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文 摘介绍了边坡稳定的塑性力学上限解在计算地基承载力方面的推广。简要回顾了由Donald和Chen提出的能量法的基本原理，说明该法可以得出与闭合解一样精确的解答，使用此数值方法来复核地基容重不为零时承载力计算的各种经验方法,发现这些经验方法在大多数情况下均低估了地基的承载力。计算基础有埋深和荷载偏心的经验公式也低估了地基承载力约5%～10%。
关键词地基承载力，塑性力学上限，最优化方法。
1前 言
地基承载力、土压力和边坡稳定是土力学的3个重要领域。这 3个问题都基于共同的极限平衡分析原理 ,可以采用相同的分析方法。但是 ,在长期的实践中 ,这 3个领域各形成了自己的体系。在地基承载力领域 ,目前常用的计算方法仍然是基于 Prandtl解的各种经验修正公式。应用塑性力学上下限原理 ,在建立地基承载力、土压力和边坡稳定分析统一的理论和方法方面作了大量的工作 ,但其有关的研究一直是在变分原理基础上进行的 ,因此 ,难以扩展到具有复杂边界和分层土体的实际工程问题中。曾提出一个基于滑楔破坏模式的分析方法 ,其普遍适用性还有待进一步论证。显然 ,只有开发数值分析的方法 ,方可使大部分实际问题方便地获得解答。
近期 ,笔者在二维领域应用塑性力学上限定理进行边坡稳定的理论研究[4 ,5]。该方法从变形协调出发 ,对于一个设定的滑裂面和斜分条模式 ,建立协调的速度场 ,根据外力功和内能耗散相平衡的原理确定相应的安全系数或加载系数 ,然后应用最优化方法 ,确定对应于最小安全系数的那个临界滑裂面和斜分条模式 (以下简称能量法 )。这一方法在精确地确定边坡稳定安全系数方面获得了成功。由于地基实际上是一个坡度为零的边坡 ,将该成果推广到地基承载力 ,是一个十分具有理论和实用价值的课题。
2极限分析法的理论基础和计算步骤
2.1上限定理的基本命题
在边坡稳定和地基承载力分析领域 ,对上限定理的描述可以用下面的命题表达(图 1):
在塑性区 Ω*,给出一个机动可能的应变场εij* ,并在滑裂面 Γ* 上给出一个相应的速度场 V*,那么,按照下式计算获得的外荷载T* 将比一个包含有真实的塑性区 Ω和真实的滑裂面 Γ的临界荷载 T大或与其相等。
∫Ωσi*jεi*j dΩ +∫vdDs* = WV* + T* V*(1)
上式左边的第一、第二项分别为塑性区内和滑裂面的内能耗散；W为塑性区土体重。因此 ,在诸多协调的位移场中给出最小的 T* 的那个一定最接近真实的临界荷载 T。
在地基承载力问题中 ,通常定义加载系数 η* 为
η* = (T * - T0)/ T0 (2)
其中T0为地基的实际承受的外荷载 ,那么上限图定理的命题具体化为寻找一个使 η* 获得最小值 η的应变场和速度场。
2．2计算内能耗散
如果材料遵守莫尔-库仑破坏准则和相关联的流动法则，则可确认沿滑面的速度V与滑面夹角为摩擦角φ，单位面积内能耗散为（图2）：
d D = (c cosφ –u sinφ)v(3)
其中c为凝聚力；u为孔隙压力；V为滑块沿滑面的在单位荷载增量下产生的相对位移 ,通常称变形速率。
2.3计算多块体破坏模式协调的速度场
对某一边坡的塑性区 ,将其用一系列倾斜的线分成若干楔块 ,每一楔块都视为刚体 ,其变形速率为 V。图 3示出 3个块体的系统。 V与滑面夹角为 φ,与右边相邻块体的相对速度为 Vj ,V j与该两块体交界面的夹角为 φj。内能耗散发生于该楔块的底面和楔块间的界面 ,在刚体内为零。
根据位移协调要求 ,可以得到
