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摘 要：《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确提出了高中数学教学要提升和发展学生的数学核心素养。将以“椭圆及其标准方程”为例，以数学核心素养的落实为出发点设计教学过程，使数学学科素养在课堂教学中得以落实。
关键词：椭圆的定义;椭圆的方程;数学学科;核心素养;研究性学习
一、教学内容与学生学情分析
本节课的主要内容是抽象椭圆的定义、推导椭圆的标准方程，本节课不仅是圆锥曲线的起始课，还是解析几何知识体系的构建中具有承上启下作用的一节课。本课时通过实际例子感受研究椭圆的必要性，对实际例子的分析，直观感知出椭圆的几何特征，进而抽象出几何形式下的定义。让学生动手画椭圆，充分运用几何画板动态展示等环节的设计，有助于提升学生的直观想象和数学抽象等素养。
本节课将通过让学生动手画椭圆的小实验，再直接操作来感知椭圆上的点满足的几何条件，然后在此基础上抽象定义、推导方程，符合学生的知识体系构建的发展规律。此外，推导椭圆标准方程的过程中，将出现含两个根号的方程化简，学生之前很少接触这类化简，对学生而言具有一点的难度，这是本节课的难点。
二、教学目标
（1）简单了解圆锥曲线的发展过程，体验其文化价值，提升学生的直观想象核心素养。
（2）通过小实验动手画椭圆，直接感知椭圆的几何特征，进而抽象椭圆的定义，提升数学抽象和逻辑推理等核心素养。
（3）依据椭圆定义推导其标准方程，提升数学建模、数学运算等核心素养。
重点：（1）椭圆的定义;（2）椭圆的标准方程。
难点：椭圆定义的抽象及其标准方程的推导。
三、教學过程展示
1.了解椭圆的实际应用及发展历史
学生活动1：观看嫦娥1号优美的椭圆运行轨道以及生活中常见的椭圆图例。
【设计意图】通过精彩的视频展示，让学生了解椭圆在我国航天领域的应用并导入新课题，指出学生在日常生活体验中对椭圆的感性认识是错误的，引起认知冲突，从而激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课的学习内容。
教师活动1：介绍椭圆的起源与发展
（1）圆锥曲线的雏形：梅内克缪斯从计时沙漏中发现圆锥曲线。
（2）阿波罗尼奥斯提出“用平面从不同的角度截同一个圆锥可以得到三种圆锥曲线”。
【设计意图】了解椭圆的发现过程，激发学生的学习兴趣，让学生体验椭圆发展历程，在这一过程中也可以提升学生的直观想象素养。
2.引导学生尝试实验，形成概念
提出问题：椭圆在科技、生产等方面应用广泛，我们能否用手画出椭圆呢？
学生活动2：数学实验
取一条长度为30 cm的细绳，把它的两端固定在纸板上的两个定点（两个定点之间的距离小于30 cm），用笔尖M把细绳拉紧，在纸板上移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？若将两个定点之间的距离调整到30 cm，画出的轨迹又是什么图形？距离调整到35 cm呢？思考：
（1）在画图过程中，细绳两头的位置是固定的还是运动的？
（2）在画图过程中，细绳的长度是否改变？说明了什么？
（3）在画图过程中，细绳长度与两定点距离有什么关系？
（4）改变两个定点之间的距离，椭圆的形状是否发生变化？当两个定点的距离与绳长相等及大于绳长时，画出的图形还是椭圆吗？还能画出图形吗？
发现：细绳长度大于两个定点的距离时，轨迹为椭圆;细绳长度等于两个定点的距离时，轨迹为线段;细绳长度小于两个定点的距离时，轨迹不存在。
教师：在笔尖M运动过程中，什么是不变的？
学生1：无论笔尖M运动到何处，绳长是不变的。
教师：若把两个定点分别记为F1、F2，那么椭圆上的点M满足什么特征？
学生：MF1 MF2为定值。
教师：让学生通过观察几何画板软件，验证当椭圆上的点M运动时，MF1 MF2为定值。
教师：请同学们回忆一下圆的定义，类比圆的定义，根据上面的实验结果，如何定义椭圆？
