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【中图分类号】G623 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）26-0162-02
§2.2 平方根（第1课时）
【教材剖析】
算术平方根是北师大版八年级上册第二章第二节的第一课时的教学内容。本节的主要内容是算术平方根的概念和求法以及对的意义的理解。通过学习，学生对《勾股定理》未解决的问题（如：x2=2，求x的值）得以解决，同时学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，完成了初中阶段对所有数的扩展，因此本节课是今后学习实数、根式、分式、函数等知识的重要基础，更是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
【教学目标】
1.能够从数学本身的特点出发、从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程；
2.在获得对教学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等多方面都得到进步和发展。
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
3.会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
4.理解的意义。
【教学重点】
了解算术平方根的概念，认识根号，会用根号表示一个正数的算术平方根。
【教学难点】
会用平方运算求非负数的算术平方根以及理解的意义。
【知识解读】
1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作：，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术数平方根是0。
解读：从算术平方根的概念看，求一个数的算术平方根就是求一个正数，使得这个正数的平方等于这个数，故就是乘方运算的逆运算，因此，我们要对正数的平方求法以及常见正数的平方熟记于心（如1—20）。
在使用概念时需要注意以下几点：
（1）a是一个非负数，原因是根据定义知道a是某个正数的平方，根据平方的非负性可知这一点，这一点往往是题目的隐含条件，需要学生们挖掘出来；
（2）根据定义知道若某个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，因此a的算术平方根是一个正数，由规定知0的算术平方根是0，故综上我们知道对于非负数a，它的算术平方根也是一个非负数；
（3）由定义知a的算术平方根记作，故由（2）知是非负数，因此具有双重非负性，第一重是：开方数a是非负数，第二重是：本身也是非负数。即
2.的意义：指的是a的算术平方根。
解读：首先是一个数，并且是一个非负数，指的是a的算术平方根；其次有意义必须要求a是一个非负数；再次对于的意义在学完平方根会有更加深入的理解。
【教学建议】
1.創设适当的情境，自然引入深入探索，初步感受算术平方根。
（1）构造悬念，创设情境——从数形结合角度感受；
（2）根据图2-4填空：
x2=________，
y2=________，
z2=________，
w2=________.
（3）x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
解读：此问题是教材上的一道题目，它在设问上非常独到。首先第一问要用到第一章的勾股定理，因此在教学中就要对勾股定理的内容进行复习，进一步强化勾股定理的内容，学生们应该可以快速的给出第一问的答案x2=2，y2=3，z2=4，w2=5。第二问就是对第一节认识无理数的知识的再强化，但是很显然我们要先求出x，y，z，w的值才可以做出判断，这四个值中z的值我们很容易求出来，因为我们可以找到之前所学习的数±2就满足z2=4，而z又是边长，故z=2。然而问题来了我们找不到之前所学习的那个数会使x2=2，y2=3，w2=5，可是这些数又是实实在在存在的，这就和我们所学的发生了认知冲突，所以我们就要引入新的数，这就迫使我们引入新的符号“”，从而对数系进行扩充。
（4）目标导向，自然引入——从代数角度感受
在括号里填上适当的正数：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5）；（6）
解读：首先此题的数值设置上涵盖了我们之前学习的整数、分数、小数；其次设置的这些数都是完全平方数，也就是说我们一定能找到一个正数使其成立，所以我们的问题就不能设置为类似的问题，因为目前我们还没有学到那个数满足它；再次数学中很多概念常常以精炼的定义形式出现，并隐去了其形成过程，我试图将此过程揭示出来，让学生经历观察、比较、抽象、概括、验证等概念的形成过程，以便更准确地抓住概念的本质，提高数学能力，与此同时，锻炼学生们从特殊到一般的数学思想，也对后面学生用平方运算求一个数的算术平方根起到一定的作用。
