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摘要采用模糊随机理论，构建连续支付型变额生命年金模型.假定利率为三角模糊数，死亡率为随机变量.结合精算理论，给出了连续支付型变额生命年金精算现值的期望、方差以及分布函数和分位数的模糊表达式.最后，通过实证分析计算出一个在养老保险中常见的生命年金的相关值，验证模型的可行性.
关键词模糊随机变量；三角模糊数；α截集；生命年金
中图分类号F840.67 文献标识码A
AbstractThis paper proposed a continuous variable life annuities model by adopting the theory of fuzzy random variables， assuming that the interest rate is a triangle fuzzy number and the mortality is a random variable. Combined with the actuary theory， we obtained the mathematical expectation， variance， distribution， quantiles of the present value of annuities. Finally， we calculated these related values of a common life annuity in endowment insurance and verified the feasibility of the model with the empirical analysis.
Key wordsfuzzy random variables； triangle fuzzy number； α cut； life annuity
1引言
由于“退休养老金双轨制”的存在，关于养老金制度的改革是近年来人们热烈议论的话题.本文从精算的角度出发，通过对生命年金求出精算现值，以期为养老金制度改革及养老保险合同设计提供较为准确的理论依据.
传统的年金现值计算，是在固定利率的基础上进行，这显然不符合实际情况.关于变化利率年金的研究，张连增等1考虑在Markov链随机利率情况下，应用随机模拟的方法，对精算函数变量的概率分布做出完整描述.高建伟等2研究了各年利率分别在相互独立和具有相关关系的情况下，计算生存年金期望现值的模型.Serena Tiong3提出与通胀相关联的可变年金，旨在帮助投资者保护他们的投资组合避免通胀风险.然而，以上相关文献仅是考虑利率的随机性，对于未来支付型的事件，利率具有不确定性，不仅表现为随机性，还表现出模糊性.例如，未来n年的利率预期为“比较高”或“比较低”，对于这样的模糊性术语问题，需要更可靠的理论来支撑.
在精算领域，当一些精算模型的参数信息不可获得或者模糊不清时，模糊理论为此提供了理论基础.王孟霞等4结合中国养老保险基金投资现状，考虑预期收益率是模糊数的情形，建立养老保险基金均值-方差组合投资模型，得到了较好的效果.高井贵等5利用可信性理论，给出了全离散定期寿险的均衡纯保费和准备金的计算公式，但未给出连续支付型以及非定额支付情况下的相关结论.Huang Tao等6研究个体索赔额为模糊随机变量（Fuzzy Random Variables，FRV）索赔过程风险模型，得到破产概率的机会均值.然而，该风险模型的Poisson过程引入模糊随机变量增加了模型的复杂度，导致破产概率的相关值比较复杂，若干结果很难甚至无法得到.Jorge等7根据模糊随机理论，研究离散型定额生命年金及年金组合的相关性质，得到了比较切合实际的结果，对于寿险合同的设计提供了参考价值.
6结论
传统的年金现值计算往往假设性认定利率为固定值，显然不符合实际情况.本文利用模糊随机理论，以三角模糊数为例，将年金现值计算推广到连续型支付，并且年金支付额为变额情形，得到相应的期望值、方差、分布及分位数的模糊表达式.利用保险业生命表的相关数据，拟合出死亡分布函数，通过一个养老保险中常见的年金实证分析计算出相关数值，验证模型的可行性.
类似于传统固定利率的年金模型，在今后的研究中，可以试图将本文的连续情形与离散情形相统一，得到一致的表达方式.另外，也可以对年金进行组合投资，考虑年金投资组合的风险度量等问题.
参考文献
1.张连增， 段白鸽， 卜林. Markov链随机利率下寿险精算函数的分布模拟J.. 统计与决策， 2012（14）： 7-12.
2.高建伟， 邱苑华. 随机利率下的生存年金模型J.. 系统工程理论与实践， 2002（6）： 97- 100.
3.S TIONG. Pricing inflationlinked variable annuities under stochastic interest ratesJ.. Insurance： Mathematics and Economics， 2013， 52（1）： 77-86.
4.王孟霞， 赵明清， 吕东东. 基于模糊收益率的养老保险基金投资研究J.. 经济数学， 2014， 31（1）： 29-34.
5.高井贵， 赵明清. 模糊利率下的寿险精算模型J.. 系统工程学报， 2010， 25（5）： 603-608.
6.Tao HUANG， Ruiqing ZHAO， Wansheng TANG. Risk model with fuzzy random individual claim amountJ.. European Journal of Operational Research， 2009， 192（3）： 879-890.
7.J D ANDERES， L GONZALEZ. Using fuzzy random variables in life annuities pricingJ.. Fuzzy Sets and Systems， 2012， 188（1）： 27-44.
8.L ZADEH. Fuzzy setsJ.. Information and Control， 1965， 8（3）： 338-353.
9.Baoding LIU. A survey of credibility theoryJ.. Fuzzy Optimization and Decision Making， 2006， 5（4）： 387-408.
10.M L PURI， D A RALESCU. Fuzzy random variablesJ.. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1986， 114（2）： 409-422.
11.A F SHAPIRO. Fuzzy random variablesJ.. Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（2）： 307-314.
12.Yuhu FENG， Liangjian HU， Huisheng SHU. The variance and covariance of fuzzy random variables and their applicationsJ.. Fuzzy Sets and Systems， 2001， 120（3）： 487-497.
