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摘要：根据学生在学习中存在的问题，本文作者总结出学生感到学习结构力学很困难的主要原因是：没有掌握好静力学计算的基本方法——截面法。在本文中举出学生在结构的受力分析中应用截面法进行内力计算出现的典型问题的原因及解决方法，对学生学好结构力学起到很好的辅导作用。
关键词：截面法；隔离体；受力分析；结构类型；杆件类型
前言
结构力学是土建、水利工程类各专业的必修课，主要研究杆系结构在荷载等外因影响作用下的强度和刚度的计算与校核。由于结构复杂、计算繁琐，一直是学生头痛的功课。学生为什么感到结构力学难学呢？笔者在长期教学中，针对学生在学习中存在的问题，感觉到一个很重要的原因，就是学生没有掌握好静力学计算的基本方法——截面法。这个原因在基础较差的少数民族班中更显得突出，因此要学好结构力学，首先必须熟练掌握截面法。我们希望该文章能够给学生一点启发与帮助，增强学习结构力学的信心与兴趣。
一、截面法的定义
定义：将指定截面切开取出左边部分（或右边部分）为隔离体，应用隔离体的平衡条件确定截面的内力或反力。定义不难，但是理解却是不容易的，例如用假想平面将截面切开后，为什么截面处会出现力？这似乎是简单又简单的问留，是理论力学、材料力学早已解决的问题，可这正是许多同学在学习中没有学好这一内容，致使在结构力学的学习中成为一个说不清道不明似是而非的问题，追踪源头，是学生对"力"的概念仍旧模糊。什么叫“力”？“力”就是物体与物体之间的相互作用。见图1，一个房梁搭在墙上为什么可以保持不动，不会掉下来？就是由于墙体的支撑作用，而这作用实质上是力的作用，若不用墙体，而换为某一同学用肩膀去扛，同学一定会感到梁压力的作用，而自己必须使劲才能使梁不动，这充分说明支撑作用就是力的作用，而且由于梁压力的作用，同学不仅是肩膀受到力的作用，而且躯干、腿部均感到力的作用，这说明外力的作用引起物体内部力的作用，这就是内力。当用假想平面把结构与支座切断，则支座对结构的支撑约束作用就用其支撑力代替，就好象用人体代替墙体一样，同理，看图2，从杆件某一指定截面处用假想平面切开，取截面一侧部分为隔离体，在截面处必有另一部分隔离体对该截面的约束作用——内力，这就是截面处出现力的原因。从平衡的观点来讲，取出的隔离体一定要满足平衡条件，在截面处必存在与荷载、反力构成一组平衡力系的内力。
二、截面法中的几个问题
1、隔离体的类型
根据所求问题的不同，隔离体大致可以分下列三种类型：
（1）全部结构 一般在求支座反力时常采用这种隔离体，例如图3所示三铰刚架计算竖向反力 时就以整体为隔离体，根据 的平衡条件得到： ，具体计算时，为方便取隔离体并不去掉支座，而直接在支座处标出反力方向，应用平衡条件计算即可。
（2）部分结构 求解截面内力一般采用这种隔离体，即把欲求内力的截面截开，取截面一侧部分为隔离体。
（3）一个结点 桁架内力计算的结点法就是一个典型的例子。此外在刚架内力计算中，由已知剪力求轴力以及最后内力校核时也常取一个结点为隔离体。
2、杆件的类型
截取隔离体时，根据不同类型的杆件，在杆截面处的内力种类也是不同的。
（1）梁式杆 这是以受弯为主的杆件，象梁、刚架的杆件就是这种类型，其内力包含弯矩、剪力和轴力。
（2）桁式杆 内力只有轴力的杆件，又称二力杆或链杆，桁架在结点荷载作用下，各杆均为桁式杆。
（3）结构计算中还要注意支座的类型，不同类型的支座对应的反力也是不同的，教课书上有详细论述，这里就不赘言了。
三、如何应用截面法
在结构力学中，计算方法很多，但这些方法仍然是以截面法为基础的，例如叠加法作弯矩图，其中很关键的一步就是求各控制截面的弯矩值，而其计算方法就是截面法。用截面法求解指定截面内力的一般计算步骤是：'