生1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫作椭圆。
生2：不够严谨，还需补充一个限制条件：这个常数大于F1F2，否则点的轨迹是线段或不存在。
教师：生2补充得特别完整！
【设计意图】学生的直观想象、数学抽象等核心素养也可以进一步提升。此外，学生在动手画椭圆的过程中，对椭圆的几何性质产生初步的直观感受，比如椭圆是一个封闭的对称图形，细绳长度不变时两个定点的改变对椭圆扁平程度的影响等，为后续学习椭圆的几何性质埋下直观铺垫。
3.根据定义，推导方程
（1）回顾方法
教师：观察所画的椭圆，感知它有什么样的特征？
生：椭圆是具有对称性，既是轴对称图形又是中心对称图形。
教师：事实上，通过观察能“感知”椭圆的某些性质，观察所获得的这些结论是否正确？这些性质是所有椭圆的共同特征吗？我们怎样更客观地认识椭圆的性质？
生：我们之前学习了圆的方程，通过方程的代数特征研究了圆的几何性质，我们可以类比圆的学习，用方程的形式刻画椭圆，通过椭圆的方程代数特征来研究椭圆的几何性质。
教师：回答得特别好！
（2）推导过程
教师：请同学们写出椭圆上的点满足的关系式。
教师：这个方程含有两个根号，形式比较复杂，数学追求简洁美，我们如何把它化简一些？也就是说是否可以把根号去掉。
教师：同学们有不同的建系方法吗？
生：以F1，F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系。
教师：此时椭圆的方程是什么？如何获得？
生1：类似于方案一的推导过程整理可得，此时椭圆的方程是 =1（a>b>0）
教师：能否类比焦点在x轴的标准方程，直接写出焦点在y轴的标准方程？
生2：利用式子的对称性直接调换x，y的位置，即可获得焦点在y轴的标准方程。
教师：我们把中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆的方程叫作椭圆的标准方程，椭圆的标准方程有两种不同的形式。
【设计意图】椭圆标准方程的推导是本节课的一个难点，也是提升学生运算素养的良机，不能照本宣科地按照教材简单带过，当学生都意识到在定义条件下列出的椭圆的方程有化简的必要时，如何实现化简显得尤其关键。在化简方程的具体过程中，学生并没有单一地遵循教科书的化简方法，而是提供了不同的化简方式，尤其是推导焦点在y轴的标准方程时，在老师的启发下，学生能够类比焦点在x轴的标准方程，直接获得焦点在y轴的标准方程，让学生认识到类比不仅是一种温故知新的学习方法，更是解决数学问题的有效途径。在这一环节中，学生的计算思维得到发散，运算素养得以提升，难点逐步突破。通过两种形式的标准方程的对比，加深了学生对椭圆定义及其标准方程内在联系的理解，突出本节课的重点。
4.经历回顾，课堂小结
教师：本节课学习了哪些知识？运用了哪些数学思想与方法？
生：（1）本节课学习了椭圆的定义及其标准方程：
①焦点在x轴时
②焦点在y轴时
（2）研究方法：坐标法;数学思想：数学结合思想、类比思想。
【设计意图】让学生进行课堂小结，回顾本节课所学知识及数学方法，可以帮助学生梳理知识结构，掌握知识的内在联系，促进学生的知识体系构建，有助于培养学生自我获取知识的能力。
5.作业布置（略）
四、教学反思
六大数学核心素养不是绝对的分割，而是相对统一的，每一个核心素养之间既是对立的，又相互交融，它们形成一个密不可分的有机整体。解析几何的学习关键是提升学生的直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养。本节课通过椭圆在科技、生产等方面的应用，对椭圆发展历史的初步了解，激发学生的学习热情;接着通过学生动手画椭圆，观看几何画板的动态展示，得到椭圆上的点满足的几何条件，类比圆的定义，抽象归纳椭圆的定义;再根据椭圆的定义，利用坐标法推导椭圆的标准方程。在这个过程中，使学生认识到数学源于生活，用于生活，体验数学的应用价值和文化价值。对椭圆概念的归纳，提升了学生的数学抽象、数学建模能力，用坐标法推导椭圆的标准方程，渗透数形结合思想、类比思想，提升了学生的数学运算、逻辑推理能力，使数学核心素养在课堂教学过程中落地生根。
