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[摘 要] 数学教师要注重自身教学技艺的提升，文章结合实践对教师打磨和提升的着力点进行了分析，指出教师要善于从本质层面来理解数学，要立足于教材分析来研究教学，并且要对实践和反思予以充分的关注. 文章以一次教学展示课的打磨片段为例进行深入探讨.
[关键词] 高中数学；能力提升；着力点；案例分析
学生的数学学习是一个在磨砺中不断成长的过程，与之相应，数学教师的教学水平也需要下足功夫、不断打磨. 下面，笔者就结合教学实践探讨自己在工作中的思考和体会.
数学教师打磨和提升的着力点分析
任何一个教师从幼稚走向成熟，并在不断变革中保持前进和发展的秘诀就在于加强学习，且能始终注意自我打磨和提升. 打磨的着力点一般落在教育观念更新和教学基本功强化等方面，就数学学科而言，教师还应该在以下几个方面来提升自我.
1. 在感悟数学本质的基础上研究教学
数学知识体系中，那些可以对数学本质规律进行反映的概念、原理、公理、公式等等，都可以认为是数学的本质性内容，这些内容的理解都应该从整体层面的高度展开研究. 全方位地感悟数学的本质，有助于教师深刻领会核心素养的内涵，进而让数学课堂的效率得到提升，让原本复杂的内容更加简洁，让深邃的东西更为大众化，让抽象的数学更加形象化，从而让数学的“冰冷之美”趋于柔和，让学生的思维更加火热[1]. 这可以适当减轻学生的负担，让数学课堂更加轻松而自由.
2. 在钻研教材编写意图上推进学科研究
每一个版本的数学教材都是经过众多编写专家千锤百炼而成的，它不仅是对课程标准的具体化，更凝练着编写者对核心素养理念的解读和感悟，也是他们对数学本质的感悟和体会. 在教学实践中，教师要下足功夫钻研教材，领会其编写意图，并从宏观层面理清脉络，在微观之处把握细节. 这样操作的目的不是为了教教材，而是为了更好地重构教材，让教材内容更加匹配学生的认知习惯和本校的具体情形，当然也是为了让教学内容的编排更好地切合教师本身的教学风格. 有关于数学知识和相关理论，曾经有数学教育研究者提出这样的观点：数学家创造了数学概念，数学教师则要从教学实践的层面对概念和公式进行转化，一定要让学生更加有效地进行理解和内化[2].
在研究教材时，现在有很多教师习惯比照课程标准解读教材，对多版本教材进行分析并解读，结合学生的学习情形展开钻研，这些都是非常有效的教材研究方法. 笔者认为，还有一项内容值得教师关注，那就是教材改版过程中的调整，比如人教A版教材在“立体几何初步”的内容设计上，将以往直接呈现出的“三垂线定理”及其逆定理删除，这样的操作有什么讲究呢？相比于之前的模式，这样的内容编排是否更加贴近课程标准的要求，是否能更有助于学生核心素养的发展呢？对这些问题细加体会有助于教师进一步领会课程标准的内涵，也有助于教师在教学中改进教学.
3. 以脚踏实地的姿态来关注实践和反思
课堂教学不是花架子，教师应该脚踏实地，积极审视课堂实效，让学生能获得切实的提升和发展. 在数学教学过程中，教师首先做好教学设计的工作，要在深度钻研教材的基础上，联系学生的实际情况，对教材内容进行重组，从而设计出适合学生的教学方式. 在教学设计中，教师要做到弹性预设，要将教学重点落在学生思路启发和探究引领下，要有效激活学生思维，让学生能够主动而积极地参与到学习之中[3].
教学设计是课堂实效提升的基础，而最终的落脚点就是课堂教学. 数学是一门强调思维和探索的学科，在课堂教学过程中，教师要根据学生的实际情况，灵活调整教学预设，根据学生思考和研究的实际情况，巧妙推进生成性教学. 课堂是教师与学生直接对话的主要平台，数学教师要注意观察学生，要善于联系学生的上课表现来展开分析和研究，及时发现学生存在的问题或思维的闪光点，进而给予学生恰当的启发和引领.
在课后，教师还要注意对教学过程进行反思和修正，反思的内容包括对教学设计和课堂教学的基本操作，只有加强反思，教师才能真正做到在实践中深度打磨，才能因此获得提升.
教学实践案例分析
教师下足功夫、钻研教学的主阵地应该在数学课堂上，教师在教学中应积极融合新的理念和思想，要指导学生有效展开科学探究，提升他们的认知效率. 下面是笔者在一次教学展示课打磨过程的情况介绍，为了让展示课能更加有效地反映课改理念，更好地服务于学生发展，笔者在教研组同仁的帮助下，进行了深度打磨，笔者结合“单调性”的概念教学片断谈谈自己的体会.