1、用假想平面切开指定截面，取出一侧部分为隔离体。
2、把隔离体上作用的荷载、支座反力以及内力画出，一般末知内力按正向画出。
3、应用平衡条件逐个求出截面内力。一般步骤是：
第1步，同学基本上可以掌握，但个别同学出现的问题是截取隔离体时，并没有完全断开，例如图4所示桁架，应用截面法求解a杆轴力 ，正确方法是：先作截面I一I切断a、b、c三杆，取截面左边部分为隔离体，以C点为矩心，由 即可求出 。而出现的错误做法是只切断了a杆，就想当然应用I一I左边部分，由 得出 的错误解答。其根本原因就是对隔离体的概念比较模糊。所谓隔离体，意在隔离，即与周围物体联系完全断开，"藕断丝连"是不行的，不完全断开，实质上还是整体，但是由于 是一对大小相等方向相反的力，应用平衡条件是无法解出的。也许会有同学问：“取隔离体不能藕断丝连，为什么在力法解超静定桁架截断多余杆件时，强调只切断轴向联系，而其余两个联系依然存在？”这又是一个模糊概念。力法中截断杆件，是指去掉多余约束，而代以多余未知力，使超静定结构转化为静定结构，并不是取隔离体，这點一定要分清。
第2步，同学中存在的问题就多了，最普遍的问题就是取隔离体时遗漏了力。
①遗漏内力
同学在计算截面内力时，常常出现的一种错误就是不能正确区分两类不同的杆件。举例，见图5所示组合结构，假定反力 、 已求出，现在计算各杆内力，有些同学应用结点法，把A点取为隔离体，在标出各杆端内力时，忽略了AE杆的类型，错误地看成轴力杆，把剪力 遗漏，应用平衡条件很方便地求出轴刀 、 ，结果不言而喻是错误的。出现上述错误的原因是这些同学对桁式杆的概念比较模糊，他们只看到AE杆两端的铰A、E，忽视了中间的铰F，误把AE杆看成桁式杆。另外有些同学也知道AE杆是梁式杆，但解题时粗心大意，忘记标出剪力，导致错误结果。 ②遗漏反力
各类结构中滚轴支座、铰支座比较多见，同学们通过大量解题，对这两种支座反力比较熟悉，但有时由于粗心大意也容易遗漏反力，例如在三铰刚架计算中就容易忽略水平反力。而对固定支座、定向支座，同学们常常犯的错误是把反力矩漏掉。举例，见图6，绘结构弯矩图，一般方法是从自由端开始顺次求出各杆端弯矩，然后作M图。但是也有同学先求支座反力： ， 。却忽视了反力矩 ，于是截取AB段为隔离体进行计算时，得出 、 都等于零的错误结论。再举一典型例子：有一同学求图7所示悬臂刚架固定支座竖向反力 时，他以C为矩心，由 ，得：
，计算 （↓），
结果显然是不正确的，原因是把A支座的水平反力 及反力矩 漏掉了。这位同学所选取的隔离体计算也是不简便的，实际上对整体取竖向投影平衡方程 ，就很方便地求得
③遗漏荷载
同学在截取隔离体时，遗漏某些荷载是常出现的毛病，举例，见图8，三铰刚架 、 图已作出，作轴力图时，求 需要截取结点D为隔离体，许多同学取图9（a）图隔离体，由 解得 ，是拉力，从方法上讲是正确的，但是漏画了水平荷载F，由于这小小的疏忽，使得前功尽弃。正确隔离体见图9（b），根据平衡条件得到 ， 是压力。另外在荷载个数比较多的情况下，同学截取隔离体时常常粗心大意、丢三落四，总是漏画某几个荷载，例如桁架的内力计算。因此同学们一定要细心，养成先核对再计算的好习惯。
上面论述了截面内力的计算方法，但在实际应用中同学仍然存在很多问题，尤其是刚架截面弯矩的计算。主要表现如下：
