°,∠CDF=40°,且AB∥CD,直线AC与直线DF交于点O,求∠O的度数.
我让学生们至少用两种方法解答此题（旨在巩固利用演变1、2），再就自己的“妙法”进行讲解，谈谈自己解此题时的思路，而我仅作为“旁听生”。可学生们的解法却让我感到惊喜，竟有十余种方法，怎一个“妙”字了得！这使我真切地体会到“青出于兰，而胜于兰”的意境，以上的图示便是同学们的部分“杰作”。他们各抒己见：有的是利用“两直线平行，同位角相等／同旁内角互补”（图2）达到目的，有的是构造出△（图3），利用“两直线平行，同位角相等”和△外角性质得出结论；图4利用“两直线平行，同旁内角互补”和△内角和定理，图5利用Rt△的两锐角互余，图6--图9还将其转化为五、四边形，这绝对是我没想到的。图6、8为特殊的多边形--图7、9为一般的多边形。
学生们这种冲破思维定式、由特殊到一般的转换思想是难能可贵的，课堂上安静与掌声交错着，无须我强调纪律。当然，在每个同学讲完之后，我都给以了点评。点评学生的讲解，并进一步说明该题所涉及的基础知识、基本技巧和基本思想方法。同时给学生以极大的鼓励。我的鼓励、学生们的认可，极大地激发了学生的学习积极性和“创造热情”。学生的讲解和观点虽然有些幼稚，但我认为这节课是比较成功的课。因为在此过程中，学生所获得的东西远远超出了只是教师简单地讲若干习题的效果。在这个过程中，充分体现了生生互动和师生互动的教学理念。而且从教学效果来看，也比只是教师在前边讲强得多。
再次，教会学生总结反思问题。所谓总结就是将过去的加以整理、消化、吸收的过程就是将别人的东西变成自己的过程，即提高的过程；反思就是做完一题之后，不是接着做下一个题，而是回过头来将做题时想到的知识，方法等再思一思、想一想。反思有助于能力的提高。总结应贯穿于学生学习的始终。引导学生开展丰富的联想，用不同的方法，不同的知识的立意等去解决、思考同一个问题；对一些数学问题如从它本身的意义上考虑难以解决，则可根据它的特征变化成另一种与它等价的但又完全不同的知识去研究获得突破；从方法、规律、技巧等方面进行反思，寻觅解决问题的最优方案…这样做更有利于提高学生的数学整体素质，使他们从小养成全面地、有创见地思考问题习惯，提高他们的学习效果。
最后，教师反思问题设计，以提高教学质量。在阶段教学中要有一定的时间留给自己进行反思，问题设计亦如此。主要体现在：所选问题是否充分发挥教材的指导意义；所编的问题是否能充分调动学生的发散思维，引导其多角度地思考问题、变通问题；在阶段学习后，及时引导学生将所学知识自觉串线、归类、加强记忆，这时再通过综合性的练习题，启发学生纵向、横向、逆向去联想，从知识结构的不同方向去可以培养学生的思维连动性；以及如何帮助学生解决解题中出现的带有共性的错误等。只有不断反思与总结，并将其运用于日常教学实践，在教学时多向学生出示一些变式问题和一些具有多种解法的问题，以此引导学生广开思路，引导学生多个探索目标、多层次、多角度、全方位地思考问题，最终必能提高教学质量。
以上是我结合本人的教学实践，就“用问题激活数学习题课”谈了自己的看法和感想。“问题”是数学的心脏，由问题到问题更是数学的一大特点。我们广大数学教师要在选题、设计问题上下功夫，“要给学生一杯水，自己就要有一桶水”；要从对例、习题的批判中去借鉴、推广、引申，由特殊到一般，变更条件，开放结论，一题多解，一题多变；在新课程改革实施的过程中，努力实现让学生体会到“我参与，我快乐；我参与，我成長”，近而达到提高数学教学质量的最终目的。
参考文献
［1］ 《新编教育学教程》（叶澜主编，华东师范大学出版社1991年版）
［2］ 教育部《全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》 2001
［3］ 《课改论坛》（华夏课改联谊会会报 2007~2008学年度，第43期）
［41］ 《课改论坛》（华夏课改联谊会会报 2008~2009学年度，第12期）
【关键词】 问题 最近发展区 演变 反思
问题是数学的心脏，问题教学要给学生一定的思考时间，教师启发学生对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索，这样既加强了知识间的横向联系，又提高了学生思维能力和学习数学的兴趣，有利于培养他们的参与意识。