1. 教材情境研究
笔者在设计中给出了三个问题，其中有一个关于气温θ随时间t的函数，记为θ=f（t）. 观察如图2所示的气温变化图像，试说明气温升高或降低的时间段.
反思：上述教学过程正是“一个定义，三项注意”教学模式的直接展现，教师直接从教学情境出发，随后给出单调性的定义. 虽然相关情境直接衔接学生的生活经验，但是由生活经验到数学概念，存在明显的跳跃性，这一点如果靠学生自己进行跨越是很难实现的，而这显然正是教师需要有效引导的地方. 教研组同事指出，上述教学设计脱离了对数学本质性的认识，没有意识到学生在形式化定义上的认知难点，直接将概念引出，这样的操作依然会让学生将认识停留在机械记忆的层面，这显然是与新课标脱节的.
问题四：刚才是对具体函数的分析，如果是针对一个一般函数，它在定义域某个区间里的图像呈现为下降的形态，可以据此形成怎样的结论？
学生开始由特殊到一般的推导：如果函数图像在其定义域某个区间中是下降的，则在該区间中的任意选取两个x值x1，x2，当x1f（x2）成立.
反思：上述教学过程中，学生由最直观的图像着手，然后提出了四个问题，设计思路非常清晰. 首先，借助图像为学生提供最为感性而直观的学习素材，并结合问题一为学生指明探索的切入口，引领学生定量刻画函数的增减特点；其次，考虑到学生思维方面的短板，笔者让学生从现有经验出发，结合问题二进行举例说明，如此可以增强学生的体验；问题三的提出有助于激起学生的认知冲突，当学生遇到困难时，他们的思维被激活，且产生一种主动讨论的愿望，问题的解决需要让学生将无限个式子以包含字母的式子来表示，这是思维的飞跃，能够让学生体会到数学知识的发展过程. 3. 在试上中发现问题，形成定稿
笔者用上述教学设计进行试讲，发现不少学生在“任意性”的理解上还存在不足，这也反映学生探索的深刻性还不够，因此又在原有基础上增加了以下两个问题，形成定稿.
问题五：请同学们再反过来思考一下，如果在函数的定义域中某区间选取两个x值x1，x2，当x1f（x2）成立，你能否据此判断该函数在对应区间的图像呈现为下降形态？如果确定，请简述理由；如果你的答案是否定的，请列举反例.
学生围绕上述问题展开讨论，只有一小部分学生能够结合图像进行合理解释，为了对大部分学生进行启发，笔者继续提出问题六.
问题六：在某区间选取两个x值，比如2和3，如果存在f（2）>f（3），是否表明这个函数在这个区间就一定是下降的呢？请简述理由，如果函数区间中选取四个x值，有类似的情况，你是否可以下结论呢？……那么，给出怎样的条件，你才能确保函数在对称区间的图像是一致下降的？
因为有了明确的数字，学生的思考也就有了依托，他们指出，如果只有两个函数值的大小f（2）>f（3），但是如果又存在f（2.5）>f（2）>f（3），则函数图像可能是在中间凸起的，也可能是先凹后凸等多种情形，所以很难确保图像是一致下降的. 进一步的思考也有类似的结论，只有四个、五个甚至更多个的函数值大小关系，也不能就此断定图像是一致下降的，唯有加上“任意”二字，即任意选取两个x值x1，x2，当x1f（x2）成立，才能保證图像呈现为一致下降的特点.
反思：上述两个问题的补充，可以让学生深度领会单调性概念表达的完备性，让学生充分认识到定义既是函数单调性的判定，也是基本性质，属于充要条件，这样的操作有助于学生强化对概念的理解，也有助于学生迁移思维的训练. 此外，这样的设计还可以将教学提升到思想方法以及科学情感的层面，这也是我们建构课堂的基本追求，须知如果我们的课堂缺乏思想，那么学生的探索将很容易迷失方向；如果在情感方面存在缺失，那么很容易让学生的判断标准变得模糊.
客观来讲，教学展示活动有一定的表演成分，但是这种精心打磨应该成为日常教学的常规. 教师一直都宣称要促进学生的进步和发展，那么教师首先就要为学生起到表率作用，要敢于进行自我剖析，反思自己对教学的认识和理解，打磨教学的每一个细节，并依托于各类教科研平台展开学习，抓住各种机会下足功夫，提升自我.
参考文献：
[1] 李祎. 基于探究学习的数学教学策略研究——“二十四字教学方针”解析[J]. 数学通报，2009（2）.