2.创设适当的习题，进行深入探索，重点感受的意义。
下列式子有没有意义？若有，请说出它的含义并求值？
解读：首先此题在数值上的设置具备完整性，涵盖了正数、负数和0；其次本题考查了有意义的条件，即为被开方数a是非负数；再次此题考察了的含义，即a的算术平方根，只有明确这一点那它们的值才可以非常容易的解决，尤其是，里面涵盖了平方运算，再求其算术平方根，是一道综合性题，对拓展学生的思维有巨大的意义。
3.精心设计例题及练习，帮助学生理清算理，提高计算能力。
（1）典型例题，巩固基础
1.求下列各数的算术平方根：
解读：此题是教材上的习题，主要是对算术平方根基本概念的应用和认识，帮助学生们能够求一些数的算术平方根的能力；
2、在数值的设置上包含了整数、分数、小数，为了提高学生们对算术平方根的理解，故意增加难度，设置了10-4这样的负指数幂值，提高学生的识别辨别能力；
3、这些数中初17以外的其它数都是完全平方数，所以它们的算术平方根都是有理数，所以对于17的算术平方根要引导学生利用我们的新符号“”，所以它的答案为。
（2）拓展训练，巩固提高
例2、求下列各式的值
解读：这道题主要考察学生们对的含义的理解，这是这一节的难点，需要老师们带领学生一一解读，如有必要需要一一讲解，尤其是最后一题的符号，不应该把与等同起来（有学生可能会认为是负负得正），这就需要学生们能够理解它的含义是的算术平方根的相反数，那么就不会出错，学生在计算是应该先计算，再计算的算术平方根为，最后计算的相反数为。
例3：
3.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是6.4m，则帐篷支撑竿的高是多少？
解读：此题的背景是一道几何题，也和我们的实际生活密切联系，展现了生活中处处存在数学，提高学生们的学习兴趣。在解决这个问题是要利用我们所学习的勾股定理列方程，接着要用我们今天所学的算术平方根解决形如x2=a（a≥0）这样的方程，在整个过程中体现了方程思想以及数形结合的思想，提高学生们理论联系实际的能力。
§2.2 平方根（第1课时）
【教材剖析】
算术平方根是北师大版八年级上册第二章第二节的第一课时的教学内容。本节的主要内容是算术平方根的概念和求法以及对的意义的理解。通过学习，学生对《勾股定理》未解决的问题（如：x2=2，求x的值）得以解决，同时学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，完成了初中阶段对所有数的扩展，因此本节课是今后学习实数、根式、分式、函数等知识的重要基础，更是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
【教学目标】
1.能够从数学本身的特点出发、从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程；
2.在获得对教学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等多方面都得到进步和发展。
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
3.会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
4.理解的意义。
【教学重点】
了解算术平方根的概念，认识根号，会用根号表示一个正数的算术平方根。
【教学难点】
会用平方运算求非负数的算术平方根以及理解的意义。
【知识解读】
1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作：，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术数平方根是0。
解读：从算术平方根的概念看，求一个数的算术平方根就是求一个正数，使得这个正数的平方等于这个数，故就是乘方运算的逆运算，因此，我们要对正数的平方求法以及常见正数的平方熟记于心（如1—20）。
在使用概念时需要注意以下几点：
（1）a是一个非负数，原因是根据定义知道a是某个正数的平方，根据平方的非负性可知这一点，这一点往往是题目的隐含条件，需要学生们挖掘出来；
（2）根据定义知道若某个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，因此a的算术平方根是一个正数，由规定知0的算术平方根是0，故综上我们知道对于非负数a，它的算术平方根也是一个非负数；
（3）由定义知a的算术平方根记作，故由（2）知是非负数，因此具有双重非负性，第一重是：开方数a是非负数，第二重是：本身也是非负数。即
2.的意义：指的是a的算术平方根。
解读：首先是一个数，并且是一个非负数，指的是a的算术平方根；其次有意义必须要求a是一个非负数；再次对于的意义在学完平方根会有更加深入的理解。
【教学建议】
1.創设适当的情境，自然引入深入探索，初步感受算术平方根。
（1）构造悬念，创设情境——从数形结合角度感受；
（2）根据图2-4填空：
x2=________，
y2=________，
z2=________，
w2=________.