数学教学的主要途径是课堂教学，课堂是教师与学生、学生与学生、教材与学生相互作用的场所，在课堂上按知识的产生、发展的过程进行导入教学，让学生体验其过程，有利于探索性学习，使课程内容接近学生的“最近发展区”，也符合学生的心理，从而极大地调动学生思维的积极性，发挥其学习的主观能动性，唤起学生对数学的酷爱，让他们在迫切的需求下学习，使他们把数学学习成为自觉的学习活动，使学生真正成为课堂教学的主体。
下面仅结合本人的一个教学实例，就“选择典型的课本习题作为'母题'，精心设计问题链，从而以一代多，激活数学习题课”这一主题谈谈自己的浅见。
首先，要立足课本，寻找“母题”。人教版数学教材中的绝大多数例题、习题是数学的"精品"。因为它具有极强的典型性和研究性。但在自己的教学实践中，发现学生往往自认为课本上的知识过于浅显，不能满足他们的求知欲。于是在备课中，我们要认真钻研课标，研读分析课本例、习题，找出其本质的、有代表性知识点的例、习题做为“母题”。因为再复杂的数学问题，也是由简单的、基本的命题繁衍变化而来的。在中考章节复习到七年级下册§5.3平行线的性质时，我选择了课本中P26 6.选择题的⑵做为“母题”：如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°
因为对平行线的性质早已熟悉，学生们稍加思考就会想到利用题中两组平行线构造出两对互补的同旁内角。因此，大部分学生能找到答案为C。如果就此打住，学生们会觉得很容易，免不了会出现自满情绪，认为课本上的习题过于简单。紧接着，就应该要通过对学生认为过于简单的例、习题进行适当引申和拓展，再创造机会引导学生自主探究了。
其次，引申、拓展“母题”，精心设计问题。找准“母题”后，要充分挖掘这些“精品”的重要价值和充分挖掘它的潜在功能，这样无疑对学生数学素质的培养，解题能力的提高有极大的益处。使他们既体验了成功的喜悦，激发了学习数学的兴趣，更重要的是在自主学习和主动探究的实践过程中，获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用数学知识和技能解决实际问题的能力，培养学生的创造能力。从内容上看，教师设计的问题必须符合“最近发展区”理论，一定要把问题落在学生的“最近发展区”，这样做才最具有探索价值。
以下是我在教学实践中通过对该“母题”的引申和拓展，设计的一组问题链：演变1：如图上，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°
学生通过对比上题，可以立刻说出答案仍为C，这是因为他们很自然会想到补出辅助线CD∥AB，构造出"母题"的基本关系。这初步的拓展，难度不大，却让学生从中找准了基本图形和关系。
演变2：已知,如下图组,AB∥CD，⑴∠A+∠C=________ ⑵∠A+∠E+∠C=________
⑶∠A+∠E+∠F+∠C=________
⑷试探究:∠A+∠E+∠F+…+∠C=________（∠C为第n个角）
通过上两题，学生可顺利解出⑴⑵两问；再仿照演变1的形式“顺藤摸瓜”也能较顺利地完成⑶，完成⑷需要留一些等待的时间给学生，待部分学生找出规律后，可尝试引导学生共同交流完成，切不可“拔苗助长”。因为学生要真正掌握知识，培养能力，必须通过自身的实践，教学中要使学生从“做”中去体会，从“做”中去巩固，掌握知识，尽量少用说教式，结论式教学。“先做后说”、“师生共做”是新教材的具体方法，下面该轮到学生自己总结规律了：通过各“凸”点作出一系列平行线，利用"平行于同一直线的两直线平行"，构造出一串互补的同旁内角，可得到结论为：（n-1）180°
选择这一问题是为了培养学生的探究和合情推理性。探究是指学生围绕学习内容，学习目标，自己的猜测所进行的一切探索与研究活动。它是当代教育工作者较为推崇的一种学习方式。学生开始应是“尝试”着去探究，心理研究证明“尝试”能有效地激发学生的学习兴趣和求知欲；尝试能使学生形成敢于探索、敢于尝试的创新精神；而推理能力是一个人应具备的基本能力之一，无论是在日常的生活中还是在未来的职业中，每个人都应在思考、交流的过程只能够做到清晰、有条理、合乎逻辑。数学学科对学生推理能力的培养有着特殊的作用。《数学课程标准》对学生的推理能力做了明确的阐述，主要含义是能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、步步有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论和质疑。
演变3（变凸为凹）：已知：如图甲，AB∥CD，∠C=30°,∠A=57°,求∠APC.
