(浙江省绍兴县柯桥中学浙江 绍兴312030)
　　
　　1原题
　　如图1所示，虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络.此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联结到一个电容器为止.网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d(dS).整个电容网络体系与一内阻可忽略不计的电池连接，电池电动势恒定、大小为ε，忽略电容器的边缘效应，静电力常量为k已知.
　　1.若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为2d.求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功.
　　2.在电容器a两极板的距离变为2d后，再将一块与电容器a的极板形状相同、面积也为S、带电量为Q(Q>0)的金属薄板沿平行于a的极板方向全部插入到电容器a中，使金属薄板距电容器a的左极板的距离为x，求此时电容器a的左极板的带电量.
　　2原解
　　第一小题解略，第二小题解：设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q′，金属薄板左侧带电荷量为-q′，右侧带电荷量为(q′ Q)，a的右极板带电荷量为-(q′ Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q″和-q″.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
　　q″S4πkd=q′S4πkd q′ QS4πk(2d-x),
　　得q′ q″=3q Q2d-xd(1)
　　上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct′所带电荷量(即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和).
　　整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
　　q′ q″ct1 (n-1)q′ q″2C q″C=ε(2)
　　其中Ct1=C2,C=S4πkd.
　　由(1)和(2)式得电容器a左极板带电荷量
　　q′=Sε(3n 13)2πkd-(n 5)(2d-x)(3n 13)dQ(3)
　　3笔者的质疑
　　原解中利用Q/C求两极板的电势差，也就认为电容器的电量均分布在两极板的内侧，即极板的外侧不带电.笔者根据原解绘出电荷分布如图2所示，不难发现电容器极板上总电量之和为-Q而不为零，电量不守恒了，显然原解中给出的电荷分布是不正确的.
　　4笔者的观点
　　 笔者认为出现上述错误的原因是没有注意到：“插入的金属板是带电的”， 电容器会使金属板发生静电感应，表面出现感应电荷，不但如此，带电金属板也会使电容器极板发生静电感应， 因此电容器a不仅极板的内侧带电，外侧表面也应该带电.
　　(一)下面讨论极板外侧的电荷分布情况(内侧电荷分所说既满足G的伏安特性，又满足F的伏安特性，则可推得电流I既随电压增加而减小，又随电压增加而增加，这显然是不可能的.在不少学生中也存在着上述这种“死结”，其原因就是没有理解推理的过程和找准判断的依据.
　　(4)“石文”数学味太浓
　　“石文”自始至终是在引导学生寻找变量和因变量物理意义相同的二元一次方程组，没有让学生理解G和F伏安特性显现的真实物理过程进而寻找到求解工作点的准确依据，将①或②式这样的伏安特性关系式简单地称做“方程”，淡化了其物理本质，不利于“过程与方法”能力的培养.另外，“石文”有“方程的图象”的说法，似应有更规范的表述.
　　(5)“钱文”对类似本文②式的物理意义的的阐述似有不妥
　　“钱文”在得到I=25-U10和U=5-10·I两式后，均有“此即为一个小灯在闭合电路中的U-I关系式”之说明，笔者认为这种理解是欠妥的，上述两式都应归属于本文的②式，都是相应电源的U-I关系式，都是随U的增大I减小的关系，这显然不是这个题目中明确的小灯上的U-I关系线.布仍如原解中所设)
　　电容器极板带电必须满足以下两点：
　　(1)系统总电荷守恒
　　(2)电容器和金属板都处于静电平衡(表面电荷分布稳定，板内部场强为零)
　　我们可以设想只有电容器a的左右极板外侧表面分别带电量为Q/2，即a左极板的带电量为q′ Q/2，电容器a电荷分布如图3所示，尽管能保证电荷守恒，也能保证电容器和金属板内部场强为零，但是电容器两极板和金属薄板对电容器a外空间的电场不为零(可以看作六块无限大平板激发的电场叠加而成，图3中电场线为a外的电场分布)，一旦连入电路后，如图4所示，虚线框内电子在电场力会做定向移动，因此其余极板的外侧都应带电.
　　设想稳定时，电容器a的外侧极板带电量都为q，与a并联的电容器的外侧极板带电量也应为q(设想两电容器并联，极板内侧电荷分布稳定，但极板外侧带电量不等，则两极板在外侧激发的电场不同，导线中的电子便会定向移动，直至两极板外侧表面电量相等为止)，则与a串联的电容器外侧极板带电量为Q/2-2q，如图5所示，也就是说电容器a左极板的带电量是q′ q而不是原解中的q′.
　　(二)这里的q我们可以利用能量的观点求解，但必须先推导出两个带量极板间的静电能.由于带电系统的静电能为W=12∑Ni=1qiUi,其中Qi为第i个带电体所带电荷量，Ui为电荷所在处的电势，QiUi便为此电荷所具有的电势能.因此只要求出每个极板的电势能，可得到两个带量极板间的静电能的表达式.
　　设两极板形状为圆形，半径为r，间距为d，且(dr)，带电量均为 q,如图6所示.
　　设在极板2上任取一电荷元qi，对它而言，极板1为无限大平板，因此极板1在极板2上任意点产生的电势都相等.
　　于是，在板1上取一半径为r→r Δr的环带，如图7所示，根据叠加原理则极板1对极板2的电势能为
　　Ep1=qφ=q∑r0kqπr22πrΔrd2 r2,
　　计算得Epi=kq22r2(r2 d2-d),
　　又因为dr，上式可化简得
　　Ep1=kq22r2(r-d)=2kq2r2(r-d),
　　而极板2自身带电而具有的电势能为(即上式中d=0)
　　Ep2=2kq2r,
　　因此极板2总的电势能为
　　E2=2kq2r2(2r-d),
　　同理得极板1的电势能为
　　E1=2kq2r2(2r-d),
　　则两极板间的静电能为
　　W=12(E1 E2)=2kq2r2(2r-d)
　　=2kπq2S(2Sπ-d),
　　因为dS，上述表达式可近似认为
　　W=4kq2πS.
　　此方法也可以推导出等量异号极板间的静电能为
　　W=2kq2dr2,
　　即W=2kπq2dS=q22C,
　　这与电容器所储存的静电能表达式一致，因此上述求解的方法无疑是正确的.
　　(三)下面我们利用虚功原理求解q，设图5的分布为最终的稳定状态，假设回路中按逆时针方向运输Δq的电量(注意：这里运输的电量仅是极板的外侧，极板内侧的电荷分布不发生变化)，根据能量守恒得
　　4kr［2q2 (Q2-2q)2］
　　=4kr［2(q-Δq2)2 (Q2-2q Δq)2］ εΔq,
　　得q=Q6 εr24k=Q6 ε24kSπ.
　　再根据原解的方法求出电容器a的左侧极板内侧的带电量q′，因此电容器a左极板上的带电量为
　　q′ q=Sε(3n 13)2πkd-(n 5)(2d-x)(3n 13)dQ Q6
　　 ε24kSπ.·概念·规律·辨析·