（3）x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
解读：此问题是教材上的一道题目，它在设问上非常独到。首先第一问要用到第一章的勾股定理，因此在教学中就要对勾股定理的内容进行复习，进一步强化勾股定理的内容，学生们应该可以快速的给出第一问的答案x2=2，y2=3，z2=4，w2=5。第二问就是对第一节认识无理数的知识的再强化，但是很显然我们要先求出x，y，z，w的值才可以做出判断，这四个值中z的值我们很容易求出来，因为我们可以找到之前所学习的数±2就满足z2=4，而z又是边长，故z=2。然而问题来了我们找不到之前所学习的那个数会使x2=2，y2=3，w2=5，可是这些数又是实实在在存在的，这就和我们所学的发生了认知冲突，所以我们就要引入新的数，这就迫使我们引入新的符号“”，从而对数系进行扩充。
（4）目标导向，自然引入——从代数角度感受
在括号里填上适当的正数：
（1）；（2）；（3）
（4）；（5）；（6）
解读：首先此题的数值设置上涵盖了我们之前学习的整数、分数、小数；其次设置的这些数都是完全平方数，也就是说我们一定能找到一个正数使其成立，所以我们的问题就不能设置为类似的问题，因为目前我们还没有学到那个数满足它；再次数学中很多概念常常以精炼的定义形式出现，并隐去了其形成过程，我试图将此过程揭示出来，让学生经历观察、比较、抽象、概括、验证等概念的形成过程，以便更准确地抓住概念的本质，提高数学能力，与此同时，锻炼学生们从特殊到一般的数学思想，也对后面学生用平方运算求一个数的算术平方根起到一定的作用。
2.创设适当的习题，进行深入探索，重点感受的意义。
下列式子有没有意义？若有，请说出它的含义并求值？
解读：首先此题在数值上的设置具备完整性，涵盖了正数、负数和0；其次本题考查了有意义的条件，即为被开方数a是非负数；再次此题考察了的含义，即a的算术平方根，只有明确这一点那它们的值才可以非常容易的解决，尤其是，里面涵盖了平方运算，再求其算术平方根，是一道综合性题，对拓展学生的思维有巨大的意义。
3.精心设计例题及练习，帮助学生理清算理，提高计算能力。
（1）典型例题，巩固基础
1.求下列各数的算术平方根：
解读：此题是教材上的习题，主要是对算术平方根基本概念的应用和认识，帮助学生们能够求一些数的算术平方根的能力；
2、在数值的设置上包含了整数、分数、小数，为了提高学生们对算术平方根的理解，故意增加难度，设置了10-4这样的负指数幂值，提高学生的识别辨别能力；
3、这些数中初17以外的其它数都是完全平方数，所以它们的算术平方根都是有理数，所以对于17的算术平方根要引导学生利用我们的新符号“”，所以它的答案为。
（2）拓展训练，巩固提高
例2、求下列各式的值
解读：这道题主要考察学生们对的含义的理解，这是这一节的难点，需要老师们带领学生一一解读，如有必要需要一一讲解，尤其是最后一题的符号，不应该把与等同起来（有学生可能会认为是负负得正），这就需要学生们能够理解它的含义是的算术平方根的相反数，那么就不会出错，学生在计算是应该先计算，再计算的算术平方根为，最后计算的相反数为。
例3：
3.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是6.4m，则帐篷支撑竿的高是多少？
解读：此题的背景是一道几何题，也和我们的实际生活密切联系，展现了生活中处处存在数学，提高学生们的学习兴趣。在解决这个问题是要利用我们所学习的勾股定理列方程，接着要用我们今天所学的算术平方根解决形如x2=a（a≥0）这样的方程，在整个过程中体现了方程思想以及数形结合的思想，提高学生们理论联系实际的能力。