平面解析几何是高中数学的重要内容之一，离心率是圆锥曲线的基本量，圆锥曲线离心率的取值与曲线形状之间的联系，在高考题中时常出现，因此，在教学中应对这一问题引起足够的重视。
　　例1 已知F1,F2,是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于实轴的弦，若△PQF2是等腰三角形，则双曲线的离心率是（ ）。
　　（A）( B )
　　（C） （D）
　　解析：设双曲线
　　则F1（-c，0），F2(c，0)，P(-c， )。
　　由 及
　　可得即
　　解得 （舍）或
　　 故选B
　　【点拨】椭圆双曲线的离心率是c与a的齐次比 ，因此求离心率的一个重要途径是得到关于a、c的齐次等式，寻找a、c之间的关系，然后转化成关于e的方程。由于本题是客观题，学生可用排除法解题。当离心率 时，为等轴双曲线，此时2|PF1|=|PF2|,当变化到|PF1|=|PF2|时，双曲线的开口增大，离心率也增大，故可排除A,C,D,选B。最后求离心率。上述方法是本人教学中的一点体会，仅供参考。
　　例2 已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的范围。
　　解析：设椭圆方程为
　　则 |PF1|=|PF2|=
　　在△F1PF2中，cos60°=
　　解得
　　 因为
　　 所以
　　解得
　　【点拨】 解决圆锥曲线离心率问题，有时根据圆锥曲线中焦半径及性质方可求出。
　　例3 已知椭圆 左右定点分别为点A,B，如果椭圆上存在一点Q，使得∠AQB=120°.求椭圆的离心率e的取值范围。
　　 解析：（方法一）由椭圆的对称性设（ ）
　　 则
　　所以° ∠AQB
　　因为 代入上式整理，得
　　
　　
　　所以
　　（方法二） 以AB为弦，含120°角的弓形上半椭圆的交点除A,B两点外至多有两个，至少有一个，且关于y轴对称。所以定点D（0，b）在弓形弧内。
　　即∠AOB=120°∠ODB 60°
　　所以
　　 所所以
　　 【点拨】 在解析几何里，角度转化为点的不等式或不等式，往往用正切表示较为简单，用正余弦定理则适合长度的转化，具体解题时尽可能先考虑几何性质，运用数行结合的方法简化计算。
　　 以上介绍了求圆锥曲线离心率的方法，求圆锥曲线时应仔细审题，分析已知条件和曲线的特性，这样就能很快地解决此类问题。
　　例4 设椭圆的左顶点为 ，若椭圆上存在一点 ，使 （ 为原点）。求椭圆离心率的范围。
　　解析：设 由 知 在以 为直径的圆上。
　　即 代入椭圆方程，得
　　解得 或
　　当 ， 与 重合，不满足题意，舍去。故 点横坐标为
　　在椭圆上，
　　即.
　　【点拨】 本题考查了椭圆的几何性质，直线垂直关系，不等式等方面的综合知识。条件 ，往往有两种应用：一是利用 ，找直线的斜率关系；二是 点在以 为直径的圆上，问题转化为求圆与椭圆公共的条件，可通过联合方程组解得。
　　例5 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，且 ，点 在椭圆上， ， ,则椭圆的离心率 是（ ）
　　（A）( B )
　　（C） （D）
　　解析：由可得 ，
　　故
　　整理得：
　　两边同除以 得
　　故选 .
　　例6已知椭圆的长，短轴端点分别各A,B，从此椭圆上一点m（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 和 是共线向量，求椭圆的离心率 .
　　解析： ，则
　　 ， 与 是共线向量.
　　故 .
　　【点拨】 求椭圆的离心率，有时渗透向量知识，因此，如何恰当的利用向量关系和椭圆几何性质，是解上述两个题的关键.
　　（陕西省洋县城关中学）