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有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法。
一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短
例1：（2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______.
分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.
解：如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H.∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理，可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH= .由垂径定理，可知EF=2EH=
点评：本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆.
二、两点之间线段最短
例2：（2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是 CD上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______.
分析：如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圓于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可.
解：如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，∵ ，P2E=1.∴AP2 .即AP2是AP的最小值.
点评：本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键.
三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短
例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.
分析A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.
解：如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H.根据垂径定理，得到
在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC=7 ，则PA+PC的最小值为7 .
点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.
例4（2014东营）如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， ，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是_______cm.
解析：如图8，作点C关于AB的对称点C'，连结C'D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 ，然后求出C'D为直径，从而得解.∴CM+DM的最小值是8cm.
点评：题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.
四、利用切线的性质求最小值
例5（2010苏州）如图9，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
解析：根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解.
如图10，由题意知道当DA是圆C的切线时，OE最短，此时△ABE面积最小.AC=2+1=3.CD=1.
故选C.
点评：本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现.这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法.www.czsx.com.cn
一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短
例1：（2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______.
分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.
解：如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H.∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理，可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH= .由垂径定理，可知EF=2EH=
点评：本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆.
二、两点之间线段最短
例2：（2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是 CD上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______.
分析：如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圓于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可.
解：如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，∵ ，P2E=1.∴AP2 .即AP2是AP的最小值.
点评：本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键.
三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短
例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.
分析A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.
解：如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H.根据垂径定理，得到
在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC=7 ，则PA+PC的最小值为7 .
点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.
例4（2014东营）如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， ，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是_______cm.
解析：如图8，作点C关于AB的对称点C'，连结C'D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 ，然后求出C'D为直径，从而得解.∴CM+DM的最小值是8cm.
点评：题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.
四、利用切线的性质求最小值
例5（2010苏州）如图9，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
解析：根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解.
如图10，由题意知道当DA是圆C的切线时，OE最短，此时△ABE面积最小.AC=2+1=3.CD=1.
故选C.
点评：本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现.这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法.www.czsx.com.cn