1、不会计算刚架截面弯矩，这个问题在少数民族班和大專班表现比较突出，其根本原因是：①基础知识不扎实，对于理论力学中的静力平衡内容和材料力学中的梁弯曲内容没有掌握好。因此对结构力学中比较复杂的结构内力计算就感到束手无策非常困难。对这类问题没有其它解决方法，只有老老实实坐下来认真补课才行。②有些同学思路不开阔，不能灵活应用所学知识。在材料力学单跨静定梁的内力计算中所截取的隔离体均是单根杆件，同学在计算截面弯矩肘，外力对截面形心的距离比较直观，因此外力矩的计算比较简单。但在结构力学中，对刚架的内力计算中所截取的隔离体不是一维空间的单根杆件，而是扩展到二维空间的多根杆件体系，相应外力对截面形心之矩的分布就比较复杂。因此这些同学在计算时就感到比较吃力。原因就是隔离体扩展到平面的若干杆件，不再是一条线上的单根杆件，计算截面弯矩时，这些同学不清楚外力对截面形心的力臂如何取，甚至个别同学不清楚外力对相隔几个杆件的截面弯矩会有影响。这就需要多举例题，加强练习，例如图11所示刚架的隔离体，欲计算截面弯矩 ，应用力沿作用线移动不影响力的作用的原理，把各个外力的作用线画出，则它们对截面形心的力臂的大小就很明确了，比如力 对截面形心的力臂显然等于 ，关系摘清楚了，问题也就迎刃而解了。
2、绘刚架弯矩图时不会判断杆件受拉受压侧，某些同学应用公式（c）计算截面弯矩时，方法和结果都正确，但是画出的弯矩图总是反的，追究其原因是错误的理解了公式（c），把等号两边的等量关系理解为不但数值相等，而且方向也相同，例如图7中计算杆BC左瑞弯矩 时，取BCD部分为隔离体，由 可得： ，而荷载对截面的弯矩是顺时针方向的，这些同学就认为 也是顺时针方向的，由此可得B端是下侧受拉，必然画出相反的弯矩图。在此建议犯有同等错误的同学把本文前面关于截面内力的公式（a）、（b）、（c）部分再看一看，要深刻理解它们的实质是平衡条件，而决不是单纯的等式，在这里通过（c）式再复述一遍它们的含义，用 表示截面K的弯矩， 表示隔离体上外力对截面K的形心的力矩代数和，则（c）式就简记为 ；再把等式右端移项到左端，还原成为平衡方程： ，那么其物理意义就很明显了：截面弯矩与外力矩要满足平衡条件，它们必然在数值上相等，在方向上相反。所以上面举例中的 是逆时针方向的，相应杆BC的B端是上侧受拉。同学们只要理解了公式，这个问题是很容易纠正的。
关键词：截面法；隔离体；受力分析；结构类型；杆件类型
前言
结构力学是土建、水利工程类各专业的必修课，主要研究杆系结构在荷载等外因影响作用下的强度和刚度的计算与校核。由于结构复杂、计算繁琐，一直是学生头痛的功课。学生为什么感到结构力学难学呢？笔者在长期教学中，针对学生在学习中存在的问题，感觉到一个很重要的原因，就是学生没有掌握好静力学计算的基本方法——截面法。这个原因在基础较差的少数民族班中更显得突出，因此要学好结构力学，首先必须熟练掌握截面法。我们希望该文章能够给学生一点启发与帮助，增强学习结构力学的信心与兴趣。
一、截面法的定义
定义：将指定截面切开取出左边部分（或右边部分）为隔离体，应用隔离体的平衡条件确定截面的内力或反力。定义不难，但是理解却是不容易的，例如用假想平面将截面切开后，为什么截面处会出现力？这似乎是简单又简单的问留，是理论力学、材料力学早已解决的问题，可这正是许多同学在学习中没有学好这一内容，致使在结构力学的学习中成为一个说不清道不明似是而非的问题，追踪源头，是学生对"力"的概念仍旧模糊。什么叫“力”？“力”就是物体与物体之间的相互作用。见图1，一个房梁搭在墙上为什么可以保持不动，不会掉下来？就是由于墙体的支撑作用，而这作用实质上是力的作用，若不用墙体，而换为某一同学用肩膀去扛，同学一定会感到梁压力的作用，而自己必须使劲才能使梁不动，这充分说明支撑作用就是力的作用，而且由于梁压力的作用，同学不仅是肩膀受到力的作用，而且躯干、腿部均感到力的作用，这说明外力的作用引起物体内部力的作用，这就是内力。当用假想平面把结构与支座切断，则支座对结构的支撑约束作用就用其支撑力代替，就好象用人体代替墙体一样，同理，看图2，从杆件某一指定截面处用假想平面切开，取截面一侧部分为隔离体，在截面处必有另一部分隔离体对该截面的约束作用——内力，这就是截面处出现力的原因。从平衡的观点来讲，取出的隔离体一定要满足平衡条件，在截面处必存在与荷载、反力构成一组平衡力系的内力。
