【摘要】在做解析几何大题时，需求曲线上某一点处的切线方程，那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下.
　　【关键词】切线方程
　　在做解析几何大题时，我们经常需要求曲线上一点处的切线方程.最常用的方法就是设出方程，然后联立直线方程与曲线方程，再利用Δ=0求解.这种做法思路简单，但运算量大，尤其当曲线方程含有参数时，运算量更大，更不易做对.那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢？我们研究一下.
　　问题1求过圆x2 y2=r2（r>0）上一点P（x0，y0）的切线方程.
　　解设M（x，y）是切线上任意一点，则OP·PM=0，
　　即（x0，y0）·（x-x0，y-y0）=0，
　　整理得x0x y0y=x20 y20=1，
　　所以切线方程为x0x y0y=1.
　　问题2求过圆（x-a）2 （y-b）2=r2（r>0）上一点P（x0，y0）的切线方程.
　　用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案（x0-a）（x-a） （y0-b）（y-b）=r2.
　　类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想.
　　结论1椭圆x2a2 y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2 y0yb2=1.
　　结论2双曲线x2a2-y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
　　结论3抛物线y2=2px上一点P（x0，y0）处的切线方程为y0y=px px0.
　　上述类比推理得到的结论是否正确？我们用大学的知识来证明一下.
　　证明椭圆x2a2 y2b2=1上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2 y0yb2=1.
　　∵x2a2 y2b2=1，
　　∴等式两边同时对x求导得2xa2 2yy′b2=0，
　　∴y′=-b2a2·xy，
　　∴切线斜率k=y′|x=x0=-b2a2·x0y0，
　　切线方程为y-y0=-b2a2·x0y0（x-x0），
　　整理得x0xa2 y0yb2=x20a2 y20b2=1.结论得证.
　　用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性.
　　下面我们用上述结论小试牛刀.看2013年山东高考数学压轴题：
　　椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
　　（1）求椭圆C的方程.
　　（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
　　（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1 1kk2为定值，并求这个定值.
　　解（1）椭圆C的方程为x24 y2=1.
　　（2）m的取值范围-32，32.
　　我们重点看一下第三问.
　　设P（x0，y0），因为x24 y2=1，所以等式两边同时对x求导得2x4 2yy′=0，整理得y′=-x4y.
　　因此，直线l斜率k=y′|x=x0=-x04y0，
　　k1=y0x0 3，k2=y0x0-3，
　　所以1kk1 1kk2=1k1k1 1k2
　　=-4y0x0x0 3y0 x0-3y0=-8，
　　即1kk1 1kk2為定值-8.
　　可见掌握上述结论对同学们在做圆锥曲线大题时有很大帮助，我们在学习过程中要不断总结，不断探究.