[2] 王雪燕. 让数学教学成为“问题驱动”的教学[J].中学数学月刊，2009（7）.
[3] 董建功. 片区联动 微赛异构——促进城乡青年教师成长的“团队奋进”教研策略分析[J]. 中学数学教学参考，2017（z2）.
[关键词] 高中数学；能力提升；着力点；案例分析
学生的数学学习是一个在磨砺中不断成长的过程，与之相应，数学教师的教学水平也需要下足功夫、不断打磨. 下面，笔者就结合教学实践探讨自己在工作中的思考和体会.
数学教师打磨和提升的着力点分析
任何一个教师从幼稚走向成熟，并在不断变革中保持前进和发展的秘诀就在于加强学习，且能始终注意自我打磨和提升. 打磨的着力点一般落在教育观念更新和教学基本功强化等方面，就数学学科而言，教师还应该在以下几个方面来提升自我.
1. 在感悟数学本质的基础上研究教学
数学知识体系中，那些可以对数学本质规律进行反映的概念、原理、公理、公式等等，都可以认为是数学的本质性内容，这些内容的理解都应该从整体层面的高度展开研究. 全方位地感悟数学的本质，有助于教师深刻领会核心素养的内涵，进而让数学课堂的效率得到提升，让原本复杂的内容更加简洁，让深邃的东西更为大众化，让抽象的数学更加形象化，从而让数学的“冰冷之美”趋于柔和，让学生的思维更加火热[1]. 这可以适当减轻学生的负担，让数学课堂更加轻松而自由.
2. 在钻研教材编写意图上推进学科研究
每一个版本的数学教材都是经过众多编写专家千锤百炼而成的，它不仅是对课程标准的具体化，更凝练着编写者对核心素养理念的解读和感悟，也是他们对数学本质的感悟和体会. 在教学实践中，教师要下足功夫钻研教材，领会其编写意图，并从宏观层面理清脉络，在微观之处把握细节. 这样操作的目的不是为了教教材，而是为了更好地重构教材，让教材内容更加匹配学生的认知习惯和本校的具体情形，当然也是为了让教学内容的编排更好地切合教师本身的教学风格. 有关于数学知识和相关理论，曾经有数学教育研究者提出这样的观点：数学家创造了数学概念，数学教师则要从教学实践的层面对概念和公式进行转化，一定要让学生更加有效地进行理解和内化[2].
在研究教材时，现在有很多教师习惯比照课程标准解读教材，对多版本教材进行分析并解读，结合学生的学习情形展开钻研，这些都是非常有效的教材研究方法. 笔者认为，还有一项内容值得教师关注，那就是教材改版过程中的调整，比如人教A版教材在“立体几何初步”的内容设计上，将以往直接呈现出的“三垂线定理”及其逆定理删除，这样的操作有什么讲究呢？相比于之前的模式，这样的内容编排是否更加贴近课程标准的要求，是否能更有助于学生核心素养的发展呢？对这些问题细加体会有助于教师进一步领会课程标准的内涵，也有助于教师在教学中改进教学.
3. 以脚踏实地的姿态来关注实践和反思
课堂教学不是花架子，教师应该脚踏实地，积极审视课堂实效，让学生能获得切实的提升和发展. 在数学教学过程中，教师首先做好教学设计的工作，要在深度钻研教材的基础上，联系学生的实际情况，对教材内容进行重组，从而设计出适合学生的教学方式. 在教学设计中，教师要做到弹性预设，要将教学重点落在学生思路启发和探究引领下，要有效激活学生思维，让学生能够主动而积极地参与到学习之中[3].
教学设计是课堂实效提升的基础，而最终的落脚点就是课堂教学. 数学是一门强调思维和探索的学科，在课堂教学过程中，教师要根据学生的实际情况，灵活调整教学预设，根据学生思考和研究的实际情况，巧妙推进生成性教学. 课堂是教师与学生直接对话的主要平台，数学教师要注意观察学生，要善于联系学生的上课表现来展开分析和研究，及时发现学生存在的问题或思维的闪光点，进而给予学生恰当的启发和引领.
在课后，教师还要注意对教学过程进行反思和修正，反思的内容包括对教学设计和课堂教学的基本操作，只有加强反思，教师才能真正做到在实践中深度打磨，才能因此获得提升.
教学实践案例分析
教师下足功夫、钻研教学的主阵地应该在数学课堂上，教师在教学中应积极融合新的理念和思想，要指导学生有效展开科学探究，提升他们的认知效率. 下面是笔者在一次教学展示课打磨过程的情况介绍，为了让展示课能更加有效地反映课改理念，更好地服务于学生发展，笔者在教研组同仁的帮助下，进行了深度打磨，笔者结合“单调性”的概念教学片断谈谈自己的体会.