学生利用上述结论，很容易想到（如图乙）利用作平行线，构造出两对内错角，从而使问题迎刃而解。两次演变，都用到了构造的方法，这再次说明数学教学大纲中“由复杂的几何图形分解出简单的、基本的图形，在其基本的图形中找出基本元素及其关系。”的指导意义。
《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的主动和富有个性的过程。“问题教学”问题的层次性、开放性、启发性就为不同的学生提供训练思维的情景和平台，精心设计一些不同的方式表达自己的想法，鼓励学生用多种方法解题一展现个人见解，让学生大胆地想、说、做，从疑惑到争论，在生生交流、师生交流中体会到解决问题是可以有不同的策略的，每一个人都应当有自己对问题的理解，不断取长补短，并在此基础形成自己解决问题的基本策略。学生在解决问题的过程中训练了自己的思维技巧，发散了思维，培养了思维品质，提高了思维能力，充分地发展了学生及个性。这便是我想到出演变4的初衷。
演变4：已知如图1,∠BAE=45°,∠CDF=40°,且AB∥CD,直线AC与直线DF交于点O,求∠O的度数.
我让学生们至少用两种方法解答此题（旨在巩固利用演变1、2），再就自己的“妙法”进行讲解，谈谈自己解此题时的思路，而我仅作为“旁听生”。可学生们的解法却让我感到惊喜，竟有十余种方法，怎一个“妙”字了得！这使我真切地体会到“青出于兰，而胜于兰”的意境，以上的图示便是同学们的部分“杰作”。他们各抒己见：有的是利用“两直线平行，同位角相等／同旁内角互补”（图2）达到目的，有的是构造出△（图3），利用“两直线平行，同位角相等”和△外角性质得出结论；图4利用“两直线平行，同旁内角互补”和△内角和定理，图5利用Rt△的两锐角互余，图6--图9还将其转化为五、四边形，这绝对是我没想到的。图6、8为特殊的多边形--图7、9为一般的多边形。
学生们这种冲破思维定式、由特殊到一般的转换思想是难能可贵的，课堂上安静与掌声交错着，无须我强调纪律。当然，在每个同学讲完之后，我都给以了点评。点评学生的讲解，并进一步说明该题所涉及的基础知识、基本技巧和基本思想方法。同时给学生以极大的鼓励。我的鼓励、学生们的认可，极大地激发了学生的学习积极性和“创造热情”。学生的讲解和观点虽然有些幼稚，但我认为这节课是比较成功的课。因为在此过程中，学生所获得的东西远远超出了只是教师简单地讲若干习题的效果。在这个过程中，充分体现了生生互动和师生互动的教学理念。而且从教学效果来看，也比只是教师在前边讲强得多。
再次，教会学生总结反思问题。所谓总结就是将过去的加以整理、消化、吸收的过程就是将别人的东西变成自己的过程，即提高的过程；反思就是做完一题之后，不是接着做下一个题，而是回过头来将做题时想到的知识，方法等再思一思、想一想。反思有助于能力的提高。总结应贯穿于学生学习的始终。引导学生开展丰富的联想，用不同的方法，不同的知识的立意等去解决、思考同一个问题；对一些数学问题如从它本身的意义上考虑难以解决，则可根据它的特征变化成另一种与它等价的但又完全不同的知识去研究获得突破；从方法、规律、技巧等方面进行反思，寻觅解决问题的最优方案…这样做更有利于提高学生的数学整体素质，使他们从小养成全面地、有创见地思考问题习惯，提高他们的学习效果。
最后，教师反思问题设计，以提高教学质量。在阶段教学中要有一定的时间留给自己进行反思，问题设计亦如此。主要体现在：所选问题是否充分发挥教材的指导意义；所编的问题是否能充分调动学生的发散思维，引导其多角度地思考问题、变通问题；在阶段学习后，及时引导学生将所学知识自觉串线、归类、加强记忆，这时再通过综合性的练习题，启发学生纵向、横向、逆向去联想，从知识结构的不同方向去可以培养学生的思维连动性；以及如何帮助学生解决解题中出现的带有共性的错误等。只有不断反思与总结，并将其运用于日常教学实践，在教学时多向学生出示一些变式问题和一些具有多种解法的问题，以此引导学生广开思路，引导学生多个探索目标、多层次、多角度、全方位地思考问题，最终必能提高教学质量。
以上是我结合本人的教学实践，就“用问题激活数学习题课”谈了自己的看法和感想。“问题”是数学的心脏，由问题到问题更是数学的一大特点。我们广大数学教师要在选题、设计问题上下功夫，“要给学生一杯水，自己就要有一桶水”；要从对例、习题的批判中去借鉴、推广、引申，由特殊到一般，变更条件，开放结论，一题多解，一题多变；在新课程改革实施的过程中，努力实现让学生体会到“我参与，我快乐；我参与，我成長”，近而达到提高数学教学质量的最终目的。
参考文献
［1］ 《新编教育学教程》（叶澜主编，华东师范大学出版社1991年版）
［2］ 教育部《全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》 2001
［3］ 《课改论坛》（华夏课改联谊会会报 2007~2008学年度，第43期）
［41］ 《课改论坛》（华夏课改联谊会会报 2008~2009学年度，第12期）