作者簡介：翁小柳（1980.6—），女，籍贯：海南万宁，学历：大学本科，职称：中学一级，主要研究方向：高中数学教学。
编辑 李建军
关键词：椭圆的定义;椭圆的方程;数学学科;核心素养;研究性学习
一、教学内容与学生学情分析
本节课的主要内容是抽象椭圆的定义、推导椭圆的标准方程，本节课不仅是圆锥曲线的起始课，还是解析几何知识体系的构建中具有承上启下作用的一节课。本课时通过实际例子感受研究椭圆的必要性，对实际例子的分析，直观感知出椭圆的几何特征，进而抽象出几何形式下的定义。让学生动手画椭圆，充分运用几何画板动态展示等环节的设计，有助于提升学生的直观想象和数学抽象等素养。
本节课将通过让学生动手画椭圆的小实验，再直接操作来感知椭圆上的点满足的几何条件，然后在此基础上抽象定义、推导方程，符合学生的知识体系构建的发展规律。此外，推导椭圆标准方程的过程中，将出现含两个根号的方程化简，学生之前很少接触这类化简，对学生而言具有一点的难度，这是本节课的难点。
二、教学目标
（1）简单了解圆锥曲线的发展过程，体验其文化价值，提升学生的直观想象核心素养。
（2）通过小实验动手画椭圆，直接感知椭圆的几何特征，进而抽象椭圆的定义，提升数学抽象和逻辑推理等核心素养。
（3）依据椭圆定义推导其标准方程，提升数学建模、数学运算等核心素养。
重点：（1）椭圆的定义;（2）椭圆的标准方程。
难点：椭圆定义的抽象及其标准方程的推导。
三、教學过程展示
1.了解椭圆的实际应用及发展历史
学生活动1：观看嫦娥1号优美的椭圆运行轨道以及生活中常见的椭圆图例。
【设计意图】通过精彩的视频展示，让学生了解椭圆在我国航天领域的应用并导入新课题，指出学生在日常生活体验中对椭圆的感性认识是错误的，引起认知冲突，从而激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课的学习内容。
教师活动1：介绍椭圆的起源与发展
（1）圆锥曲线的雏形：梅内克缪斯从计时沙漏中发现圆锥曲线。
（2）阿波罗尼奥斯提出“用平面从不同的角度截同一个圆锥可以得到三种圆锥曲线”。
【设计意图】了解椭圆的发现过程，激发学生的学习兴趣，让学生体验椭圆发展历程，在这一过程中也可以提升学生的直观想象素养。
2.引导学生尝试实验，形成概念
提出问题：椭圆在科技、生产等方面应用广泛，我们能否用手画出椭圆呢？
学生活动2：数学实验
取一条长度为30 cm的细绳，把它的两端固定在纸板上的两个定点（两个定点之间的距离小于30 cm），用笔尖M把细绳拉紧，在纸板上移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？若将两个定点之间的距离调整到30 cm，画出的轨迹又是什么图形？距离调整到35 cm呢？思考：
（1）在画图过程中，细绳两头的位置是固定的还是运动的？
（2）在画图过程中，细绳的长度是否改变？说明了什么？
（3）在画图过程中，细绳长度与两定点距离有什么关系？
（4）改变两个定点之间的距离，椭圆的形状是否发生变化？当两个定点的距离与绳长相等及大于绳长时，画出的图形还是椭圆吗？还能画出图形吗？
发现：细绳长度大于两个定点的距离时，轨迹为椭圆;细绳长度等于两个定点的距离时，轨迹为线段;细绳长度小于两个定点的距离时，轨迹不存在。
教师：在笔尖M运动过程中，什么是不变的？
学生1：无论笔尖M运动到何处，绳长是不变的。
教师：若把两个定点分别记为F1、F2，那么椭圆上的点M满足什么特征？
学生：MF1 MF2为定值。
教师：让学生通过观察几何画板软件，验证当椭圆上的点M运动时，MF1 MF2为定值。
教师：请同学们回忆一下圆的定义，类比圆的定义，根据上面的实验结果，如何定义椭圆？
生1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫作椭圆。
生2：不够严谨，还需补充一个限制条件：这个常数大于F1F2，否则点的轨迹是线段或不存在。
教师：生2补充得特别完整！