二、截面法中的几个问题
1、隔离体的类型
根据所求问题的不同，隔离体大致可以分下列三种类型：
（1）全部结构 一般在求支座反力时常采用这种隔离体，例如图3所示三铰刚架计算竖向反力 时就以整体为隔离体，根据 的平衡条件得到： ，具体计算时，为方便取隔离体并不去掉支座，而直接在支座处标出反力方向，应用平衡条件计算即可。
（2）部分结构 求解截面内力一般采用这种隔离体，即把欲求内力的截面截开，取截面一侧部分为隔离体。
（3）一个结点 桁架内力计算的结点法就是一个典型的例子。此外在刚架内力计算中，由已知剪力求轴力以及最后内力校核时也常取一个结点为隔离体。
2、杆件的类型
截取隔离体时，根据不同类型的杆件，在杆截面处的内力种类也是不同的。
（1）梁式杆 这是以受弯为主的杆件，象梁、刚架的杆件就是这种类型，其内力包含弯矩、剪力和轴力。
（2）桁式杆 内力只有轴力的杆件，又称二力杆或链杆，桁架在结点荷载作用下，各杆均为桁式杆。
（3）结构计算中还要注意支座的类型，不同类型的支座对应的反力也是不同的，教课书上有详细论述，这里就不赘言了。
三、如何应用截面法
在结构力学中，计算方法很多，但这些方法仍然是以截面法为基础的，例如叠加法作弯矩图，其中很关键的一步就是求各控制截面的弯矩值，而其计算方法就是截面法。用截面法求解指定截面内力的一般计算步骤是：'
1、用假想平面切开指定截面，取出一侧部分为隔离体。
2、把隔离体上作用的荷载、支座反力以及内力画出，一般末知内力按正向画出。
3、应用平衡条件逐个求出截面内力。一般步骤是：
第1步，同学基本上可以掌握，但个别同学出现的问题是截取隔离体时，并没有完全断开，例如图4所示桁架，应用截面法求解a杆轴力 ，正确方法是：先作截面I一I切断a、b、c三杆，取截面左边部分为隔离体，以C点为矩心，由 即可求出 。而出现的错误做法是只切断了a杆，就想当然应用I一I左边部分，由 得出 的错误解答。其根本原因就是对隔离体的概念比较模糊。所谓隔离体，意在隔离，即与周围物体联系完全断开，"藕断丝连"是不行的，不完全断开，实质上还是整体，但是由于 是一对大小相等方向相反的力，应用平衡条件是无法解出的。也许会有同学问：“取隔离体不能藕断丝连，为什么在力法解超静定桁架截断多余杆件时，强调只切断轴向联系，而其余两个联系依然存在？”这又是一个模糊概念。力法中截断杆件，是指去掉多余约束，而代以多余未知力，使超静定结构转化为静定结构，并不是取隔离体，这點一定要分清。
第2步，同学中存在的问题就多了，最普遍的问题就是取隔离体时遗漏了力。
①遗漏内力
同学在计算截面内力时，常常出现的一种错误就是不能正确区分两类不同的杆件。举例，见图5所示组合结构，假定反力 、 已求出，现在计算各杆内力，有些同学应用结点法，把A点取为隔离体，在标出各杆端内力时，忽略了AE杆的类型，错误地看成轴力杆，把剪力 遗漏，应用平衡条件很方便地求出轴刀 、 ，结果不言而喻是错误的。出现上述错误的原因是这些同学对桁式杆的概念比较模糊，他们只看到AE杆两端的铰A、E，忽视了中间的铰F，误把AE杆看成桁式杆。另外有些同学也知道AE杆是梁式杆，但解题时粗心大意，忘记标出剪力，导致错误结果。 ②遗漏反力