1 (4)
1 (5)
其中Vl 和 Vr 分别为左侧和右侧条块的速度 ;θj =π/2-δ+ φj, θl=π+αl-φl,θr =π+αr -φr;α为底面与 x轴正向夹角 ;δ为侧面与 y轴正向夹角 ;θ为速度与正 x轴的夹角。如果将条块的宽度取为无限小 (图 4),还可通过积分获得滑面上坐标为 x的条块的绝对速度和相对速度。
V0为左端点（x=x0）的速度。在滑裂面上第k个α或φ 发生突变。上标l和代表该不连续点左和右的物理量。计算从第一个界面开始，到第 n-1个界面终止。这样，对滑面上横坐标为x的任意一点，其条块绝对速度V和条块侧面的相对速度Vj 都可表达为滑面左端点x=x0处的速度V0的函数。将获得各条块的绝对速度和相对速度代入式 (3)再代入式 (1),其中式 (1)左侧第一项可通过将Vj替代式（3）中 V获得。消去左右侧 V0 ,就可求解加载系数 η*如下。
定义
其中d W =土条重量 ;T0x, T0y分别为 T0在 x和 y轴的分量 ;L为土条侧面长度 ;η′为水平地震力系数。式 (10)最后一项计及滑面上 (n -1)个 α或φ的不连续点相应的界面上的内能耗散。由式 (2)定义的加载系数可通过下式计算 :
η* = G/Gb(12)
2.4求解临界滑动模式
陈祖煜和邵长明曾详细介绍了对传统的极限平衡法计算最小安全系数和临界滑裂面的数值分析方法。最优化方法为使用计算机搜索临界滑动模式创造了条件 ,这些研究成果可以方便地推广到本文介绍的极限分析方法中。所不同的是 ,滑动模式和垂直条分法相比 ,增加了一个土条界面倾角 δ。每一条块的 δ也将成为自由度。最优化方法将最终找到相应最小加载系数的滑裂面和斜分条模式。具体计算步骤通过下节 [例 2 ]介绍。
3验证
为了验证上述推导的正确性 ,下面通过两个例题进行分析探討。
[例 1 ]对具有垂直表面荷载的例题 (图 5),索科洛夫斯基 ( Sokolovski , 1954)给出的临界垂直荷载 q的计算公式如下 :
的 q=c ctgφexp-2x)tgφ-1
其中 χ为边坡斜面相对水平线的夹角。相应的临界滑裂面由三段组成 ,AB , CD为直线 ,分别与边坡线和坡顶线夹角为 μ。
μ=
BC为一对数螺旋线 ,其左右边界线 BO和 CO分别与边坡线和 y轴线夹角为 μ。
当边坡处于极限状态时 ,加载系数 η=0。对 AB ,BC和 CD段分别进行积分 ,按式 (13)确
定的 q将使按式 (10)确定的 G为零。
这一实例说明 ,本文提出的上限定理的命题可通过解析解获得印证。
[例 2 ]某一坡角为 35°的均质边坡 ,其水平顶面上作用一均布荷载 ,荷载方向相对铅直
线夹角为 δ′(图 6)。根据索科洛夫斯基 (1954)提出的滑移线方法 ,此题的理论破坏面由直线 AB , CD和对数螺旋线 BC组成 , CD和 CO分别相对铅直线夹角 μ+ρ和 -(μ+ρ)。其中 μ = 45°-φ/ 2 ;ρ为大主应力相对铅直线的夹角。
主要参数 :c = 720kPa ,φ = 37°,χ = 35°,δ′= 24°,理论解提供的解答是 q =6 . 228 MPa , ρ= 28. 4°。理论的滑裂面和土条侧面示于图 6线 4。滑裂面通过联结 4个点的样条函数形成。对设定的初始滑裂面 1和相应的斜分条模式使用式 (12)求得 η3 =0127。从这个滑裂面开始 ,进行最优化方法计算最终得临界滑裂面和条间界面 (滑裂面 3 ,虚线 ),相应 η=01019。滑裂面 2是优化计算过程中通过随机搜索获得的滑裂面。如果用 5个点来模拟该滑裂面 ,则可得到 η=010028。与理论解相比 ,无论是最小加载系数 ,还是临界滑裂面和临界条间界面均十分接近。