1. 教材情境研究
笔者在设计中给出了三个问题，其中有一个关于气温θ随时间t的函数，记为θ=f（t）. 观察如图2所示的气温变化图像，试说明气温升高或降低的时间段.
反思：上述教学过程正是“一个定义，三项注意”教学模式的直接展现，教师直接从教学情境出发，随后给出单调性的定义. 虽然相关情境直接衔接学生的生活经验，但是由生活经验到数学概念，存在明显的跳跃性，这一点如果靠学生自己进行跨越是很难实现的，而这显然正是教师需要有效引导的地方. 教研组同事指出，上述教学设计脱离了对数学本质性的认识，没有意识到学生在形式化定义上的认知难点，直接将概念引出，这样的操作依然会让学生将认识停留在机械记忆的层面，这显然是与新课标脱节的.
问题四：刚才是对具体函数的分析，如果是针对一个一般函数，它在定义域某个区间里的图像呈现为下降的形态，可以据此形成怎样的结论？
学生开始由特殊到一般的推导：如果函数图像在其定义域某个区间中是下降的，则在該区间中的任意选取两个x值x1，x2，当x1
反思：上述教学过程中，学生由最直观的图像着手，然后提出了四个问题，设计思路非常清晰. 首先，借助图像为学生提供最为感性而直观的学习素材，并结合问题一为学生指明探索的切入口，引领学生定量刻画函数的增减特点；其次，考虑到学生思维方面的短板，笔者让学生从现有经验出发，结合问题二进行举例说明，如此可以增强学生的体验；问题三的提出有助于激起学生的认知冲突，当学生遇到困难时，他们的思维被激活，且产生一种主动讨论的愿望，问题的解决需要让学生将无限个式子以包含字母的式子来表示，这是思维的飞跃，能够让学生体会到数学知识的发展过程. 3. 在试上中发现问题，形成定稿
笔者用上述教学设计进行试讲，发现不少学生在“任意性”的理解上还存在不足，这也反映学生探索的深刻性还不够，因此又在原有基础上增加了以下两个问题，形成定稿.
问题五：请同学们再反过来思考一下，如果在函数的定义域中某区间选取两个x值x1，x2，当x1
学生围绕上述问题展开讨论，只有一小部分学生能够结合图像进行合理解释，为了对大部分学生进行启发，笔者继续提出问题六.
问题六：在某区间选取两个x值，比如2和3，如果存在f（2）>f（3），是否表明这个函数在这个区间就一定是下降的呢？请简述理由，如果函数区间中选取四个x值，有类似的情况，你是否可以下结论呢？……那么，给出怎样的条件，你才能确保函数在对称区间的图像是一致下降的？
因为有了明确的数字，学生的思考也就有了依托，他们指出，如果只有两个函数值的大小f（2）>f（3），但是如果又存在f（2.5）>f（2）>f（3），则函数图像可能是在中间凸起的，也可能是先凹后凸等多种情形，所以很难确保图像是一致下降的. 进一步的思考也有类似的结论，只有四个、五个甚至更多个的函数值大小关系，也不能就此断定图像是一致下降的，唯有加上“任意”二字，即任意选取两个x值x1，x2，当x1
反思：上述两个问题的补充，可以让学生深度领会单调性概念表达的完备性，让学生充分认识到定义既是函数单调性的判定，也是基本性质，属于充要条件，这样的操作有助于学生强化对概念的理解，也有助于学生迁移思维的训练. 此外，这样的设计还可以将教学提升到思想方法以及科学情感的层面，这也是我们建构课堂的基本追求，须知如果我们的课堂缺乏思想，那么学生的探索将很容易迷失方向；如果在情感方面存在缺失，那么很容易让学生的判断标准变得模糊.
客观来讲，教学展示活动有一定的表演成分，但是这种精心打磨应该成为日常教学的常规. 教师一直都宣称要促进学生的进步和发展，那么教师首先就要为学生起到表率作用，要敢于进行自我剖析，反思自己对教学的认识和理解，打磨教学的每一个细节，并依托于各类教科研平台展开学习，抓住各种机会下足功夫，提升自我.
参考文献：
[1] 李祎. 基于探究学习的数学教学策略研究——“二十四字教学方针”解析[J]. 数学通报，2009（2）.
[2] 王雪燕. 让数学教学成为“问题驱动”的教学[J].中学数学月刊，2009（7）.
[3] 董建功. 片区联动 微赛异构——促进城乡青年教师成长的“团队奋进”教研策略分析[J]. 中学数学教学参考，2017（z2）.