【设计意图】学生的直观想象、数学抽象等核心素养也可以进一步提升。此外，学生在动手画椭圆的过程中，对椭圆的几何性质产生初步的直观感受，比如椭圆是一个封闭的对称图形，细绳长度不变时两个定点的改变对椭圆扁平程度的影响等，为后续学习椭圆的几何性质埋下直观铺垫。
3.根据定义，推导方程
（1）回顾方法
教师：观察所画的椭圆，感知它有什么样的特征？
生：椭圆是具有对称性，既是轴对称图形又是中心对称图形。
教师：事实上，通过观察能“感知”椭圆的某些性质，观察所获得的这些结论是否正确？这些性质是所有椭圆的共同特征吗？我们怎样更客观地认识椭圆的性质？
生：我们之前学习了圆的方程，通过方程的代数特征研究了圆的几何性质，我们可以类比圆的学习，用方程的形式刻画椭圆，通过椭圆的方程代数特征来研究椭圆的几何性质。
教师：回答得特别好！
（2）推导过程
教师：请同学们写出椭圆上的点满足的关系式。
教师：这个方程含有两个根号，形式比较复杂，数学追求简洁美，我们如何把它化简一些？也就是说是否可以把根号去掉。
教师：同学们有不同的建系方法吗？
生：以F1，F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系。
教师：此时椭圆的方程是什么？如何获得？
生1：类似于方案一的推导过程整理可得，此时椭圆的方程是 =1（a>b>0）
教师：能否类比焦点在x轴的标准方程，直接写出焦点在y轴的标准方程？
生2：利用式子的对称性直接调换x，y的位置，即可获得焦点在y轴的标准方程。
教师：我们把中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆的方程叫作椭圆的标准方程，椭圆的标准方程有两种不同的形式。
【设计意图】椭圆标准方程的推导是本节课的一个难点，也是提升学生运算素养的良机，不能照本宣科地按照教材简单带过，当学生都意识到在定义条件下列出的椭圆的方程有化简的必要时，如何实现化简显得尤其关键。在化简方程的具体过程中，学生并没有单一地遵循教科书的化简方法，而是提供了不同的化简方式，尤其是推导焦点在y轴的标准方程时，在老师的启发下，学生能够类比焦点在x轴的标准方程，直接获得焦点在y轴的标准方程，让学生认识到类比不仅是一种温故知新的学习方法，更是解决数学问题的有效途径。在这一环节中，学生的计算思维得到发散，运算素养得以提升，难点逐步突破。通过两种形式的标准方程的对比，加深了学生对椭圆定义及其标准方程内在联系的理解，突出本节课的重点。
4.经历回顾，课堂小结
教师：本节课学习了哪些知识？运用了哪些数学思想与方法？
生：（1）本节课学习了椭圆的定义及其标准方程：
①焦点在x轴时
②焦点在y轴时
（2）研究方法：坐标法;数学思想：数学结合思想、类比思想。
【设计意图】让学生进行课堂小结，回顾本节课所学知识及数学方法，可以帮助学生梳理知识结构，掌握知识的内在联系，促进学生的知识体系构建，有助于培养学生自我获取知识的能力。
5.作业布置（略）
四、教学反思
六大数学核心素养不是绝对的分割，而是相对统一的，每一个核心素养之间既是对立的，又相互交融，它们形成一个密不可分的有机整体。解析几何的学习关键是提升学生的直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养。本节课通过椭圆在科技、生产等方面的应用，对椭圆发展历史的初步了解，激发学生的学习热情;接着通过学生动手画椭圆，观看几何画板的动态展示，得到椭圆上的点满足的几何条件，类比圆的定义，抽象归纳椭圆的定义;再根据椭圆的定义，利用坐标法推导椭圆的标准方程。在这个过程中，使学生认识到数学源于生活，用于生活，体验数学的应用价值和文化价值。对椭圆概念的归纳，提升了学生的数学抽象、数学建模能力，用坐标法推导椭圆的标准方程，渗透数形结合思想、类比思想，提升了学生的数学运算、逻辑推理能力，使数学核心素养在课堂教学过程中落地生根。
作者簡介：翁小柳（1980.6—），女，籍贯：海南万宁，学历：大学本科，职称：中学一级，主要研究方向：高中数学教学。
编辑 李建军