通过 [例 2 ]说明 ,应用最优化方法可以自动找到相应最小加载系数 η的临界滑裂面和相应的斜分条模式。
4能量法在地基极限承载力计算中的推广
4．1传统的承载力计算方法
地基极限承载力的计算包括两个方面，一方面是允许位移的校核 ,另一方面是极限承载力的计算。对于后者， Prandtl于 1920年根据塑性力学理论导出了刚性基础压入无重量土中滑裂面的形状及其相应的极限承载力计算公式。由于数学上的严格解答在大部分的实际问题中是不可能得到的 , Terzaghi ,Meyerhof ,Vesic等众多学者在 Prandtl解的基础上对承载力理论进行了研究和发展 ,最终形成地基极限承载力的近似解答。这一近似解答的一般表达式为
Nγ为一半经验数据 ,可从地基规范承载力表中查取或用半经验公式 (表 1)计算 ;B为基础宽度 ;D为基础埋深 ;γ为土容量 ; qu为地基的极限承载力 ,即 T在单位宽度上的强度。
4.2能量法在地基极限承载力计算中的应用
选取宽度 B = 17m的条形基础进行计算分析 ,相应参数为 :c = 144. 5kPa ,γ=0. 0kN/ m3。这个例子针对土的不同内摩擦角 φ值进行计算。对于具有理论解的实例 ,使用式 (13)获得的 qu应保证使用式 (12)获得的 η的最小值为零。图 7示出 φ =0°和φ = 20°两种情况。使用同样的初始破坏模式如图 7 (a),应用最优化方法获得的临界破坏模式分别如图 7 ( b)和 7 (c)所示 ,η分别为 01004和 01008。计算机在搜索最小 η值时 ,准确地将中部的土条侧面收敛于地基的左侧点 ,由此将滑裂面分为 3个区域 :荷载作用下面的三角形区域 ,对应于理论上的主动 Rankine区 ;条间界面一端收敛于一点所对应的放射形区域 ,对应于理论上的 Prandtl区;放射形区域另一端的另一个三角形区域对应理论上的被动 Rankine区。 φ=0°时 ,滑裂面形状接近于圆弧 ;φ≠0°时 ,滑裂面形状为两段直线接一段对数螺旋线。这就说明 ,采用建立在塑性力学上限 解基础上的地基极限承载力数值分析方法直接获得了理论上严格的地基极限承载力解答。
表 2将一系列φ值的计算成果与理论解对比，可见成果的准确性相当稳定。所得的η值与理论值的误差均在1%左右，而且自动搜索得到的临界滑裂面形状也与理论解一致。
表2 上限数值解和理论解成果对比
注：qn和 qp分别为根据数值解和理论解获得的极限承载力 ;η= ( qn/ qp -1);q的单位为 kN/ m。
表 3比较了容重不为零情况下表 1所列的各种经验方法的准确性 ,并示于图 8。可见 W1F Chen的公式计算结果与采用 Prandtl的经验公式求得的结果最为接近 ,但是在 φ值超過 25°后 ,η值为负 ,意味着高估了地基的承载力。而 Mayerhof以及 Terzaghi的方法则偏于保守。
表 3对 γ≠0情况各种不同的经验公式和数值解成果对比
注 :下标 n,v, m,t,c分别代表数值解、采用VesicMeyerhofTerzaghi 和 W. F. Chen方法的计算成果，q的单位为 kN/ m。，
在有容重且有埋深的条件下 ,式 (15)的经验公式将基础两侧埋置深度以内的土重以连续均匀分布的荷载考虑 ,未能计及这部分土体的抗剪作用 ,因此不可避免地存在着一定的误差。
