三角函数的变换是解决三角函数有关问题的主要工具,在某种意义上来讲,能否熟练地掌握变换的一般方法与技巧,是能否有效地解决三角函数问题的标志。三角函数的变换是在“求同存异”的过程中完成的,因此,准确地分析条件与结论的差异,进而选择恰当的方法去解决这种差异,进而选择恰当的方法去解决这种差异,是我们考虑问题的出发点,从而使问题的解决有着明确的思维指向。
　　一般来说,条件与结论的差异主要体现在三个方面:第一是角的差异;第二是函数名称的差异;第三是运算关系上的差异。在这三种差异之中,角的差异是主要矛盾(差异就是矛盾)。因此,有些矛盾往往就是以角的关系作为突破口,随着角的矛盾的解决,而另两个差异就迎刃而解。
　　由于三角函数恒等变换的公式很多,从而使得问题的解决具有灵活性、多样性与技巧性的特点,要求我们具有较好的思维监控和思维评价能力,从中找出最佳的解题方法。
　　例1.
　　求值:2sec80°-tan5°-cot5°
　　解法1 原式= 2cos80°-(sin5°cos5°+cos5°sin5°)
　　= 2cos80°-22sin5°cos5°=2sin10°-2sin10°=0
　　解法2
　　原式=2sec80°-tan5°-1tan5°
　　= 2sec80°-2•1+tan25°2tan25° = 2sec80°-2csc10°=2csc10°-2csc10°=0
　　点评
　　解法1是从具体方法入手,考虑到式中出现多个函数名,因而采取“化弦”,结合诱导公式,使问题获解;而解法2则从“整体思维”的角度考虑,因为tan5°+1tan5°=2•1+tan25°2tan5° ,因而直接使用二倍角公式。虽然两种解法繁简差异不大,但从思维层次上来讲,解法2似乎更胜一筹。
　　例2.设 cos2(α-β)-cos2(α+β)=12(1)
　　(1+cos2α)(1+cos2β)=13(2)
　　1)求tanα•tanβ的值。
　　2)求证:tan2(α+β)=47
　　解:由(1)得121+cos(2α-2β)-121+cos(2α+2β)=12
　　即 cos(2α-2β)-cos(2α+2β)=1
　　和差化积,得 -2sin2α•sin(-2β)=1
　　即2sin•cos•2sinβcosβ= 12
　　(3)
　　由(2)得2cos2α•2cos2β=12
　　(4)
　　(3) ÷(4)得 tanα•tanβ=32
　　2)为了证明tan2(α+β)=47,只要求出cos(α+β)即可
　　注意到上小题中的(3)、(4),将其联立,
　　(sinαsinβ)(cosαcosβ)=18(cosαcosβ)2=112
　　解得cosαcosβ=123sinαsinβ=34或
　　cosαcosβ=123sinαsinβ=-34
　　∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=±143
　　即有
　　cos2(α+β)=148,sin2(α+β)=4748
　　∴tan2(α+β)=47
　　点评
　　本例实质上依然是条件求值(虽然问题2)以证明的设问形式出现)。在求值时,既可以用综合,也可以用分析的方法,而两个条件的结构较之结论复杂,因而可以采取化简条件、逼近结论的综合方式。而条件(1)的三角式以平方形式出现,因此可用降幂公式降次,再结合(2)化简之后,则不难求出值。问题2)事实上是利用了已知条件中的变形后的结论(3)、(4)而不是仅仅注意原有的条件,使人有一种“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的愉悦感。
　　例3 求函数y=sin2x+3sinxcosx-1的最值,
　　并求取得最值时的x值。
　　解:y=12(1-cox2x)+32sin2x-1=
　　32sin2x-12cox2x-12=sin(2x-π6)-12
　　∴当2x-π6=2kπ-π2,即x=kπ+π3(k∈Z)时,
　　y取得最大值ymax=12;
　　当2x-π6=2kπ-π2即x=kπ-π6(k∈Z)时,
　　y取得最小值,ymin=32.
　　点评
　　若x为锐角三角形的一个内角,将如何求y的最值?
　　例4
　　已知sin2α+sin2β=sin2αsin2β,tanα-β2=13,
　　求sin2α+β2的值。
　　解
　　由 tanα-β2=13, 得cos(α-β) =1-tan2α-β2
　　1+tan2α+β2=45
　　从而cos2(α-β)=2cos2(α-β)-1=725。
　　又由已知,有sin2α+sin2β=sin2αsin2β,
　　即 2sin(α+β)cos(α-β)=-12cos(2α+2β)-cos(2α-2β),
　　把 cos(α-β) =45,cos(2α-2β)=725代入上式并整理,得
　　cos(2α+2β)+1615sin(α+β)-725=0
　　1-2sin2(α+β)+1615sin(α+β)-725=0
　　sin2(α+β)-85sin(α+β)-925=0
　　sin(α+β)1,则sin(α+β)=-15
　　从而cos(α+β)=±1-sin2(α+β)=±265
　　∴sin2α+β2=1-cos(α+β)2=5±2610
　　点评 考虑本题的时候,事实上我们是从 sin2α+sin2β=sin2αsin2β与 sin2α+β2的关系出发的。虽然我们力图将条件变换时候得出 ,但这样一来,虽然勉强会出现,但整个结构将会变得复杂,于是退一步而求其次,能求出 sinα+β2也可以,观察变换后式子的结构,只要求出 cos(α-β)即可。于是就转而考虑 tanα-β2=13与 cos(α+β)的关系,从而以下的解就轻易多了。