各类结构中滚轴支座、铰支座比较多见，同学们通过大量解题，对这两种支座反力比较熟悉，但有时由于粗心大意也容易遗漏反力，例如在三铰刚架计算中就容易忽略水平反力。而对固定支座、定向支座，同学们常常犯的错误是把反力矩漏掉。举例，见图6，绘结构弯矩图，一般方法是从自由端开始顺次求出各杆端弯矩，然后作M图。但是也有同学先求支座反力： ， 。却忽视了反力矩 ，于是截取AB段为隔离体进行计算时，得出 、 都等于零的错误结论。再举一典型例子：有一同学求图7所示悬臂刚架固定支座竖向反力 时，他以C为矩心，由 ，得：
，计算 （↓），
结果显然是不正确的，原因是把A支座的水平反力 及反力矩 漏掉了。这位同学所选取的隔离体计算也是不简便的，实际上对整体取竖向投影平衡方程 ，就很方便地求得
③遗漏荷载
同学在截取隔离体时，遗漏某些荷载是常出现的毛病，举例，见图8，三铰刚架 、 图已作出，作轴力图时，求 需要截取结点D为隔离体，许多同学取图9（a）图隔离体，由 解得 ，是拉力，从方法上讲是正确的，但是漏画了水平荷载F，由于这小小的疏忽，使得前功尽弃。正确隔离体见图9（b），根据平衡条件得到 ， 是压力。另外在荷载个数比较多的情况下，同学截取隔离体时常常粗心大意、丢三落四，总是漏画某几个荷载，例如桁架的内力计算。因此同学们一定要细心，养成先核对再计算的好习惯。
上面论述了截面内力的计算方法，但在实际应用中同学仍然存在很多问题，尤其是刚架截面弯矩的计算。主要表现如下：
1、不会计算刚架截面弯矩，这个问题在少数民族班和大專班表现比较突出，其根本原因是：①基础知识不扎实，对于理论力学中的静力平衡内容和材料力学中的梁弯曲内容没有掌握好。因此对结构力学中比较复杂的结构内力计算就感到束手无策非常困难。对这类问题没有其它解决方法，只有老老实实坐下来认真补课才行。②有些同学思路不开阔，不能灵活应用所学知识。在材料力学单跨静定梁的内力计算中所截取的隔离体均是单根杆件，同学在计算截面弯矩肘，外力对截面形心的距离比较直观，因此外力矩的计算比较简单。但在结构力学中，对刚架的内力计算中所截取的隔离体不是一维空间的单根杆件，而是扩展到二维空间的多根杆件体系，相应外力对截面形心之矩的分布就比较复杂。因此这些同学在计算时就感到比较吃力。原因就是隔离体扩展到平面的若干杆件，不再是一条线上的单根杆件，计算截面弯矩时，这些同学不清楚外力对截面形心的力臂如何取，甚至个别同学不清楚外力对相隔几个杆件的截面弯矩会有影响。这就需要多举例题，加强练习，例如图11所示刚架的隔离体，欲计算截面弯矩 ，应用力沿作用线移动不影响力的作用的原理，把各个外力的作用线画出，则它们对截面形心的力臂的大小就很明确了，比如力 对截面形心的力臂显然等于 ，关系摘清楚了，问题也就迎刃而解了。
2、绘刚架弯矩图时不会判断杆件受拉受压侧，某些同学应用公式（c）计算截面弯矩时，方法和结果都正确，但是画出的弯矩图总是反的，追究其原因是错误的理解了公式（c），把等号两边的等量关系理解为不但数值相等，而且方向也相同，例如图7中计算杆BC左瑞弯矩 时，取BCD部分为隔离体，由 可得： ，而荷载对截面的弯矩是顺时针方向的，这些同学就认为 也是顺时针方向的，由此可得B端是下侧受拉，必然画出相反的弯矩图。在此建议犯有同等错误的同学把本文前面关于截面内力的公式（a）、（b）、（c）部分再看一看，要深刻理解它们的实质是平衡条件，而决不是单纯的等式，在这里通过（c）式再复述一遍它们的含义，用 表示截面K的弯矩， 表示隔离体上外力对截面K的形心的力矩代数和，则（c）式就简记为 ；再把等式右端移项到左端，还原成为平衡方程： ，那么其物理意义就很明显了：截面弯矩与外力矩要满足平衡条件，它们必然在数值上相等，在方向上相反。所以上面举例中的 是逆时针方向的，相应杆BC的B端是上侧受拉。同学们只要理解了公式，这个问题是很容易纠正的。