针对有埋深的情况 ,对经验公式进行了修正 ,每一项承载力系数前均乘以一修正系数 ,各修正系数的计算公式为服静力平衡方程数学求解困难提供了一个极为简便的途径 ,并没有损害承载力问题要求的材料强度的普遍特性。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词地基承载力，塑性力学上限，最优化方法。
1前 言
地基承载力、土压力和边坡稳定是土力学的3个重要领域。这 3个问题都基于共同的极限平衡分析原理 ,可以采用相同的分析方法。但是 ,在长期的实践中 ,这 3个领域各形成了自己的体系。在地基承载力领域 ,目前常用的计算方法仍然是基于 Prandtl解的各种经验修正公式。应用塑性力学上下限原理 ,在建立地基承载力、土压力和边坡稳定分析统一的理论和方法方面作了大量的工作 ,但其有关的研究一直是在变分原理基础上进行的 ,因此 ,难以扩展到具有复杂边界和分层土体的实际工程问题中。曾提出一个基于滑楔破坏模式的分析方法 ,其普遍适用性还有待进一步论证。显然 ,只有开发数值分析的方法 ,方可使大部分实际问题方便地获得解答。
近期 ,笔者在二维领域应用塑性力学上限定理进行边坡稳定的理论研究[4 ,5]。该方法从变形协调出发 ,对于一个设定的滑裂面和斜分条模式 ,建立协调的速度场 ,根据外力功和内能耗散相平衡的原理确定相应的安全系数或加载系数 ,然后应用最优化方法 ,确定对应于最小安全系数的那个临界滑裂面和斜分条模式 (以下简称能量法 )。这一方法在精确地确定边坡稳定安全系数方面获得了成功。由于地基实际上是一个坡度为零的边坡 ,将该成果推广到地基承载力 ,是一个十分具有理论和实用价值的课题。
2极限分析法的理论基础和计算步骤
2.1上限定理的基本命题
在边坡稳定和地基承载力分析领域 ,对上限定理的描述可以用下面的命题表达(图 1):
在塑性区 Ω*,给出一个机动可能的应变场εij* ,并在滑裂面 Γ* 上给出一个相应的速度场 V*,那么,按照下式计算获得的外荷载T* 将比一个包含有真实的塑性区 Ω和真实的滑裂面 Γ的临界荷载 T大或与其相等。
∫Ωσi*jεi*j dΩ +∫vdDs* = WV* + T* V*(1)
上式左边的第一、第二项分别为塑性区内和滑裂面的内能耗散；W为塑性区土体重。因此 ,在诸多协调的位移场中给出最小的 T* 的那个一定最接近真实的临界荷载 T。
在地基承载力问题中 ,通常定义加载系数 η* 为
η* = (T * - T0)/ T0 (2)
其中T0为地基的实际承受的外荷载 ,那么上限图定理的命题具体化为寻找一个使 η* 获得最小值 η的应变场和速度场。
2．2计算内能耗散
如果材料遵守莫尔-库仑破坏准则和相关联的流动法则，则可确认沿滑面的速度V与滑面夹角为摩擦角φ，单位面积内能耗散为（图2）：
d D = (c cosφ –u sinφ)v(3)
其中c为凝聚力；u为孔隙压力；V为滑块沿滑面的在单位荷载增量下产生的相对位移 ,通常称变形速率。
2.3计算多块体破坏模式协调的速度场
对某一边坡的塑性区 ,将其用一系列倾斜的线分成若干楔块 ,每一楔块都视为刚体 ,其变形速率为 V。图 3示出 3个块体的系统。 V与滑面夹角为 φ,与右边相邻块体的相对速度为 Vj ,V j与该两块体交界面的夹角为 φj。内能耗散发生于该楔块的底面和楔块间的界面 ,在刚体内为零。
根据位移协调要求 ,可以得到
1 (4)
1 (5)
其中Vl 和 Vr 分别为左侧和右侧条块的速度 ;θj =π/2-δ+ φj, θl=π+αl-φl,θr =π+αr -φr;α为底面与 x轴正向夹角 ;δ为侧面与 y轴正向夹角 ;θ为速度与正 x轴的夹角。如果将条块的宽度取为无限小 (图 4),还可通过积分获得滑面上坐标为 x的条块的绝对速度和相对速度。