13.李晓林， 孙佳美. 生命表基础M.. 北京： 中国财政经济出版社， 2006.
关键词模糊随机变量；三角模糊数；α截集；生命年金
中图分类号F840.67 文献标识码A
AbstractThis paper proposed a continuous variable life annuities model by adopting the theory of fuzzy random variables， assuming that the interest rate is a triangle fuzzy number and the mortality is a random variable. Combined with the actuary theory， we obtained the mathematical expectation， variance， distribution， quantiles of the present value of annuities. Finally， we calculated these related values of a common life annuity in endowment insurance and verified the feasibility of the model with the empirical analysis.
Key wordsfuzzy random variables； triangle fuzzy number； α cut； life annuity
1引言
由于“退休养老金双轨制”的存在，关于养老金制度的改革是近年来人们热烈议论的话题.本文从精算的角度出发，通过对生命年金求出精算现值，以期为养老金制度改革及养老保险合同设计提供较为准确的理论依据.
传统的年金现值计算，是在固定利率的基础上进行，这显然不符合实际情况.关于变化利率年金的研究，张连增等1考虑在Markov链随机利率情况下，应用随机模拟的方法，对精算函数变量的概率分布做出完整描述.高建伟等2研究了各年利率分别在相互独立和具有相关关系的情况下，计算生存年金期望现值的模型.Serena Tiong3提出与通胀相关联的可变年金，旨在帮助投资者保护他们的投资组合避免通胀风险.然而，以上相关文献仅是考虑利率的随机性，对于未来支付型的事件，利率具有不确定性，不仅表现为随机性，还表现出模糊性.例如，未来n年的利率预期为“比较高”或“比较低”，对于这样的模糊性术语问题，需要更可靠的理论来支撑.
在精算领域，当一些精算模型的参数信息不可获得或者模糊不清时，模糊理论为此提供了理论基础.王孟霞等4结合中国养老保险基金投资现状，考虑预期收益率是模糊数的情形，建立养老保险基金均值-方差组合投资模型，得到了较好的效果.高井贵等5利用可信性理论，给出了全离散定期寿险的均衡纯保费和准备金的计算公式，但未给出连续支付型以及非定额支付情况下的相关结论.Huang Tao等6研究个体索赔额为模糊随机变量（Fuzzy Random Variables，FRV）索赔过程风险模型，得到破产概率的机会均值.然而，该风险模型的Poisson过程引入模糊随机变量增加了模型的复杂度，导致破产概率的相关值比较复杂，若干结果很难甚至无法得到.Jorge等7根据模糊随机理论，研究离散型定额生命年金及年金组合的相关性质，得到了比较切合实际的结果，对于寿险合同的设计提供了参考价值.
6结论
传统的年金现值计算往往假设性认定利率为固定值，显然不符合实际情况.本文利用模糊随机理论，以三角模糊数为例，将年金现值计算推广到连续型支付，并且年金支付额为变额情形，得到相应的期望值、方差、分布及分位数的模糊表达式.利用保险业生命表的相关数据，拟合出死亡分布函数，通过一个养老保险中常见的年金实证分析计算出相关数值，验证模型的可行性.
类似于传统固定利率的年金模型，在今后的研究中，可以试图将本文的连续情形与离散情形相统一，得到一致的表达方式.另外，也可以对年金进行组合投资，考虑年金投资组合的风险度量等问题.
参考文献
1.张连增， 段白鸽， 卜林. Markov链随机利率下寿险精算函数的分布模拟J.. 统计与决策， 2012（14）： 7-12.
2.高建伟， 邱苑华. 随机利率下的生存年金模型J.. 系统工程理论与实践， 2002（6）： 97- 100.
3.S TIONG. Pricing inflationlinked variable annuities under stochastic interest ratesJ.. Insurance： Mathematics and Economics， 2013， 52（1）： 77-86.
4.王孟霞， 赵明清， 吕东东. 基于模糊收益率的养老保险基金投资研究J.. 经济数学， 2014， 31（1）： 29-34.
5.高井贵， 赵明清. 模糊利率下的寿险精算模型J.. 系统工程学报， 2010， 25（5）： 603-608.
6.Tao HUANG， Ruiqing ZHAO， Wansheng TANG. Risk model with fuzzy random individual claim amountJ.. European Journal of Operational Research， 2009， 192（3）： 879-890.
7.J D ANDERES， L GONZALEZ. Using fuzzy random variables in life annuities pricingJ.. Fuzzy Sets and Systems， 2012， 188（1）： 27-44.
8.L ZADEH. Fuzzy setsJ.. Information and Control， 1965， 8（3）： 338-353.
9.Baoding LIU. A survey of credibility theoryJ.. Fuzzy Optimization and Decision Making， 2006， 5（4）： 387-408.
10.M L PURI， D A RALESCU. Fuzzy random variablesJ.. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1986， 114（2）： 409-422.
11.A F SHAPIRO. Fuzzy random variablesJ.. Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（2）： 307-314.
12.Yuhu FENG， Liangjian HU， Huisheng SHU. The variance and covariance of fuzzy random variables and their applicationsJ.. Fuzzy Sets and Systems， 2001， 120（3）： 487-497.
13.李晓林， 孙佳美. 生命表基础M.. 北京： 中国财政经济出版社， 2006.