V0为左端点（x=x0）的速度。在滑裂面上第k个α或φ 发生突变。上标l和代表该不连续点左和右的物理量。计算从第一个界面开始，到第 n-1个界面终止。这样，对滑面上横坐标为x的任意一点，其条块绝对速度V和条块侧面的相对速度Vj 都可表达为滑面左端点x=x0处的速度V0的函数。将获得各条块的绝对速度和相对速度代入式 (3)再代入式 (1),其中式 (1)左侧第一项可通过将Vj替代式（3）中 V获得。消去左右侧 V0 ,就可求解加载系数 η*如下。
定义
其中d W =土条重量 ;T0x, T0y分别为 T0在 x和 y轴的分量 ;L为土条侧面长度 ;η′为水平地震力系数。式 (10)最后一项计及滑面上 (n -1)个 α或φ的不连续点相应的界面上的内能耗散。由式 (2)定义的加载系数可通过下式计算 :
η* = G/Gb(12)
2.4求解临界滑动模式
陈祖煜和邵长明曾详细介绍了对传统的极限平衡法计算最小安全系数和临界滑裂面的数值分析方法。最优化方法为使用计算机搜索临界滑动模式创造了条件 ,这些研究成果可以方便地推广到本文介绍的极限分析方法中。所不同的是 ,滑动模式和垂直条分法相比 ,增加了一个土条界面倾角 δ。每一条块的 δ也将成为自由度。最优化方法将最终找到相应最小加载系数的滑裂面和斜分条模式。具体计算步骤通过下节 [例 2 ]介绍。
3验证
为了验证上述推导的正确性 ,下面通过两个例题进行分析探討。
[例 1 ]对具有垂直表面荷载的例题 (图 5),索科洛夫斯基 ( Sokolovski , 1954)给出的临界垂直荷载 q的计算公式如下 :
的 q=c ctgφexp-2x)tgφ-1
其中 χ为边坡斜面相对水平线的夹角。相应的临界滑裂面由三段组成 ,AB , CD为直线 ,分别与边坡线和坡顶线夹角为 μ。
μ=
BC为一对数螺旋线 ,其左右边界线 BO和 CO分别与边坡线和 y轴线夹角为 μ。
当边坡处于极限状态时 ,加载系数 η=0。对 AB ,BC和 CD段分别进行积分 ,按式 (13)确
定的 q将使按式 (10)确定的 G为零。
这一实例说明 ,本文提出的上限定理的命题可通过解析解获得印证。
[例 2 ]某一坡角为 35°的均质边坡 ,其水平顶面上作用一均布荷载 ,荷载方向相对铅直
线夹角为 δ′(图 6)。根据索科洛夫斯基 (1954)提出的滑移线方法 ,此题的理论破坏面由直线 AB , CD和对数螺旋线 BC组成 , CD和 CO分别相对铅直线夹角 μ+ρ和 -(μ+ρ)。其中 μ = 45°-φ/ 2 ;ρ为大主应力相对铅直线的夹角。
主要参数 :c = 720kPa ,φ = 37°,χ = 35°,δ′= 24°,理论解提供的解答是 q =6 . 228 MPa , ρ= 28. 4°。理论的滑裂面和土条侧面示于图 6线 4。滑裂面通过联结 4个点的样条函数形成。对设定的初始滑裂面 1和相应的斜分条模式使用式 (12)求得 η3 =0127。从这个滑裂面开始 ,进行最优化方法计算最终得临界滑裂面和条间界面 (滑裂面 3 ,虚线 ),相应 η=01019。滑裂面 2是优化计算过程中通过随机搜索获得的滑裂面。如果用 5个点来模拟该滑裂面 ,则可得到 η=010028。与理论解相比 ,无论是最小加载系数 ,还是临界滑裂面和临界条间界面均十分接近。
通过 [例 2 ]说明 ,应用最优化方法可以自动找到相应最小加载系数 η的临界滑裂面和相应的斜分条模式。
4能量法在地基极限承载力计算中的推广
4．1传统的承载力计算方法
地基极限承载力的计算包括两个方面，一方面是允许位移的校核 ,另一方面是极限承载力的计算。对于后者， Prandtl于 1920年根据塑性力学理论导出了刚性基础压入无重量土中滑裂面的形状及其相应的极限承载力计算公式。由于数学上的严格解答在大部分的实际问题中是不可能得到的 , Terzaghi ,Meyerhof ,Vesic等众多学者在 Prandtl解的基础上对承载力理论进行了研究和发展 ,最终形成地基极限承载力的近似解答。这一近似解答的一般表达式为
Nγ为一半经验数据 ,可从地基规范承载力表中查取或用半经验公式 (表 1)计算 ;B为基础宽度 ;D为基础埋深 ;γ为土容量 ; qu为地基的极限承载力 ,即 T在单位宽度上的强度。
4.2能量法在地基极限承载力计算中的应用
选取宽度 B = 17m的条形基础进行计算分析 ,相应参数为 :c = 144. 5kPa ,γ=0. 0kN/ m3。这个例子针对土的不同内摩擦角 φ值进行计算。对于具有理论解的实例 ,使用式 (13)获得的 qu应保证使用式 (12)获得的 η的最小值为零。图 7示出 φ =0°和φ = 20°两种情况。使用同样的初始破坏模式如图 7 (a),应用最优化方法获得的临界破坏模式分别如图 7 ( b)和 7 (c)所示 ,η分别为 01004和 01008。计算机在搜索最小 η值时 ,准确地将中部的土条侧面收敛于地基的左侧点 ,由此将滑裂面分为 3个区域 :荷载作用下面的三角形区域 ,对应于理论上的主动 Rankine区 ;条间界面一端收敛于一点所对应的放射形区域 ,对应于理论上的 Prandtl区;放射形区域另一端的另一个三角形区域对应理论上的被动 Rankine区。 φ=0°时 ,滑裂面形状接近于圆弧 ;φ≠0°时 ,滑裂面形状为两段直线接一段对数螺旋线。这就说明 ,采用建立在塑性力学上限 解基础上的地基极限承载力数值分析方法直接获得了理论上严格的地基极限承载力解答。
表 2将一系列φ值的计算成果与理论解对比，可见成果的准确性相当稳定。所得的η值与理论值的误差均在1%左右，而且自动搜索得到的临界滑裂面形状也与理论解一致。
表2 上限数值解和理论解成果对比
注：qn和 qp分别为根据数值解和理论解获得的极限承载力 ;η= ( qn/ qp -1);q的单位为 kN/ m。
表 3比较了容重不为零情况下表 1所列的各种经验方法的准确性 ,并示于图 8。可见 W1F Chen的公式计算结果与采用 Prandtl的经验公式求得的结果最为接近 ,但是在 φ值超過 25°后 ,η值为负 ,意味着高估了地基的承载力。而 Mayerhof以及 Terzaghi的方法则偏于保守。
表 3对 γ≠0情况各种不同的经验公式和数值解成果对比
注 :下标 n,v, m,t,c分别代表数值解、采用VesicMeyerhofTerzaghi 和 W. F. Chen方法的计算成果，q的单位为 kN/ m。，
在有容重且有埋深的条件下 ,式 (15)的经验公式将基础两侧埋置深度以内的土重以连续均匀分布的荷载考虑 ,未能计及这部分土体的抗剪作用 ,因此不可避免地存在着一定的误差。
针对有埋深的情况 ,对经验公式进行了修正 ,每一项承载力系数前均乘以一修正系数 ,各修正系数的计算公式为服静力平衡方程数学求解困难提供了一个极为简便的途径 ,并没有损害承载力问题要求的材料强度的普遍特性。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。